PAGEPAGE8對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知函數(shù)f(x)=3+loga(2x+3)(a>0且a≠1)的圖象必經(jīng)過定點P,則P點坐標是()A.(1,3) B. C.(-1,3) D.(-1,4)【解析】選C.令2x+3=1,解得x=-1,所以f(-1)=3,因此函數(shù)f(x)=3+loga(2x+3)的圖象過定點(-1,3).2.函數(shù)f(x)=|lox|的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.(0,1]C.(0,+∞) D.[1,+∞)【解析】選D.f(x)的圖象如圖所示,由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞).3.已知a>0且a≠1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是下圖中的()【解析】選B.因為函數(shù)y=loga(-x)中,-x>0,所以x<0,故其圖象應在y軸左側(cè),排除A、D;又函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的單調(diào)性相反,排除C.4.設a=log3,b=log5,c=log7,則()A.c>b>a B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c【解析】選D.因為log3=log32-1,log5=log52-1,log7=log72-1,log32>log52>log72,故a>b>c.5.函數(shù)y=log2(x+)(x∈R)的奇偶性為()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【解析】選A.當x∈R時,f(-x)=log2(-x+)=log2(-x)=log2=log2=-log2(+x)=-f(x).故函數(shù)是奇函數(shù).6.若函數(shù)f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上為減函數(shù),則a的取值范圍是()A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3,+∞)【解析】選B.函數(shù)由y=logau,u=6-ax復合而成,因為a>0,所以u=6-ax是減函數(shù),那么函數(shù)y=logau就是增函數(shù),所以a>1,因為[0,2]為定義域的子集,且當x=2時,u=6-ax取得最小值,所以6-2a>0,解得a<3,所以1<a<3.二、填空題(每小題5分,共10分)7.函數(shù)f(x)=lnx2的定義域是,減區(qū)間為.

【解析】由x2>0知定義域為{x|x≠0}.由復合函數(shù)的單調(diào)性知單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0).答案:{x|x≠0}(-∞,0)8.已知函數(shù)f(x)=log2為奇函數(shù),則實數(shù)a的值為.

【解析】由奇函數(shù)得f(x)=-f(-x),log2=-log2,=,a2=1,因為a≠-1,所以a=1.答案:1【補償訓練】下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=【解析】選D.函數(shù)y=10lgx的定義域與值域均為(0,+∞).函數(shù)y=x的定義域與值域均為(-∞,+∞).函數(shù)y=lgx的定義域為(0,+∞),值域為(-∞,+∞).函數(shù)y=2x的定義域為(-∞,+∞),值域為(0,+∞).函數(shù)y=的定義域與值域均為(0,+∞).三、解答題(每小題10分,共20分)9.設f(x)=lo滿足f(-x)=-f(x),a為常數(shù).(1)求a的值.(2)證明f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.【解析】(1)因為f(-x)=-f(x).所以lo=-lo?=>0?1-a2x2=1-x2?a=±1,檢驗a=1(舍),所以a=-1.(2)任取x1>x2>1,所以x1-1>x2-1>0.所以0<<?1<1+<1+?1<<?lo>lo,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.10.設函數(shù)f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定義域為.(1)若t=log2x,求t的取值范圍.(2)求y=f(x)的最大值與最小值,并求出取最值時對應的x的值.【解析】(1)因為t=log2x為單調(diào)遞增函數(shù),而x∈,所以t的取值范圍為,即t∈[-2,2].(2)記t=log2x,則y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=(t+2)(t+1)(-2≤t≤2).因為y=-在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以當t=log2x=-,即x==時,y=f(x)有最小值f=-;當t=log2x=2,即x=22=4時,y=f(x)有最大值f(4)=12.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.函數(shù)y=|log2x|的圖象是圖中的()【解析】選A.有關函數(shù)圖象的變換是高考的一個考點,本題目的圖象變換是翻折變換,可知這個函數(shù)是由y=log2x經(jīng)上折而得到的.2.若函數(shù)f(x)=log3x在區(qū)間[2,2a]上的最大值比最小值大,則實數(shù)a=()A. B.2 C.2 D.4【解析】選A.因為函數(shù)f(x)=log3x在區(qū)間[2,2a]上單調(diào)遞增,所以f(2a)-f(2)=log3(2a)-log32=,解得a=.3.函數(shù)y=f(x)=lg的圖象的對稱性為()A.關于直線y=x對稱B.關于x軸對稱C.關于y軸對稱D.關于原點對稱【解析】選D.因為y=f(x)=lg=lg,所以f(-x)=lg=-lg=-f(x),又因為函數(shù)的定義域為(-1,1),關于原點對稱,則函數(shù)為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關于原點對稱.4.已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是()A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)【解析】選C.因為f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)或b=,所以a+2b=a+,又0<a<b,所以0<a<1<b,令f(a)=a+.由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)知f(a)在a∈(0,1)上為減函數(shù),所以f(a)>f(1)=1+=3.即a+2b的取值范圍是(3,+∞).二、填空題(每小題5分,共20分)5.方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解為.

【解析】由題意,知解得x=3.答案:x=36.函數(shù)f(x)=|log3x|在區(qū)間[a,b]上的值域為[0,1],則b-a的最小值為.

【解析】由題知函數(shù)f(x)=|log3x|在區(qū)間[a,b]上的值域為[0,1],當f(x)=0時,x=1;當f(x)=1時,x=3或.故要使值域為[0,1],定義域可以為[x,3],也可以為(1≤x≤3),因此,b-a的最小值為.答案:7.方程2|x|+x=2的實數(shù)根的個數(shù)為.

【解析】由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐標系中作出y=2|x|與y=2-x的圖象,如圖所示,兩個函數(shù)圖象有且僅有2個交點,故方程有2個實數(shù)根.答案:28.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上為增函數(shù),f=0,則不等式f(lox)>0的解集為.不等式f(lox)<0的解集為.

【解析】因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以它的圖象關于y軸對稱.因為f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),所以f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù).由f=0得f=0.所以f(lox)>0?lox<-或lox>?x>2或0<x<,所以x∈∪(2,+∞).所以不等式f(lox)<0的解集為.答案:∪(2,+∞)三、解答題(共30分)9.(10分)已知函數(shù)y=lo(x2-ax+a)在區(qū)間(-∞,)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】令g(x)=x2-ax+a,g(x)在上單調(diào)遞減,因為0<<1,所以y=log(x)是減函數(shù),而已知復合函數(shù)y=lo(x2-ax+a)在區(qū)間(-∞,)上單調(diào)遞增,所以只要g(x)在(-∞,)上單調(diào)遞減,且g(x)>0,x∈(-∞,)恒成立,即所以2≤a≤2(+1),故所求a的取值范圍是[2,2(+1)].10.(10分)(1)已知函數(shù)y=lg(x2+2x+a)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.(2)已知函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)x2+(2a+1)x+1],若f(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因為y=lg(x2+2x+a)的定義域為R,所以x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,所以a>1.故a的取值范圍是(1,+∞).(2)依題意(a2-1)x2+(2a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立.當a2-1≠0時解得a<-.當a2-1=0時,顯然(2a+1)x+1>0,對x∈R不恒成立.所以a的取值范圍是.11.(10分)已知函數(shù)f(x)=loga在區(qū)間[1,2]上的值恒為正,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當a>1時,只需x+1>1,即x>0.因為1≤x≤2,