化工過程分析與合成第1頁/共65頁FLOWTRAN流程模擬系統中取為-5、0CHESS系統中當q>0或q<-10時令q=0第2頁/共65頁多維Wegstein法分別用于每一個分量。令初始猜值為x0,則第二個初值可由直接迭代得到第3頁/共65頁第4頁/共65頁嚴格多維Wegstein法用向量代替變量，通過矩陣運算進行迭代求解對于n維方程，這一方法需要n+1組初始猜值（x0,x1,…,xn）第5頁/共65頁第6頁/共65頁(4)收斂判據斷裂物流迭代計算的收斂判據通常是猜值與計算值的絕對誤差或相對誤差第7頁/共65頁2.2.4.序貫模塊法解設計問題序貫模塊法具有計算方向不可逆的特點，單元模塊的計算只能按從輸入到輸出的方向進行只能通過調整某些決策變量或系統參數使計算結果滿足設計要求D－設計規定向量H－過程系統方程組p－決策變量與系統參數向量第8頁/共65頁①估計反應單元的溫度為T②估計再循環物流S4③依次計算混合單元、反應單元、分離單元，得到新的S4’的④比較S4與S4’，若兩者相等則進行下一步，若不相等則返回②在收斂單元內比較S5和設計值，若兩者不相等則返回①，若相等則計算結束控制模塊圖2-19具有再循環物流的過程系統混合器S1S2反應器分離器S3S4S5

第9頁/共65頁控制模塊的設置增加了迭代循環圈，導致計算量的增加為了提高收斂速度可以聯立求解再循環物流方程和設計方程，這就是同時收斂。使斷裂物流變量x和系統參數p同時逼近收斂解，從而大大的提高了收斂速度第10頁/共65頁2.3過程系統模擬的面向方程法序貫模塊法由于具有收斂計算的循環圈以致大大的增加了計算量。對于過程系統的設計計算問題和參數優化問題，情況將更為嚴重。因此，人們把注意力投向了面向方程法第11頁/共65頁2.3.1面向方程法的原理把描述過程系統的所有數學模型匯集到一起，形成一個非線性方程組進行求解

x－狀態變量向量w－決策變量向量

F－系統模型方程組，其中包括① 物性方程② 物料、能量、化學平衡方程③ 過程單元間的聯結方程④ 設計規定方程等等第12頁/共65頁比之序貫模塊法，在決策變量的確定上要隨意的多，決策變量和狀態變量的地位是等同的通常可以把設計規定的變量（如系統出口濃度）直接指定為決策變量。面向方程法在求解一般模擬問題和設計問題上是沒有差異的第13頁/共65頁通常過程系統模型方程組總是稀疏方程組過程系統模型的方程數和變量數往往都很大，但每個方程涉及的變量數一般只有幾個第14頁/共65頁面向方程法的核心問題是求解超大型稀疏非線性方程組，求解方法大致分為兩類① 降維求解法② 聯立求解法第15頁/共65頁2.3.2大型稀疏非線性方程組的降維解法把大型稀疏方程組分解成若干個小的非稀疏方程組，然后依次分別求解，從而達到降維和增大稀疏比的目的（1）方程組的分解概念對于n階稀疏方程組，常常可以找到一個包含有k1個變量的k1階子方程組。這個k1階子方程組可以單獨求解。其余的n-k1個方程中還可以再找出包含有k2個變量的k2階子方程組，這個子方程組也可以單獨求解。重復這一過程，最終將把原方程組分解成一系列可順序求解的子方程組第16頁/共65頁第17頁/共65頁第18頁/共65頁（2）回路搜索法分解方程組在描述方程組的有向圖上進行回路搜索。為了用有向圖表示方程組的結構，首先必須對每個方程指定一個變量作為其輸出變量輸出變量是可通過其所存在的方程中其它變量求解的變量，且每個變量只能被指定一次作為輸出變量步驟：選事件矩陣中元素最少的行和元素最少的列的交點處元素對應的變量作為優先指定的輸出變量，然后從事件矩陣中刪去該輸出變量對應的行和列重復上述過程直至矩陣中所有的行和列都被刪掉第19頁/共65頁第20頁/共65頁有向圖圖中每個節點代表一個方程。如果方程fi的輸出變量存在于fj中，則從節點fi向fj作一有向邊這個圖代表了方程間的信息流動方向4第21頁/共65頁回路搜索第22頁/共65頁第23頁/共65頁不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法1第24頁/共65頁斷裂與收斂是相輔相成的，斷裂后的系統必須通過收斂得以求解。為了易于收斂，因而總是希望斷裂的變量數最少。所以，總是要選擇包含變量數最少的方程中的變量作為斷裂變量，斷裂變量數等于該方程中的變量數減1。然后給斷裂變量賦初值，再進行迭代計算直至收斂f3，f4，f5行的變量數最少，都只有兩個。選擇f3中的x5為斷裂變量。從而解出x6第25頁/共65頁把f3行和x5,x6列刪去，得到左式該式為五行四列，有一個多余方程（它是由刪除斷裂變量x5產生的）。對其余的四行，四列進行重排，可得到右式第26頁/共65頁2.3.3

聯立擬線性方程組法解

大型稀疏非線性方程組大型稀疏非線性方程組的另一種求解方法是把非線性方程組線性化。然后聯立求解線性方程組。由于線性化引入了誤差，所以要借助迭代使線性化方程組的解逐漸逼近非線性方程組的解第27頁/共65頁線性化方法對于n維非線性方程組用n維線性方程組逼近該擬線性方程組的解（用下標QL表示）為：作臺勞展開可得到牛頓迭代解（下標NR）第28頁/共65頁把（2－35）式代入（2－37）式，得到令J=A第29頁/共65頁牛頓迭代具有二階收斂特性。下面方程也具有二階收斂。系數A和B均是向量x的函數。從x的第k次近似解xk可以計算得到Jk、F(xk)，從而得到Ak和Bk。將Ak和Bk代入，得到線性方程組。過程系統的模型方程組一般由線性方程和非線性方程組成，因而線性化的對象應該是非線性方程j第30頁/共65頁例

組分A的稀溶液在常溫下離解：質量平衡熱力學平衡求當k=2，A的初始濃度＝1時平衡態的組分濃度解：質量平衡式是線性方程，熱力學平衡式是非線性方程，首先利用對熱力學平衡式線性化第31頁/共65頁此外，還可以得到原方程的另一種線性化方程（即直接迭代式）兩種方法都可以收斂到解。第一種方法的收斂速度明顯比第二種方法快。這是由于牛頓迭代法具有二次收斂的特點，而直接迭代法只是線性收斂第32頁/共65頁第33頁/共65頁稀疏線性方程組的解法稀疏非線性方程組經線性化后得到的線性方程組仍然是稀疏的，從而把求解稀疏非線性方程組的問題轉化成求解稀疏線性方程組的問題常規的消去法是不經濟的，且計算效率低。為了減少計算時間和存儲空間，常用下列兩方面的技術只對非零元素進行計算只存儲非零元素（如壓縮存儲技術）第34頁/共65頁填充量

用高斯消去法進行消元過程的同時，會在原來零元素處引入非零元素新出現的非零元素稱作填充量，填充時與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關第35頁/共65頁在求解大型稀疏線性方程組時，應盡可能減少填充，否則會使計算效率下降。減少填充與提高數值穩定性和計算精度是矛盾的。如，為減少填充，需把55作為主元素，但如果它的絕對值很小，會引入較大的誤差，使計算精度、數值穩定性變差第36頁/共65頁主元容限通常把絕對值最大的元素作為主元，進行消元。目的是提高計算精度。但如果這樣選取的主元導致較大的填充，將引起計算效率的下降往往選擇一個絕對值不是最大，且不會引起填充量過大的元素作為主元人為規定一個界限e＞0。當矩陣元素的絕對值大于e，該元素就具備了作為主元的資格，若它引入的填充量也不是很大，就可定為主元。這個界限稱為主元容限經驗給定，但應滿足提高計算精度和減少填充量的統一要求第37頁/共65頁Bending-Hutchison算法該算法是在全元消去法的基礎上派生出來的一種求解稀疏線性方程組的算法。其核心是避免填充，同時保證計算的精度用過的：凡與被選作主元的元素有關的方程和變量都稱作“用過的”，反之為“未用過的”；橫列（rank）：未用過的方程中包含的未用過的變量數；縱列（file）：未用過的變量在未用過的方程中出現的次數第38頁/共65頁1選擇縱列最小的變量，如不止一個，任選其一；2在與此變量有關的方程中，選擇橫列最小的方程所對應的元素作為主元3如果橫列最小的方程不止一個，則選擇絕對值最大的元素作為主元4檢驗選出主元的絕對值是否大于用戶給出的主元容限。不大于，則返回①.否則進行下一步；5用這樣選擇出的主元進行常規的高斯消元，然后返回①。上述過程中，步驟①和②都是為了避免填充。而步驟③和④是為了保證計算精度和系數矩陣非奇異。第39頁/共65頁

例

一個物流分割器及混合器構成的簡化流程。第40頁/共65頁列2和列8只含一個元素，即縱列=1。這兩個元素分別為方程1和8的主元。這兩列中無其它元素，不用執行消元過程。第3，5，7，9列均含兩個非零元素，即縱列=2。選列3，非零元素存在于方程2和9中，方程2橫列=2，方程9橫列=3，選方程2中的該元素為主元。消去方程9中第3列的元素，這將導致方程9中的第一列產生一個非零元素。反復進行上述過程，然后進行回代過程第41頁/共65頁第42頁/共65頁V第43頁/共65頁2.4過程系統模擬的聯立模塊法兩種系統模擬方法的比較聯立模塊法與序貫模塊法的共同之處在于面向模塊；與面向方程法共同在于聯立求解過程過程系統模型方程第44頁/共65頁聯立模塊法利用嚴格模塊產生相應的簡化模型方程的系數，然后把所有的簡化模型方程匯集到一起進行聯解,得到系統的一組狀態變量。由于簡化模型是嚴格模塊的近似，所以計算結果往往不是問題的解，必須用嚴格模塊對這組解進行計算，修正簡化模型的系數。重復這一過程，直到收斂到原問題的解第45頁/共65頁把序貫模塊法中最費時、收斂最慢的回路迭代計算，用由簡化模型組成的方程組的聯解而代之，使計算加速，尤其是處理有多重再循環流或有設計規定要求的問題時具有較好的收斂行為。因此，聯立模塊法計算效率較高由于單元模塊數比之過程方程數要少得多，所以簡化模型方程組的維數比面向方程法也小得多，求解起來也容易得多。能利用大量原有的豐富的序貫模塊軟件。可在原有序貫模塊模擬器上修改得到聯立模塊模擬器。特點：第46頁/共65頁① 計算效率較高；② 對初值要求較低；③ 迭代循環圈較少；④ 計算出錯時診斷較容易；⑤ 能利用大量原有的軟件。優點：第47頁/共65頁12n嚴格模塊簡化模型方程聯立解{狀態變量}圖2-24聯立模塊法第48頁/共65頁S’

賦初值k=1開始擾動各模塊入口變量，求簡化模型系數Ak按流程結構組合AK建立系統簡化模型求解簡化模型得到ΔSik結束TF第49頁/共65頁以過程單元為基本單位建立簡化模型；以回路為基本單位建立簡化模型這兩種劃分策略分別與兩種切斷方式相對應聯結物流全切斷方式；回路切斷方式。2.4.2建立簡化模型的切斷方式第50頁/共65頁這種方式相當于把所有過程單元之間的聯結物流全部切斷，形成一系列互相獨立的過程單元聯結物流全切斷方式yx圖2－26聯結物流全切斷方式4123yxxyyx

第51頁/共65頁例

用聯立模塊法對三級閃蒸過程進行穩態模擬圖2-18三級閃蒸過程的模擬模塊流程入料混合器1閃蒸器3液相產品閃蒸器1閃蒸器2汽相產品收斂單元混全器2第52頁/共65頁解：①建立簡化模型嚴格單元模塊的輸入流股變量向量x與輸出流股變量y之間有嚴格模型：上式的一階臺勞展開式為即第53頁/共65頁令便可得到嚴格模型的線性增量簡化模型別對每個過程單元寫出其簡化模型：混合器：閃蒸器1：閃蒸器2：閃蒸器3：第54頁/共65頁由于混合器的嚴格模型為線性模型，且系統入料流股變量為給定值，所以有把上述線性簡化模型寫成矩陣形式的迭代格式，則有：第55頁/共65頁②從嚴格模塊計算簡化模型的系數對每個單元建立簡化模型，然后把單元簡化模型、聯結方程、設計規定方程集合到一起組成過程系統的簡化模型，由于切斷了全部聯結物流，描述整個過程系統的簡化模型方程數為：ne系統簡化模型方程數；nc聯結物流數nd設計規定方程數；ci聯結物流組分數第56頁/共65頁流股全切斷方式很類似于面向方程法。主要區別在于后者是嚴格模型方程，變量數也要大得多（包括單元內部變量）在處理實際問題時。聯結物流全切斷方式的維數往往還是很大的。因此人們又提出了回路切斷方式。第57頁/共65頁回路切斷方式相當于把若干個單元作為一個“虛擬單元”處理，建立虛擬單元的簡化模型。通常是以循環回路為一個虛擬單元，切斷再循環流股，故稱之為回路切斷方式回路切斷方式y=G(x)1xy=G(x)32圖2－27回路切斷方式虛擬單元x第58頁/共65頁虛擬單元的簡化模型與聯結方程、設計規定方程一起構成了系統的簡化模型。系統簡化模型方程數為：ni為切斷再循環流股數由于切斷的再循環流數