2021-2022學年湖南省婁底市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2

2.二元函數z=x3-y3+3x2+3y2-9x的極小值點為（）

A.(1，0)B.(1，2)C.(-3，0)D.(-3，2)

3.

4.

5.設x2是f(x)的一個原函數，則f(x)=A.A.2x

B.x3

C.(1/3)x3+C

D.3x3+C

6.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

7.剛體上A、B、C、D四點組成一個平行四邊形，如在其四個頂點作用四個力，此四個邊恰好組成封閉的力多邊形。則()

A.力系平衡

B.力系有合力

C.力系的合力偶矩等于平行四邊形ABCD的面積

D.力系的合力偶矩等于負的平行四邊形ABCD的面積的2倍

8.當x→0時，x是ln(1+x2)的

A.高階無窮小B.同階但不等價無窮小C.等價無窮小D.低階無窮小9.（）。A.收斂且和為0

B.收斂且和為α

C.收斂且和為α-α1

D.發散

10.（）．A.A.單調增加且為凹B.單調增加且為凸C.單調減少且為凹D.單調減少且為凸

11.

12.當x→0時，3x是x的（）．

A.高階無窮小量B.等價無窮小量C.同階無窮小量，但不是等價無窮小量D.低階無窮小量

13.

14.

15.

16.

17.下列命題中正確的有（）A.A.

B.

C.

D.

18.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

19.

20.設y=cos4x，則dy=（）。A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.若f'(x0)=1，f(x0)=0,則

22.

23.

24.

25.

26.∫(x2-1)dx=________。

27.

28.

29.

30.過點M0(1，2，-1)且與平面x-y+3z+1=0垂直的直線方程為_________。

31.

32.

33.

34.

35.36.37.

38.

39.冪級數的收斂半徑為______．

40.三、計算題(20題)41.證明：42.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．43.44.45.求微分方程的通解．46.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

47.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

48.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．51.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．52.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．53.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

54.

55.求曲線在點(1，3)處的切線方程．56.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．57.58.

59.

60.

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.求曲線y=x2、直線y=2-x與x軸所圍成的平面圖形的面積A及該圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積Vy。

65.

66.67.

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.由曲線y=ex，y=e及y軸圍成的圖形的面積。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A

2.A對于點(-3，0)，A=-18+6=-12，B=0，C=6，B2-AC=72＞0，故此點為非極值點.對于點(-3，2)，A=-12，B=0，C=-12+6=-6，B2-AC=-72＜0，故此點為極大值點.對于點(1，0)，A=12，B=0，C=6，B2-AC=-72＜0，故此點為極小值點.對于點(1，2)，A=12=0，C=-6，B2-AC=72＞0，故此點為非極值點.

3.D

4.B

5.A由于x2為f(x)的一個原函數，由原函數的定義可知f(x)=(x2)'=2x，故選A。

6.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

7.D

8.D解析：

9.C

10.B本題考查的知識點為利用一階導數符號判定函數的單調性和利用二階導數符號判定曲線的凹凸性．

11.C解析：

12.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

應依定義考察

由此可知，當x→0時，3x是x的同階無窮小量，但不是等價無窮小量，故知應選C．

本題應明確的是：考察當x→x0時無窮小量β與無窮小量α的階的關系時，要判定極限

這里是以α為“基本量”，考生要特別注意此點，才能避免錯誤．

13.D

14.B解析：

15.B

16.C解析：

17.B

18.C

19.D解析：

20.B21.-1

22.

23.24.3(x－1)－(y＋2)＋z＝0(或3x-y＋z＝5)．

本題考查的知識點為平面與直線的方程．

由題設條件可知應該利用點法式方程來確定所求平面方程．

所給直線z的方向向量s＝(3，－1，1)．若所求平面π垂直于直線1，則平面π的法向量n∥s，不妨取n＝s＝(3，－1，1)．則由平面的點法式方程可知

3(x－1)－[y－(－2)]＋(z－0)＝0，

即3(x－1)－(y＋2)＋z＝0

為所求平面方程．

或寫為3x-y＋z－5＝0．

上述兩個結果都正確，前者3(x－1)－(y＋2)＋z＝0稱為平面的點法式方程，而后者3x-y＋z－5＝0

稱為平面的－般式方程．

25.eab

26.

27.(1+x)ex(1+x)ex

解析：

28.

29.1

30.

31.本題考查的知識點為不定積分的湊微分法．

32.

33.[-11]

34.

35.

本題考查的知識點為定積分運算．

36.

37.e-2本題考查了函數的極限的知識點，

38.3e3x3e3x

解析：

39.

；

40.tanθ-cotθ+C

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％48.由二重積分物理意義知

49.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

50.函數的定義域為

注意

51.

52.

列表：

說明

53.由等價無窮小量的定義可知

54.55.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0)