第3課時等比數列基礎過關1．等比數列的定義：

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＝q（q為不等于零的常數）．2．等比數列的通項公式：⑴an1n－1nmn－m＝aq⑵a＝aq3．等比數列的前n項和公式：S＝(q1)n(q1)4．等比中項：假如a，b，c成等比數列，那么b叫做a與c的等比中項，即b2＝（或b＝）．5．等比數列{a}的幾個重要性質：n⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則．⑵Sn是等比數列{an}的前n項和且Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成數列．⑶若等比數列{an}的前n項和Sn知足{Sn}是等差數列，則{an}的公比q＝．典型例題例1.已知等比數列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求項數n和公比q的值．解：∵{an}是等比數列，∴a1·an＝a2·an－1，∴a1an66，解得a12或a164a1an128an64an2若a1＝2，an＝64，則2·qn－1＝64∴qn＝32q由Sn＝a1(1qn)2(132q)126，1q1q解得q＝2，于是n＝6若a1＝64，an＝2，則64·qn－1＝2qn＝1q3264(11由Sn＝a1(1nq)q)1321261qq解得q＝1，n＝62變式訓練1.已知等比數列{an193711．}中，a·a＝64，a＋a＝20，則a＝解：64或1由a1a964a3a764a3a720a3a720a316或a34∴q2＝1或q2＝2，∴a11＝a7q2，∴a11＝64或a11＝1a74a7162例2.設等比數列{an}的公比為q(q>0)，它的前n項和為40，前2n項和為3280，且前n項中數值最大項為27，求數列的第2n項．a(1qn)140解：若q＝1，則na1＝40，2na1q1＝3280矛盾，∴q≠1．∴a(1q2n)132801q兩式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1又∵q>0，∴q>1，a1>0∴{an}是遞加數列．∴an－1＝a181n＝27＝a1q12a1解得a1＝1，q＝3，n＝4變式訓練2.已知等比數列{an}前n項和n＝2n－1，{an2}前n項和為nn的表達式．ST，求T解：(1)∵a12q＝a21＋2＝0，∴公比2aa12又∵S4－S2＝1，8將q＝－1代入上式得a12＝1，∴an＝a1qn－11n－1*)＝(－)(n∈N2n11n－1141622n≤5∴原不等式的解為n＝1或n＝3或n＝5．例3.有四個數，此中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，而且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數．解：設這四個數為a－d，a，a＋d，(ad)2aad(ad)216依題意有：aaad12解得：a4或a9d4d6∴這四個數為0，4，8，16或15，9，3，1．變式訓練3.設Sn是等差數列a的前n項和，S636,Sn324,Sn6144(n6)，則n等于n（）A.15B.16C.17D.18答案：D。分析：由Sn324,Sn6144得anan1an2an3an4an5180，再由S6326,a1an36,Snn(a1an)n18。2324,例4.已知函數f(x)＝(x－1)2，數列{a{bn}是公比為q的等比數n}是公差為d的等差數列，數列列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，求數列{an}，{bn}的通項公式；nn均有：c1c2cn(n1)ann(2)設數列{c}對隨意的自然數b1b2bnn1，求數列{c}前n項和S．解：(1)a1＝(d－2)2，a3＝d2，a3－a1＝2d即d2－(d－2)2＝2d，解之得d＝2a1＝0，an＝2(n－1)又b1＝(q－2)2，b3＝q2，b3＝b1q2即q2＝(q－2)2q2，解之得q＝3∴b1＝1，bn＝3n－1(2)Cn(n1)an1nan4n,cn4n3n1bnS＝C＋C＋C＋＋Cn123n12n－1)＝4(1×3＋°2×3＋3×3＋＋n×3'2n－11×3＋°2×3＋′3×3'12n3Sn＋2×3＋3×3＋＋n×31×323n－11(3n1)n'1＋3＋n－3－2Sn3＋3＋＋3－n×3＝2·nSn'n3n3n124∴Sn＝2n·3n－3n＋1變式訓練4.已知等差數列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第二項，第五項，第十四項分別是等比數列{bn}的第二項，第三項，第四項．⑴求數列{an}與{bn}的通項公式；⑵設數列{cn}對隨意正整數n，均有c1c2c3cnan1，求c1＋c2＋c3＋＋c2007的b1b2b3bn值．解：⑴由題意得（a111＋4d)2(d>0)nnn－1．＋d）(a＋13d)＝(a解得d＝2，∴a＝2n－1，b＝3⑵當n＝1時，c1＝3當n≥2時，∵cnan1a∴cn3(n1)故cn23n1bnn,23n1(n2)c1c2c200732323223200632007概括小結na(1qn)，且要注意n表示項數；1．在等比數列的乞降公式中，當公比q≠1時，合用公式＝1S1q當q＝1時，合用公式Sn＝na1；若q的范圍未確準時，應付q＝1和q≠1議論乞降．2．在等比數列中，若公比q>0且q≠1時，能夠用指數函數的單一性確立數列的最大