二、(本題滿分8分)

1987年全國碩士研究生入學統一考試1-X*

求正的常數。與"使等式lim---「.dt=1成立.

xTO/zr-sin/J。心+/

數學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題三、(本題滿分7分)

中橫線上)

(1)設/、g為連續可微函數，〃=f(x,xy),v^g(x+xy),求

(1)當x=_____________時，函數y=x-2x取得極小值.

dudv

dx'dx

(2)由曲線y=lnx與兩直線y=e+l-x及y=0所圍成的平面

(2)設矩陣A和B滿足關系式AB=A+2B,其中

圖形的面積是_____________.

x=1-3or

(3)與兩直線1y=—1+f及區=匕吆=三1都平行且過原

A=110，求矩陣B.

111

014

點的平面方程為一、__________.

z=2+/

四、(本題滿分8分)

(4)設乙為取正向的圓周f+F=9,則曲線積分

求微分方程y"，+6/+(9+a2)/=l的通解，其中常數a>0.

L(2盯-2yMx+(x2-4x)dy=.

(5)已知三維向量空間的基底為五、選擇題(本題共4小題,每小題3分滿分12分.每小題給出的

四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括

api?(1,1,0),2=(1,0,1),3=。1/)，則向量6=(2,0,0)在此基底

號內)

下的坐標是.

(1)設lim/(')_〃")=-1,則在x=a處

(1一。)一

(A)/(x)的導數存在，且/'伍)*0(B)/(x)取(Qa"(D)a

得極大值

六'(本題滿分10分)

(C)/(%)取得極小值(D)/(x)的

81

求幕級數￡」一x"T的收斂域，并求其和函數.

導數不存在占〃2"

S

(2)設/(x)為已知連續函數,/=爪/(a)dx,其中f>0,s>0,則

/的值七、(本題滿分10分)

(A)依賴于s和t(B)依賴于s、求曲面積分

f和X/=x(8y+Y)dydz+2(1—y2)dzdx-4yzdxdy,

(C)依賴于f、X,不依賴于s(D)依賴于s,

不依賴于f［7=Jy—11<y<3

其中Z是由曲線/(x)=j5_0一繞y軸旋轉一周而

(3)設常數k〉0,則級數￡(—1)"工

“=1巴7T

成的曲面，其法向量與y軸正向的夾角恒大于］.

(A)發散(B)絕對收斂

(C)條件收斂(D)散斂性與八'(本題滿分10分)

k的取值有關

設函數/(x)在閉區間［0,1］上可微，對于［0,1］上的每一個x,函數

(4)設A為”階方陣，且A的行列式IAI=a*0,而A*是A的伴

/(x)的值都在開區間(0,1)內，且1,證明在(0,1)內有且僅有

隨矩陣，則IA*I等于

一個x,使得/(x)=x.

(A)<2(B)-

a

九'(本題滿分8分)

十一、(本題滿分6分)

問凡。為何值時,現線性方程組

設隨機變量x,y相互獨立，其概率密度函數分別為

玉+々+*3+X4=P

x+2X+2X=110<x<lr->,y>0

234f(x)=_,/(：，)=e；，

~x-,+(a—3)七b八x0其它t0yvo

3X1+2X2+￡+溫=-1求z=2x+y的概率密度函數.

有唯一解，無解，有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.

+'填空題(本題共3小題,每小題2分滿分6分.把答案填在題中

橫線上)

(1)設在一次實驗中，事件A發生的概率為p,現進行n次獨立試驗,

則A至少發生一次的概率為;而事件A至多發生一次的

概率為.

(2)有兩個箱子，第1個箱子有3個白球,2個紅球，第2個箱子有4

個白球,4個紅球.現從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里,

再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為.已

知上述從第2個箱子中取出的球是白球,則從第一個箱子中取出的球

是白球的概率為.

(3)已知連續隨機變量X的概率密度函數為

1

/(x)則X的數學期望為,x的方差為

21<*一°,則的傅里葉(Fourier)級數在x=l處收斂于

年全國碩士研究生入學統一考試

1988x20<x<l

數學(一)試卷

(4)設4階矩陣AoY^yBpYYy,4],=[,2,3,4],其中

一、(本題共3小題海小題5分滿分15分)

(1)求幕級數￡生?的收斂域.a%//,3,4均為4維列向量,且己知行列式性|=4,四=1,則行列式

"=]"3

|A+B|=.

⑵設/(%)=er,f[(p{x}]=1-xJ=L(p{x}>0^J(X)及其定義

域.三、選擇題(本題共5小題海小題3分，滿分15分.每小題給出的

四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括

(3)設Z為曲面x2+y2+z2=\的外側，計算曲面積分

號內)

/=jjxJdydz+y^dzdx+z'dxdy.⑴設/(X)可導且r(x0)=；，則醺-o時，/(外在/處的微

分dy是

二'填空題(本題共4小題,每小題3分滿分12分.把答案填在題

中橫線上)(A)與Ar等價的無窮小(B)與Ax同

(1)若=limr(l+，產，則/⑴=_____________.階的無窮小

Xfoo

x(C)比Ar低階的無窮小(D)比Ax高階的

(2)設/(x)連續且J；tf(t)dt=x,則/⑺=.無窮小

(2)設y=/(x)是方程y"—2y'+4y=0的一個解且

(3)設周期為2的周期函數，它在區間(-1,1]上定義為/(x)|=

V

/(X。)>0,/'(x0)=0,則函數/(x)在點/處

(A)取得極大值(B)取得極小

&[G網1女22+…+4s±0

值

(C)某鄰域內單調增加(D)某鄰域內

出)6口(12L??，5中任意兩個向量均線性無關

單調減少

(3)設空間區域

Q:x2+y2+z2<7?2,z>O,Q,:x2+y2+z2<7?2,x>0,y>0,z>0,(C)a口a2,…，s中存在一個向量不能用其余向量線性表示

則

中存在一個向量都不能用其余向量線性表示

(D)a^a2,-S,

(A)jjjxdv=4JJJdv

(B)jjjydv=4jjj2

R7四、(本題滿分6分)

(C)JJJz小=4"Jzdp

設〃=對、(土)+裕(馬,其中函數/、具有二階連續導數，求

AQzg

yx

d2iid2u

x二+)’

(4)設幕級數￡a?(x-l)n在x=-1處收斂，則此級數在x=2處oxdxdy

n=l

(A)條件收斂(B)絕對收斂五、(本題滿分8分)

(C)發散(D)收斂性不

設函數y=y(x)滿足微分方程y"-3y'+2y=2e\其圖形在點

能確定

(5)n維向量組叫叫2,…，5(3?$<〃)線性無關的充要條件是(0,1)處的切線與曲線y=x2—x—i在該點處的切線重合，求函數

(A)存在一組不全為零的數占,左2,…人，使y=y(x).

六、(本題滿分9分)九、(本題滿分9分)

設位于點(0,1)的質點A對質點M的引力大小為二(女>0為常

設函數f(x)在區間加上連續，且在(a,Z?)內有f\x)>0,證明:

r

數，r為A質點與M之間的距離)，質點M沿直線y=12x—f自在(a,b)內存在唯一的。使曲線y=/(x)與兩直線y==a

5(2,0)運動到。(0,0),求在此運動過程中質點A對質點M的引力所所圍平面圖形面積S,是曲線y=/(x)與兩直線y==b所圍

作的功.

平面圖形面積$2的3倍.

七、(本題滿分6分)

-10o--10O-十、填空題(本題共3小題,每小題2分滿分6分.把答案填在題中

橫線上)

己知AP=BP,其中B=000,p=2-10,求

(1)設在三次獨立試驗中，事件A出現的概率相等,若已知4至少

00-1211

1Q

出現一次的概率等于—,則事件A在一次試驗中出現的概率是

27

(2)若在區間(0,1)內任取兩個數，則事件“兩數之和小于的概

八'(本題滿分8分)

'20O--200-率為.

(3)設隨機變量X服從均值為10,均方差為0.02的正態分布，己知

己知矩陣A=001與8=0y0相似.

01x00-10(x)=「0(2.5)=0.9938,

(1)求x與y.J-

(2)求一個滿足PAP=B的可逆陣P.則X落在區間(9.95,10.05)內的概率為.

十一'（本題滿分6分）

設隨機變量X的概率密度函數為/x（x）=-二，求隨機變量

乃（1一廠）

Y=T-逐的概率密度函數4（y）.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的

1989年全國碩士研究生入學統一考試四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括

號內)

數學(一)試卷(1)當x>0時，曲線y=xsin，

x

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有

中橫線上)鉛直漸近線

(D已知r(3)=2,則lim/(3-力)7(3)=____________(C)既有水平漸近線，又有鉛直漸近線(D)既無水平

人-02/z漸近線，又無鉛直漸近線

(2)設/(x)是連續函數，且/(x)=x+2(/Q)力，則(2)已知曲面Z=4—f—y2上點p處的切平面平行于平面

/“)=.2x+2y+z-l=0,則點的坐標是

(3)設平面曲線L為下半圓周y=-71-x2,則曲線積分(A)(1,-1,2)(B)(-l,l,2)

￡(x2+y2)ds=.(0(1,1,2)

(4)向量場divw在點P(1,1,O)處的散度div“=.(D)(-l,-l,2)

'30O--100(3)設線性無關的函數都是二階非齊次線性方程的解是任意常數,

則該非齊次方程的通解是

⑸設矩陣A=140,1=010則矩陣

003001(A"*2y2+%

(A—21尸=.(B)c*+c2y2-(C1+C2)%

(C)c,%+c2y2-(l-c,-c2)y3

(2)設曲線積分［92公+)，9(外力,與路徑無關，其中叭x)具有連

(D)cly1+c2y2+(l-cl-c2)y3

(4)設函數/(x)=x2,0<x<l,而續的導數，且夕(0)=0,計算

_Q0I。y叭Qdy的值.

S(x)=sin〃乃蒼一oo<x<+oo,其中

n=l(3)計算三重積分+z)d匕其中。是由曲面z=不￡+>”與

b=2,/(x)sinn兀xdx,〃=1,2,3,…，則S(—；)C

n等于

Z=，l—1-y2所圍成的區域.

1

(A)——(B)--

24

(D)《四、(本題滿分6分)

21+X

將函數/(x)=arctan----展為x的寨級數.

1-x

⑸設A是”階矩陣，且A的行列式|A|=0,則A中

(A)必有一列元素全為0(B)必有兩列五'(本題滿分7分)

元素對應成比例

設/(x)=sinx-J；(x-f)/(f)力，其中/為連續函數，求/(x).

(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合(D)任一列向

量是其余列向量的線性組合

六、(本題滿分7分)

三、(本題共3小題海小題5分滿分15分)證明方程lnx=之一「Jl-cos2xdx在區間(0,+oo)內有且僅有

e

(1)設1=f(2x-y)+g(x,孫)，其中函數/(f)二階可導，g(“,v)

兩個不同實根.

具有連續二階偏導數，求三.

七、(本題滿分6分)

dxdy

問4為何值時，線性方程組

P(A\JB)=.

r%,+x=2

3(2)甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和

0.5,現已知目標被命中，則它是甲射中的概率為.

J4%+x2+2X3=2+2

(3)若隨機變量看在(1,6)上服從均勻分布,則方程F+Jx+1=0

6%1+x+4X=22+3

23有實根的概率是.

有解，并求出解的一般形式.

八'(本題滿分8分)十一'(本題滿分6分)

假設X為〃階可逆矩陣A的一個特征值，證明設隨機變量x與y獨立，且x服從均值為1、標準差(均方差)為

(1)工為AT的特征值.

的正態分布，而y服從標準正態分布.試求隨機變量

2

Z=2X—Y+3的概率密度函數.

(2)國為A的伴隨矩陣A*的特征值.

2

九'(本題滿分9分)

設半徑為R的球面Z的球心在定球面V+y2+/=/①>0)

上，問當R為何值時，球面Z在定球面內部的那部分的面積最大？

十、填空題(本題共3小題,每小題2分滿分6分.把答案填在題中

橫線上)

⑴已知隨機事件A的概率P(4)=0.5,隨機事件3的概率

P(B)=0.6及條件概率P(5IA)=0.8,則和事件A\JB的概率

四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括

1990年全國碩士研究生入學統一考試號內)

⑴設/(x)是連續函數，且尸(x)=J；"⑺力，則F'(x)等于

數學(一)試卷

(A)-e-V(e-x)-/U)

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題

中橫線上)

(B)-e-V(e-r)+/(x)

'x=-t+2

(1)過點且與直線iy=3f-4垂直的平面方程是

(C)e-V(e-A)-/(x)

?L

(D)e-x/(e-v)+/(x)

z=t-l

x+〃

⑵設”為非零常數，則lim(-)v=___________.(2)已知函數/(x)具有任意階導數，且/,(x)=[/(x)]2,則當〃為

28X-a

大于2的正整數時，/(x)的“階導數/<n)(x)是

fl|x|<1

(3)設函數/(x)=\，則/"(x)]=_____________.

L°W>1(A)〃!"(x)產

(4)積分，dxfeTdy的值等于.(B)n[/(x)r+,

(5)已知向量組

(C)"(x)P

2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),

(D)〃!"(x)產

則該向量組的秩是.

二、選擇題(本題共5小題海小題3分滿分15分.每小題給出的(3)設。為常數,則級數1廣嗎⑷一。]

?=i?-y/n

(A)絕對收斂(B)條件收斂

三、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

(C)發散(D)收斂性與

cr'ln(l+x)

a的取值有關U(2T)2dx.

(4)已知/(%)在x=0的某個鄰域內連續，且

(2)設z=/(2x-y,ysinx),其中/(w,v)具有連續的二階偏導數,

/(0)=O,lim-〃￡)-=2,則在點x=0處/(x)

1-cosX

(A)不可導(B)可導，且求

dxdy

/(0)70

(3)求微分方程y〃+4y'+4y=eN的通解(一般解).

(C)取得極大值(D)取得極小

值

四、(本題滿分6分)

(5)己知1國、隹是非齊次線性方程組AX=)的兩個不同的解

求基級數￡(2〃+1)X"的收斂域，并求其和函數.

,3、是對應其次線性方程組AX=0的基礎解析，匕、后為任意

a2n=0

常數，則方程組AX=8的通解(一般解)必是

五、(本題滿分8分)

(A)Zra(x?A：(

l21求曲面積分

/=jjyzdzdx+2dxdy

(B)%a供i左2(1-2)+叱2s

其中5是球面/+y2+*=4外側在z>0的部分.

?尢耶自左2(i+2)+喈？

(D)占即”2(1-2)+郵：21六、(本題滿分7分)

九、(本題滿分8分)

設不恒為常數的函數/(x)在閉區間［a,們上連續，在開區間

質點P沿著以A8為直徑的半圓

(a,b)內可導，且/(a)=/(").證明在(a,b)內至少存在一點3使得周，從點4(1,2)運動到點5(3,4)的過

rc)>o.程中受變力F作用(見圖).F的大小

等于點P與原點。之間的距離，其方

七、(本題滿分6分)

向垂直于線段0P且與y軸正向的夾

設四階矩陣

TT一

-1-10o-2134角小于X.求變力/對質點尸所作的

01-1002132

,c=功.

001-10021

00010002

且矩陣A滿足關系式十、填空題(本題共3小題,每小題2分滿分6分.把答案填在題中

橫線上)

A(E-C"B)'C'=E

(1)已知隨機變量X的概率密度函數

“、1-W

其中E為四階單位矩陣,C1表示C的逆矩陣，C'表示C的轉置矩陣.j(%)=—e!,-oo<%<+00

將上述關系式化簡并求矩陣A.

則X的概率分布函數產(x)=.

八'(本題滿分8分)(2)設隨機事件A、B及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6,

求一個正交變換化二次型

若8表示8的對立事件，那么積事件A片的概率

/=X；+-4.x,x2+4x,x3-8x2x3成標準型.

P(AB)=.

(3)已知離散型隨機變量X服從參數為2的泊松(Poisson)分布,

2*e-2

即P{X=%}=—^,4=0,1,2,…，則隨機變量Z=3X—2的數學

k\

期望E(Z)=.

十一'(本題滿分6分)

設二