遂寧市高中2024屆第三學期教學水平監測數學（理科）試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。總分150分。考試時間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題，滿分60分）注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、班級、考號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對應框內，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。3．考試結束后，將答題卡收回。一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與直線平行，則a值為A．2B．C．8D．42．已知a、b為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則3．已知點A與點關于直線對稱，則點A的坐標為A．B．C．D．4．宋元時期，中國數學鼎盛時期中杰出的數學家有“秦〔九韶〕?李〔冶〕?楊〔輝〕?朱〔世杰〕四大家”，朱世杰就是其中之一.他的著作《算學啟蒙》中，記載有這樣一個“松竹并生”的問題：松長四尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖.若輸入的a，b分別為4，2，則輸出的n=A．2B．3C．4 D．55．關于用統計方法獲取、分析數據，下列結論錯誤的是A.質檢機構為檢測一大型超市某商品的質量情況，合理的調查方式為抽樣調查B．若甲?乙兩組數據的標準差滿足，則可以估計甲比乙更穩定C.若數據的平均數為,則數據的平均數為D．為了解高一學生的視力情況，現有高一男生200人，女生400人，按性別進行分層抽樣，樣本量按比例分配，若從女生中抽取的樣本量為80，則男生樣本容量為606．若圓與圓有且僅有3條公切線，則m=A．14B．28C．9D．7．若x，y滿足約束條件，且的最大值為12，則正實數m的值為A．1B．2C．4 D．88．如圖，在直棱柱中，為BC的中點，F為的中點，則異面直線AF與所成角的正弦值為A．B．C．D．9．從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災害嚴重威脅了國際農業生產，影響了人民生活.世界性與區域性溫度的異常、旱澇頻繁發生給蝗災發生創造了機會.已知蝗蟲的產卵量y與溫度x的關系可以用模型（其中e為自然對數的底數）擬合，設，其變換后得到一組數據：x2023252730z22.4334.6由上表可得經驗回歸方程，則當x＝35時，蝗蟲的產卵量y的估計值為A．B．C．8 D．10．已知直線與圓交于A，B兩點，且，則k=A．2B．C．D．111．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，是邊長為2的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=4，則此棱錐的體積為A．B．C．D．12．如圖，棱長為2的正方體中，P為線段上動點（包括端點）．①三棱錐中，點P到面的距離為定值②過點P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為③直線與面所成角的正弦值的范圍為④當點P為中點時，三棱錐的外接球表面積為以上命題為真命題的個數為A．1B．2QUOTEC．3D．QUOTE4第Ⅱ卷（非選擇題，滿分90分）注意事項：1．請用藍黑鋼筆或圓珠筆在第Ⅱ卷答題卡上作答，不能答在此試卷上。2．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知甲、乙兩組數據如莖葉圖所示，若它們的中位數相同，則圖中m的值．甲乙7239m324814．已知點A在圓C：上，點B在直線上，則最小值是.15．下圖為一個多面體的直觀圖和三視圖，M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內自由飛舞，則它飛入幾何體EF-MBC內的概率為.16．已知實數x，y滿足，則的最大值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題10分）已知的三個頂點分別是A（4,0），B（6,6），C（0,2）．（1）求BC邊上的高所在直線的方程；（2）求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．▲18.（本小題12分）如圖，在四棱錐中，底面，且底面為正方形，分別是的中點．（1）求證：；（2）求證：.▲19.（本小題12分）某次人才招聘活動中，某公司計劃招收600名新員工.由于報名者共2000人，遠超計劃，故該公司采用筆試的方法進行選拔，并按照筆試成績擇優錄取.現采用隨機抽樣的方法抽取200名報名者的筆試成績，繪制頻率分布直方圖如圖:已知圖中左邊四個小長方形的高度自左向右依次構成公比為2的等比數列.根據頻率分布直方圖解答以下問題:（1）求m；（2）估計此次筆試的平均成績;（3）估計該公司此次招聘的錄取分數線.▲20.（本小題12分）已知袋子中放有大小和形狀相同，標號分別是0，1，2的小球，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球2個，標號為2的小球1個.從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的球標號為b.記“”為事件A.（1）求事件A的概率；（2）在區間內任取2個實數x，y，求事件“”恒成立的概率.▲（本小題12分）在多面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，，，，，，為的中點，且點滿足．（1）求證：平面；（2）當多面體的體積最大時，求二面角的余弦值．▲22.（本小題12分）平面直角坐標系中，已知圓的半徑為2，圓心在y軸的正半軸上，直線與圓相切．（1）求圓的方程；（2）設，過點作直線，交圓于P、Q兩點，不在y軸上，過點作與直線垂直的直線，交圓于、兩點，記四邊形的面積為，求的最大值．遂寧市高中2024屆第三學期教學水平監測數學（理科）試題參考答案及評分意見一、選擇題（5×12=60分）題號123456789101112答案BCCBDAACABDD二、填空題（每小題5分，共4小題，共20分）13.314.15.16.三、解答題（本大題70分）17．(10分）（1）邊所在的直線的斜率，…………2分因為邊上的高與垂直，所以邊上的高所在直線的斜率為．……3分又邊上的高經過點，所以邊上的高所在的直線方程為，即．…………………5分（2）同理邊所在的直線的斜率，……6分所以邊的垂直平分線的斜率為，…………7分邊中點E的坐標是，即，………………8分所以AC邊的垂直平分線的方程是即．……10分18.(12分）（1）平面，平面，；………2分四邊形為正方形，；平面，，平面，………………4分又平面，；分別為的中點,,.………6分（2）四邊形為正方形，且E，G分別為AB，DC邊的中點.………8分由（1）知，…………9分又………………12分19.(12分）解:（1）根據頻率分布直方圖各小長方形面積之和為1,結合題意得×10m+0.2+0.15+0.05=1,解得m=0.032.……………4分（2）由頻率分布直方圖,得樣本數據的平均值可估計為35×0.04+45×0.08+55×0.16+65×0.32+75×0.20+85×0.15+95×0.05=67.1,∴此次筆試的平均成績可估計為67.1分.……………8分（3）根據題意,錄取率為=0.3,故應錄取成績最高的30%的報名者,…9分根據頻率直方圖可得,80~100分占總體的比例可估計為20%,70~100分占總體的比例可估計為40%,故錄取分數線在70~80分之間,設錄取分數線為x,則0.2+0.15+0.05=0.3,解得x=75,∴估計該公司此次招聘的錄取分數線為75分.………12分20.(12分）（1）將標號為0的小球記為0，標號為1的小球記為A，B，標號為2的小球記為2，則從袋子中兩次不放回地隨機抽取2個小球可能的結果為：共12種(4分)事件A包含4種：，所以；………6分（2）因為的最大值為4，所以事件B等價于恒成立，………………8分可以看做平面中的點，則全部結果所構成的區域，事件B所構成的區域，則.……………12分21.(12分）（1）取AB，EB中點M，N，連接CM，MN，ND，在梯形ACDE中，且DC=EA，…2分而M，N分別為BA，BE中點，∴MN//EA，MN=EA，∴MN//CD，MN=CD，即四邊形CDNM是平行四邊形，∴CM//DN，又，N為EB中點，∴為EN中點，又F為ED中點，∴，故，………4分又CM平面ABC，GF平面ABC，∴平面ABC.…………5分（2）在平面ABC內，過B作BH⊥AC交AC于H．∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH平面ABC，BH⊥AC，∴BH⊥平面ACDE，則BH為四棱錐B-ACDE的高，又底面ACDE面積確定，要使多面體ABCDE體積最大,即BH最大，此時AB=BC=，，為AC的中點，………………7分連結，易得，易知HB，HC，HF兩兩垂直，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系H-xyz，∴，則，設為平面ABE的一個法向量，則，即，取，…………8分設為平面DBE的一個法向量，則，即，取，…………10分∴，∴二面角A-BE-D的余弦值為.………………12分22．(12分）（1）設圓心為(0,a)，a>0，則圓的方程為∴，……………………2分∴a＝2，