函數圖象定義域值域周期性奇偶性單一性對稱軸對稱中心

高一數學第十四講三角函數圖像及其變換一、知識重點：1．正弦、余弦、正切函數圖象和性質正弦函數ysinx,xR余弦函數ycosx,xR正切函數ytanx,xk2(,)(,)x|xk,kZ2[1,1][1,1](,)當x2k(kZ)時，ymax1當x2k(kZ)時，ymax12x2k(kZ)時，ymin1當x2k(kZ)時，ymin12是周期函數，最小正周期T2是周期函數，最小正周期T2T奇函數，圖象對于原點對稱偶函數，圖象對于y軸對稱奇函數，圖象對于原點對稱在[2k,2k],(kZ)在[2k,22k],(kZ)上在(k,k),(kZ)22是單一增函數22上是單一增函數在[2k,2k],(kZ)上是單上是單一增函數在[2k,32k],(kZ)上調減函數22是單一減函數xk,(kZ)xk,(kZ)2(k,0)(kZ)(k,0)(kZ)(k,0)(kZ)222．利用“五點法”作函數yAsin(x),xR(此中A0,0)的簡圖，是將x看著一個整體，先令x0,,3,2列表求出對應的x的值與y的值，用光滑曲線連接,22各點，即可獲得其在一個周期內的圖象。3．研究函數yAsin(x),xR(此中A0,0)的單一性、對稱軸、對稱中心仍舊是將x看著整體并與基本正弦函數加以比較而得出。它的最小正周期2T||4．圖象變換(1)振幅變換ysinx,x全部點的縱坐標伸長(A1)或縮短(0A1)到本來的A倍yAsinx,xRR(2)周期變換全部點的橫坐標縮短(1)或伸長(01)到本來的1倍ysinx,xRysinx,xR(3)相位變換ysinx,x全部點向左(0)或向右(0)平移||個單位長度sin(x),xRRy(4)復合變換ysinx,x全部點向左(0)或向右(0)平移||個單位長度sin(x),xRRy5．主要題型：求三角函數的定義域、值域、周期，判斷奇偶性，求單一區間，利用單一性比較大小，圖象的平移和伸縮，圖象的對稱軸和對稱中心，利用圖象解題，依據圖象求分析式，已知三角函數值求角。二.基礎練習1．函數y2sin(1π4．x)的最小正周期T=232．函數ysinx的最小正周期是2若函數ytan(2ax)的最小正周期是,232則a=__1___.3．函數y2sin(2x)(x[0,])為增函數的區間是[,5]6364．函數y2cos(x)(≤x≤2)的最小值是13635．將函數ycosx的圖像作如何的變換能夠獲得函數y2cos(2x)的圖像？4先周期縮短本來的一半，再向右平移2個單位長度，再縱向伸長一倍。6．已知簡諧運動f(x)2sinππ(0，1)，則該簡諧運動的最x的圖象經過點32小正周期T和初相分別為T6，π67.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,則a,b,c的大小關系為______.b<c<a8．給出以下命題：①存在實數x，使sinxcosx1建立；②函數ysin52x是偶函數；2③直線x是函數ysin2x5的圖象的一條對稱軸；48④若⑤f(

x)

和

都是第一象限角，且，則3sin(2x),xR的圖象對于點(

tantan,0)對稱；

．3

6此中結論是正確的序號是

②③⑤

（把你以為是真命題的序號都填上）

．三、例題剖析：題型

1：三角函數圖像變換例1、

變成了獲得函數

ysin(2x

)的圖象，能夠將函數

y

1

cosx

的圖象如何變換？6

2先周期縮短本來的一半，再向左平移個單位長度，再縱向伸長一倍。3式1：將函數ysinx的圖象上各點的橫坐標擴大為本來的2倍，縱坐標不變，再把所得圖象上全部點向左平移個單位，所得圖象的分析式是y=sin(1x+).326題型2：三角函數圖像性質例2、已知函數y=log1(2sin(x4))2⑴求它的定義域和值域；⑵求它的單一區間；⑶判斷它的奇偶性；;⑷判斷它的周期性.(1)(2k,2k51,,)kZ442(2)減(2k4,2k3),增(2k3,2k5)kZ444(3)非奇非偶,(4)2變式1：求函數34xysin(2x)的最大、最小值以及達到最大小值時的值的會合．；23()當x5時，取最大值3/2當xk1k時，取最大值-3/2126變式2：函數y=2sinx的單一增區間是［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）22題型3：圖像性質的簡單應用例3、已知函數fxAsinxA0,0,||的圖象與y軸交于點0,3，22它在y軸右邊的第一個最大值點和最小值點分別為x0,3，x02,3，（1）求函數yfx的分析式；(fx3sin1x)26（2）用“五點法”作出此函數在一個周期內的圖象，并說明它是由函數ysinx的圖象依次經過哪些變換而獲得的。變式1：如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似知足函數y=Asin（ωx＋）＋b.（Ⅰ）求這段時間的最大溫差；20（Ⅱ）寫出這段曲線的函數分析式．y=10sin（x34）+2082：已知函數f(x)sin(x),0,0是R上的偶函數，其圖象對于點變式3,0)對稱，求和的值。M(4剖析：10.用偶函數這一條件可得sin(x)sin(x)cossin(x)0對定義域內的隨意x都建立獲得cos0，再由[0,]獲得2220.對第二個條件圖象對于點M(3,0)對稱的應用，一般的方法是：若函數f(x)對于點(a,0)4對稱，則有f(ax)f(ax)，于是此題就能夠有3x)3x)，因為x的隨意f(f(44性，不妨取x0，得f(303)0，又)sin(440,得342k,k0,1,2,2(2k1),k0,1,2。3另一方面也可由f(x)sin(x)的性質知道M(3,0)就是它的一個對稱中心，所以必有4f(3)0，進而也能夠得出2(2k1),k0,1,243題型4：三角函數綜合應用例4、求以下函數的定義域(1)y1tanx12sinx(2)ysin(cosx)(3)ylg(tanx1)2cosx.1例5、求以下函數的值域(1)y32cos2x,xR(2)ycos2x2sinx2,xR(3)y2cosx2cosx[1,5][-4,0][1/3,3]例6若fx12a2acosxsin2x的最小值為ga，（1）求ga的表達式；（2）求使ga1a的值，并求當a取此值時fx的最大值。的1a1)解：(1)gaa22aa(2)a1(3)f(x)max514a(a1)能力檢測題1．（2007年福建）．已知函數f(x)sinx(0)的最小正周期為，則該函數的圖象（A）A．對于點，對稱B．對于直線x對稱C．對于點，0對稱D．對于直線0x對稱2．（2007年江蘇卷1）．以下函數中，周期為的是（D）2A．ysinxB．ysin2xC．ycosxD．ycos4x243．（07年山東卷文4）．要獲得函數ysinx的圖象，只要將函數ycosx的圖象A）A．向右平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向左平移個單位4．假如cosxm444存心義，則m的取值范圍是m5．（2007年江西卷文2）．函數y5tan(2x1)π的最小正周期為26．要獲得ysinx的圖象，只要將函數ycosx的圖象向右平移個單位22427．對于函數yAsin(x)，(A,,均為不等于0的常數)，有以下說法：①最大值為A；②最小正周期為2|；③在[0,]起碼有一個x，使得y0；|④由2k2x2k2(kZ)解得x的區間范圍即為原函數的單一增區間。此中正確的說法是②④8．函數ytan(2x)的單一增區間為kxk3282.449．已知x[2,0]且2sin2xcosx10,求角x的會合5,,,.3310．函數yx1的單一遞加區間是4kx4k2.sin211．函數fx,xR是奇函數，且當x0時，fxx2sinx，則當x0時，f