XX考研海文學員寒假學習計劃43P（數學）

海文學員XX考研寒假復習計劃XX考研數學全程復習

規劃

XX考研數學寒假學習計劃明細

XX考研數學寒假學習重要指導思想

《寒假配套特訓100題》

特訓題1、設f?e2x?ex?x,求f.解令e?l?u,x?ln

x

f?2??ln?u2?u?ln

于是f?x2?x?ln

sinx?sin?sinx??sinx?特訓題2、求極限lim4x?0x

解：lim

sinxsinx?sinsinxcosx?cos?cosx

?lim?lim

x?0x?0x?0x4x33x2

cosx）sin?cosx?lim?limx?0x?03x26xs

inxl?lim?x?06x6

3n?l?2n

特訓題3、求limn?l.nn??2?3

解分子、分母用3除之，

n

?2?3???

?3??3原式=1imnn??

?2?2???1?3?

n??

n

n

特訓題4、求下列各極限

x?Ox?O解解一原式=

X?

1??1?解二原式=lim

x?0

l?x?l?x?

2

?12

x

l?x?x??

??2等價無窮小量代換?2??llimx?0x

解三

用洛必達法則1

??1??

原式=lim?l

x?01

解一

原式=1im

x?0

?l?x???

l?x?

x???

?2

2

?2

3??

??

解二類似中解二用等價無窮小量代換

解三類似中解三用洛必達法則1im?l?

?n??

?1??1??1?

1??1??2??2?2?2??3??n?

??1???1???1????1???1??2??2??3??3??n??n?

n?ln?ln?ll

?lim?

n??2nnn2

解原式=lim?l?

?

n??

?

=lim?

特訓題5、求下列極限

1324n??2233

lim?l?

?x??

?2??x?

x?10

lim?

?l?x?

?x?01?x??

lx

解lim?l?

?n??

?2??x?

x?10

??2???lim?l?????x??

??x??

?10??x?

?x??2???????2???x?

?

???2??=lim??l?????x??

???x???

?x?????2?

?????

??2???1?

?e?2

1

x

?1?

99999x^

lim?l?x?lim?l???l?x?x?O??x?0解一lim??l

x?01?xe??lim?l?x?x

x?0

lx

e?l??e?2e

解二lim?

x?0

???2x???l?x??l?x?2x?

ml???????x?Ox?O?l?xl?x??????l?x??

cotx

1xlx?l?x???2???????2x??l?x?

?e?2

特訓題6、求下列極限lim

x?0

limx

x?l

4x?l

lim

x?0

cot2x

解令tanx?t則cotx?,當x?0時t?0于是lim

x?0

cotx

It

?lim?e

t?0

It

令x?l?t則x?l?t,當x?l時，t?0于是limx

x?l

4x?l

??

?t???e4t?0t?0

??

cos2x

4

t

14t

lim

x?0

cotx

2

?lim2sin

x?0

X

2

?lim?l????x?0

cos2x

?sin2x?21

=e

特訓題7、求下列極限lim

n??

n

?

12

k?lim

n

k

?2n??n?n?kk?l

n

解?.?2??2?2

n?n?nn?n?kn?n?lk?l1

n

1?2???nl?lim?而limn??n??nn2?2n2

1

n

l?2???nIlim2?lim2?n??n?n?ln??n?n?12

則夾逼定理可知lim

n

k1

??2n??2k?ln?n?k

n

特訓題8、求lim

n

.?22n??n?kk?l

分析如果還想用夾逼定理中方法來考慮

nn2nn2

??2?22222

n?nn?lk?ln?k

n21n2

?,Iim22?l而1im2

n??n?n22n??n?l

由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分

定義來考慮.

nln解lim?2?lim?2n??n??nn?kk?lk?l

1

n

l?k?

l????n?

2

dx??arctanx??Ol?x20

4

ll?sin

.特訓題9、求1imn??

sin3

n

解離散型不能直接用洛必達法則，故考慮

lim

x?0

x?sinxsin3x

等價無窮小代換

lim

x?0

x?sinx

3

x

l?cosxsinxl

?lim?2x?0x?03x6x61

?,?原式=.

6

=lim

特訓題10、求lim

e

x?0xl0

1

?

lx?2??xl

?2e?3?0exx?liml2,為了避免分子求導數的復雜性,

我們先用變量替換，令

1

?t,x2

?exe?tt5

于是liml0?lim?5?limt

x?0xt???tt???e?

2

?

1

5t45!

=limt???limt?Ot???et???e

特訓題11、求lim?

1??1

?x?.

x?O?xe?l?

01??x?l

解lim??x?lim?x?O?xe?l?x?OxO

ex?lex=limx?limxx

x?0?xexx?Oe?e?xex

=lim

11

?

x?02?x2

1cos2x

).特訓題12、求lim??2在內連續,則c?.

,x?c?x?

解：1

f?x??limf?x??c?l?分析：由lim??

2

X?c

x?c

2

?c?lc

x特訓題14、求1im?

x?0

2

sin2x

解令y?xsinx,lny?sin2xlnx

x?0

limlny?!imsin2xlnx?0??

x?00

x?0

特訓題15、求lim?cosx?

x?0

cot2x

解令y??cosx?

cot2x

,lny?cot2xlncosx

1imlny?limcot2xlncosx?lim

x?0

x?0

Incosxlncosx

?lim2x?0tan2xx?0x

1

?O?tanxl

??,/.Iimy?e2=lim

x?Ox?OO2x2

1??1

特訓題16、求lim?sin?cos?.

x??xx??

11?1???1

解令y??sin?cos?,Iny?xln?sin?cos?

xx?xx???

x

x

1??1

In?sin?cos?

1nxx?

limlny?lim??lim

x??x??t?Ot

x

=lim

t?0

cost?sint

?1

sint?cost

.*.limy?e

x??

特訓題17、求極限lim

x?0

Isinxln.2xx

解:lim

x?0

lsinxl?sinx?

n?l??l?

x?0x2x2xx??

?1im

sinx?xcosx?lsinx??

x?0x?0x?06xx33x26

特訓題18＞求lim

arctan3x

x?01nsin5x

解用等價無窮小量代換

1

2?

3?原式=limx?0x??5

1

,特訓題19＞求lim

x?01n

3sinx?x2cos

解這個極限雖是“必達法則.

”型，但分子、分母分別求導數后的極限不存在，因

此不能用洛0

l??sinx

3?xcos??31原式=lim???x?01?cosxln??2

x??

1

sinx?x?x3

,特訓題20＞求lim

x?0x5

x3x5

??o解Tsinx?x?

3!5!

x5

?o

11

???原式=1im5??

x?0x5!120

特訓題21、設f??2,求lim解

?x?0

f?f

?x

f?f???f?f??原式=lim

?x?0

?x

=31im

?x?0

?21im

?x?03?x?2?x=3f??2f??5f??10

特訓題22、設曲線y?f與y?sinx在原點相切，求

limnf.

n??

2

n

解由題設可知f?0,f???

x?0

?1

?2?

f???fn?2?

于是limnf???lim2?2f??2

n??n??2n???0

n

特訓題23、設a?0,xl?b?0,x2?

l?a?l?a?

?求?xl??,?xn??xn?l?

2?xl?2?xn?l?

limxn.

n??

解

Vxn?

??0

2a?xnl?a?

?0,則xn?l?xn又xn?l?xn??xn???xn?

2?xn?2xn

因此?xn?單調減少，又有下界，根據準則1,limxn?A

存在

n??

l?a?l?a?

把xn??xn?l?兩邊取極限，得A?A????

2?A?2?xn?l?

A2?a,VA>0

，???取A

limxn?

n??

特訓題24、求下列函數在分段點處的極限

?sin2x

xf??2

x?x>0??l?cosx

解f?lim?

x?0

sin2xsin2x

?lim2?2x?0?x2x

x2x2

f?lim?lim?2

x?0?l?cosxx?0?12

x2

x?0

1

??x2?esinx?.特訓題25、求lim??4x?0?x??l?ex???l

??x2?esinx???2?l?l解lim?4???x?0

?l?ex???3

???4?xx

2e?esinx???0?l?llim?4

x?O??x??e?x?l?

??l??x2?esinx?

Alim???14?x?0?x??l?ex

??

x2?ax?b特訓題26、設lim?3,求a和b.

x?lsin

解由題設可知lim?O,1+a+b=0

x?l

2

再對極限用洛必達法則

x2?ax?b2x?a2?alim?lim??3a?4,b??5x?lsinx?12xcos2

特訓題27、f連續，lim

x?0

l?cosf

x2

91,貝（］f999999999999999999

解：

12

121sinx

1

?1，則由f連續,則f?分析:lim2

x?Oxfx?0f2

特訓題28、討論函數

??ex?O?

f?x???Ox?0

?1

?xsinx?0

X?

在點x?0處的連續性。

解因f?O?O??limf?x??lime?O??

x?0

x?0

1

f?O?O??limf?x??limxsin??

x?0

x?0

1

?0x

f?0??0

即有f?0?0??f?O?O??f?0?,故f?x?在點x?0連續.特

訓題29、討論函數

i?ln?x?2?????x>0???

在點x?0的連續性.

1

In

?limlnx??l解f?O?O??lim??

x?Ox?Ox

f?

O?O??lim?

x?0

1

?lim?

x?0?2

x?0

因f?O?O??f?0?0?,因而limf?x?不存在，故f?x?在

點x?0不連續.

isinx??xlO?特訓題30、設f=ix在x=0處連續，求常

數k.??x=0??k

MVlimf?x??lim

x?0

sinx

?1

x?0x

f?0??k,由連續性可知k?l

特訓題31、

求函數f?

1

的間斷點，并確定其類型.x?l

解顯然x?l是間斷點，由于

1=x?lx?lx?l

x?ll

?

3

所以x?l是f?x?的可去間斷點.

x2?2x

特訓題32、求函數f?的間斷點，并確定其類型.

xx2?4解所給函數在點x?0,-2,2沒有定義，因此

x?0,-2,2是所給函數的間斷點.下面確定它們的類型.

對于x?0,由于

f?lim?

x?0

Xlxl

??,f?lim??

x?0?x2x2

故x?0是第一類間斷點，且為跳躍間斷點.

對于x??2,由于

f?f?lim

x??2

X

??

X

故x??2是第二類間斷點，且為無窮間斷點.對于x?2,

由于

x?2

xl

?

x4

1

,則f?x?在x?2連4

故x?2是第一類間斷點，且為可去間斷點.若補充定義

f?續.

特訓題33、設f在內有定義，且limf?a

x??

??1?

?f??x?O

g???x?

?0x?0?

則下列結論中正確的是x?0必是g的第一類間斷點x?0

必是g的第二類間斷點x?0必是g的連續點

g在x?0處的連續性與a的取值有關

解limg?limf?

x?Ox?O

?1?

?x???

/.a?0時x?0是g的連續點，a?0時，x?0是g的可去

間斷點故選D.

特訓題34、求limarctan?

x?0

?sinx?

?.x??

解因lim

sinx

?1,而函數y?arctanu在點u?l連續，所以

x?Ox

sinx???sinx??

limarctan?=arctanlim?arctanl???x?0?x?0xx4????

特訓題35、設f在x=2處連續，且f?3,求limf?

x?2

4??1

.?2

??x?2x?4?

解由于f在x=2處連續，且f?3,所以limf?3

x?2

則limf?

x?2

4??41?1

?2?2x?2x?2x?4?x?2x?4?x?213

?

x?2x?24

=m

x?2

特訓題36、設f在［a,b］上連續，且f?a,f?b,證

明：f?x在

內至少有一個根.

證令g?f?x,可知g在［a,b］上連續，

g?f?a?Og?f?b?O

由介值定理的推論，可知g在內至少有一個零點，即

f?x在內至少有一個根.

特訓題37、求證：方程e?e證令f?e?e有一個根.

x

?x

X

?x

?4?cosx在內恰有兩個根.

?cosx?4,它是偶函數，所以只需討論f在內恰

f??3?0,f?e2?e?2?cos2?4?0

f在?0,2?上連續，根據介值定理推論，至少有一個?？,

使f?o.

又因為f??ex?e?x?sinx?O?x?O?,所以f在內單調增

加，因此，

f在內最多只有一個零點，于是f在內恰有一個零點，

由偶函數的

對稱性，f在內恰有兩個零點，也即所給方程在內恰有

兩個根.

特訓題38、設f?x???x?a?g?x?,其中g?x?在點a處連

續，求f??a?。解?沒有假設g?x?可導，所以不能用導數的

乘法公式，我們就用導數的定義

x?a

f?x??f?a??x?a?g?x??O

?limx?ax?ax?a

=ligm?x??g?a?o

x?a

特訓題39、曲線sin?xy??ln?y?x??x在點？0,1?處的切

線方程為????????????????？.解：y?x?l.

?1

?1

Fxy?x?分析:設F?sin?ln?x,斜率k??,

Fy

xcos?

y?x

ycos?

在處,k?l,所以切線方程為y?l?x,即y?x?l

特訓題40、討論函數

??xx?0

y?f?x??x??

xx?0?

在x0?0處連續性與可導性。

解函數y?f?x??x在x0?0處連續，因為f?0??0

x?0?

limf?x??limf??x??0?

x?0

x?0?

limf?x??limx?0?

x?0x?0

則limx?f?0??0

但是，在x0?0處f?x?沒有導數，因為

f???0??lim?

?x?0

0??x?0?y

?lim?x?x?0??x?x??x

?lim???l?x?0?x?x

?1im?

?x?0

f???O??lim?

?x?0

O??x?O?y

?lim??x?x?O?x

?lim?

?x?0

?x?x?lim??l?x?O?x?

x

of???0??f???0?曲線y?x在原點的切線不存在特訓題

41、設函數

?x2x?l

f?x???

?ax?bx?l

試確定a、b的值，使f?x?在點x?l處可導。解?可導

一定連續，？f?x?在x?l處也是連續的，

f?x??limx?l由f?l?0??lim??

2

x?l

x?l

f?x??limf?l?O??lim?ax?b??a?b??

X?1

x?l

要使f?x?在點x?l處連續，必須有a?b?l或b?l?a

f?x??f?l?x2?l?lim?lim又f???l??lim?x?l??2??

x?l?x?lx?lx?lx?lf???l??lim?

x?l

f?x??f?l?a?x?l?ax?b?l

?lim?lim?ax?l?x?l?x?lx?lx?l

要使f?x?在點x?1處可導，必須f???l??f???l?,即

2?a

故當a?2,b?l?a?l?2??l時,f?x?在點x?l處可導。特

訓題42、求下列函數的導數：

2y?x?y?cotx?解y??

In?

x?

ln?x?

9

X??

??1?

????

???

X?1

?y??cotx??

2

?

?

?

?

=?2cotxcsc2x

?2cosx=???sin3x?

y?exsin

2

?lnx?cotx

sinx

特訓題43、求下列函數的微分

y?

2

2

2

解dy?x?exd?2xex?

2??ex?2xsindx??

x2

edxdy?

sinxd?dsinx

2

1?12?

??cscx?dx?cosxdxsinx?x??l?

?csc3x?cosxlnx?cosxcotx?dx

?xsinx?

=9

特訓題44、設f?x?,求f?.

?解令gx?x?x?g因此f??g?g?

f??g?50?2

特訓題45、設f可微，y?fef,求dy.解

dy?fdef?efdf=f?e=e

f

f

fdx?

1

f?efdxx

l????ff?fdx??x??

dx

dy

特訓題46、設y?

y由方程arctan?和dy.

解一對方程兩邊關于x求導，y看作x的函數，按中間

變量處理.

ll?x?y

9

22

9

?y?2

?

?

2y

y???22

l?x?y??

?

?

2

????

?

2xl?x?y

?

22

?

2

y??

?

2x1?x?y

?

22

9

l?x?y

?

22

9

?2?22??l?x?y?????

2

22?41?x?y??

9

?

?

?

2?22??l?x?y????dx于是，dy?222?41?x?y??

?

?

9

9

解二對方程兩邊求微分，根據一階微分形式不變性

22??d?arctan?d????l

dx2?y2??2

I?x2?y2

??

?

?

21?x2?y2

??

xdx?ydy??2?

?

2y??

1?x2?y2??

?

9

2

9

?dy????

2x?dx

?2?l?x2?y2?

?

??

2

22?41?x?y??

222?l?x?y?

?

?

?

dy?

9

?

?1?x2?y22??????dx

2

22?1?x?y??

9

?

??

2?22??l?x?y????dy?dx

2

22?41?x?y??

?

?

?

9

2?22??l?x?y??dy???于是

2dx22?41?x?y??

?

?

?

?

特訓題47、

求y?解Iny?

y?.l?xn?x?ln

x

l?n?x

1?

lxn?3?

In

對x求導，得

11?1112xex?l?y??????2?x?

y3?xx?lx?2x?le?x?因此，y??1112xex?1?

??2?x??

xx?lx?2x?le?x?

i?x=lndy?特訓題48、設i,求.

2?dx??y=tsintdy

dy2tsint+t2cost二二解dx3t

dtl+t

l+t3）上任一點？xO,?處切線與兩坐標軸所圍成的直角

xx0??

1?1

?2?x?xO?xOxO

令y?0,得切線截x軸的截距X?2x0,令x?0,得切線

截y軸的截距Y?

2,x0

直角三角形面積S?

?2?11

XY????222?xO?

2i?x=l+t?特訓題50、求曲線i在t=2處的切線方

程.3???y=t

dy3t23

解x0?l?2?5,y0?2?8.二二t

dx2t2

2

3

dy

二3,故切線方程為y-8=3dxt=2

即3x-y-7=0

?x?t2?2t,

特訓題51、設函數y=y由參數方程?確定，則曲線y=y

在x=3處的法

?y?ln

線與x軸交點的橫坐標是

11

ln2?3.?1n2?3.88

?81n2?3.81n2?3.[A]

【詳解】當x=3時，有t?2t?3,得t?l,t??3,于是

2

dy

dx

?t?12t?2

t?l

?

1

，可見過點x=3的法線方程為：8

y?ln2??8,

令y=0,得其與x軸交點的橫坐標為：ln2?3,故應.

3??x?t?3t?l

特訓題52、設函數y由參數方程?確定,則曲線y?y向

上凸的

3

??y?t?3t?1

18

x取值范圍為__________________

【分析】判別由參數方程定義的曲線的凹凸性，先用

由？

?x?x

?y?y

d2yd2yy??x??x??y?

定義的求出二階導數,再由2?0確定x的取值范圍.?23

dxdx)

dy

dy3t2?3t2?12【詳解】，？?2?2?1?2

dxdx3t?3t?lt?ldt

d2yd?dy?dt?2??14t

?91?999999

dx2dt?dx?dx?t2?l?333

d2y

?0?t?0.令2

dx

3

又x?t?3t?l單調增，在t?0時，x?o

特訓題53、設f?x?在?0,3?上連續，在?0,3?內可導,

且f?0??f?l??f?2??3,

f?3??l,試證:必存在???0,3?,使f?????0。

證?f在?0,3?上連續，?f在?0,2?上連續，且有最大

值M和最小值叫

m?f?M；于是m?f?M；故m?

1

)1f?f?f03

?M?

o

由連續函數介值定理可知，至少存在一點c??0,2?,

使得

f?c??

1

?f?f?f??13

因此f?c??f?3?,且f?x?在?c,3?上連續,?c,3?內

可導，由羅爾定理得出必存在？??c,3???0,3?,使得

f?????0o

特訓題54、設f?x?在?0,1?上連續，在?01,?內可導,

且3

f?x?dx?f?0?.

1

求證：存在x?使fC=0

證由積分中值定理可知，存在c,使得得到f?c??3

1

1

?2?

f?x?dx?f?c??l??

?3?

f?x?dx?f

2對f?x?在?0,c?上用羅爾定理，故存在x翁

特訓題55、設x>0,試證：

,,使"二0

x

證令f二In,它在[0,x]上滿足拉格朗日中值定理條件,

11

,ln-lnl=[x-0],1+tl+x

因此ln=

x

特訓題56、設不恒為常數的函數f?x?在?a,b?上連

續，？a,b?內可導，且

f?a??f?b?,證明？a,b?內至少有一點之，使得

證由題意可知存在C?使得f?c??f?a??f?b?

如果f?c??f?a?,則f?x?在?a,c?上用拉格朗日中值

定理存在xl?,使

f???l??

f?f

?0

c?a

如果f?b??f?c?,則f?x?在?c,b?上用拉格朗日中值

定理存在x2?,使

f???2??

f?f

?0,

b?c

因此,必有x?,使得f?????0成立.

特訓題57、設f???0,f=0,證明對任意xl>0,x2>0恒

有

f證不妨假設xl￡x2,由拉格朗日中值定理有

①f二f-f二f。，0②f-f=[-x2]f。,x2xlTfiif這樣由

①②兩式可知f>f-f因此，f特訓題58、設f?x?在?a,b?

上連續，？a,b?內可導，且b?a?O,證明：存在

x?,h?使fC=

a+bf。

2x

證考慮柯西中值定理

fiif-ff

g-ggg-g

最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.

再把欲證的結論變形，

fiiff

==222xa+bb-a

兩式比較，看出令g=x2即可.

b2+ab+a2f0

類似地，欲證f02,則取g=x3即可二

3x

特訓題59、設函數f?x?在？01且

f?O??f??O??f??l??O,f?l??l.,?上二階可導，求證：存

在x?,使得fii34

證先把f?x?在x=0處展成拉格朗日型余項的一階泰勒

公式

f?x??f?O??f??O?x?

1

f????l?x22!

再把f?x?在x=l處展成拉格朗日型余項的一階泰勒公

式

f?x??f?l??f??l??x?l??

在上面兩個公式中皆取X二

12

f????2??x?l?2!

1

則得2

1?1?1

9919)f?99f

28?2?

兩式相減，得f????l??f????2??8,于是fii+fii8因

此max

,fiifii)34

亦即證明存在x?,使fii34

特訓題60、設在？0,1?上f???x??0,則f??0?,

f??l?,f?l??f?0?或f?0??f?l?的大小順序是

f??

l??f??0??f?l??f?0?f??l??f?l??f?0??f??0?f?l??f?0??

f??l??f??0?f??l??f?0??f?l??f??0?解選？B?

???根據拉格朗日中值定理f?l??f?0??f?????l?0??

f????其中0???l,又f???x??0,??.f??x?單調增加因此,

f??l??f??

f??0?

特訓題61、設函數f在?a,b?上連續，在?a,b?內可導,

且滿足f?0,如果f?單調增加，求證?？

f?x?

在?a,b?內單調增加.x?a

證？??

?x?a?f??x??f?x?

2

?x?a?

f?f?f?f?

用拉格朗日中值定理

于是??？

f??x??f????

x?a

.f??x?是單調增加,???f??x?>f????因此

特訓題62、設函數f在內連續，其導函數的圖形如圖

所示，則f有

一個極小值點和兩個極大值點兩個極小值點和一個極

大值點

兩個極小值點和兩個極大值點

解有三個駐點和一個不可導點，考察它們兩側導數的

符號，用第一充分判別法可知，最小駐點為極大值點，另

一個較小駐點為極小值點，原點為不可導點是極大值點,

最大的駐點為極小值點，故應選C

特訓題63、討論f?max2x,?x的極值.

三個極小值點和一個極大值點

???x??0,則？?x?在?a,b?內單調增加

??

1?

l?x??x?l??3

解f??

l?2xx?l或

x??

?3?

f???二

?1?2

為極小值

33??

特訓題64、設f在xO鄰域內有定義，且

x?xO

lim

f-f

n

=k,其中n為正整數，klO為常數，討論f是否為極值.

解

f-f

n

=k+a,其中lima=0

x?xO

f-f=kn+an

若n為正偶數，當x-x0則f-f與k同號，當k>0,f

為極小值；當kVO,f為極大值.

若n為正奇數，當*\0特訓題65、設f?x??解：

x

?t?t?x?dt,0?x?l,求f?x?的極值、單調區間和凹凸

區間.

1

X

1

X

X

1

f??tdt??tdt??dt??dt

12t3x13t21x3x31xx3x3?????

23032x233232

x31xx3x3xl

9999999

3236326

f??x?

2

1,令f??

0,得x??.因為0?x?

1,所以x?.22f??0,得

?x?12

f??0,得

0?x?

因此，f的單調增區間是；單調減區間是.2

2

由f???2x,可知為凹區間.

26

由f?l?O,f???

0,知f??為極小值.223

x??

特訓題66、設y?x,則dy

=【分析】本題屬基本題型，哥指函數的求導問題可化

為指數函數求導或取對數后轉化為

隱函數求導.

【詳解】方法一：y?x二ey??e從而dy

xln

xln

,于是

?[ln?x?

cosx

],

l?sinx

x??

=y?dx???dx.

l?sinx),對x求導，得方法二：兩邊取對數，

lny?xln?,yl?sinx

X

于是y???[ln?x?dy

=y?dx???dx.

cosx

],故

1?sinx

x??

特訓題67、曲線y?

x

32

的斜漸近線方程為

【分析】本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式

進行計算即可.【詳解】因為a=lim

x???

f

?1im?l,x???xxx

?x

x

3

2

32

32

b?lim?f?ax??lim

x???

x???

?

3,2

于是所求斜漸近線方程為V?x?

3.2

f

不存在，則應進x

【評注】如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線,

是基本要求，應熟練掌握。這里應注意兩點：1）當存在水

平漸近線時，不需要再求斜漸近線；2）若當x??時，極限

a?lim

x??

一步討論x???或x???的情形，即在右或左側是否存在

斜漸近線，本題定義域為x〉0,所以只考慮x???的情形.

2

特訓題68>當x?0時,??kx與？？？xarcsinx?cosx是

等價無窮小，則k二

【分析】題設相當于已知lim

9

?1,由此確定k即可.

x?0?

27

【詳解】由題設，lim

??xarcsinx?x

?lim2x?0?x?Okx

xarcsinx?l?cosxkx

2

=lim

x?0

lxarcsinx?l?cosx33

lim??lk?.,得2x?02k4k4x

3n

【評注】無窮小量比較問題是歷年考查較多的部分，

本質上，這類問題均轉化為極限的計算.特訓題69、設函

數f?lim?x

n??

，則f在內

處處可導.恰有一個不可導點.

恰有兩個不可導點.至少有三個不可導點.口【分析】

先求出f的表達式，再討論其可導情形.【詳解】當X?1時,

f?lim?x

n??

3n

?1;

當x?l時，f?lim?l?l；

n??

當x?l時，f?limx?x.

In

3

??x3,x??l,?

即f??l,?l?x?l,可見f僅在x=?1時不可導，故應選.

?x3,x?l.?

【評注】本題綜合考查了數列極限和導數概念兩個知

識點.特訓題70、設函數f?

Ie

x

x?l

，則？1

x=0,x=1都是f的第一類間斷點.x=0,x=l都是f的第

二類間斷點.

x=0是f的第一類間斷點，x=l是f的第二類間斷點.

x=0是f的第二類間斷點，x=l是f的第一類間斷點.口

【分析】顯然x=0,x=l為間斷點，其分類主要考慮左

右極限.【詳解】由于函數f在x=O,x=l點處無定義，因此

是間斷點.且limf??,所以x=0為第二類間斷點；

x?0

f??l,所以x=l為第一類間斷點，故應選.f?0,

limlim??

x?l

x?l

XX

???lim???.從而limex?l???,limex?l?O.【評注】應

特別注意：lim,????

x?lx?lx?lx?lx?lx?l

特訓題71、若x?0時，？1與xsinx是等價無窮小，

則a二.

28

1

24

XX

【分析】根據等價無窮小量的定義，相當于已知lim

中應盡可能地應用無窮小量的等價代換進行化簡.

【詳解】當x?0時,?「?

124

2

14

?1,反過來求a.注意在計算過程

x?Oxsinx

2

1

4

12

ax,xsinx?x2.4

l?ax2

1

于是，根據題設有lim?lim2??a?L故a=-4.

x?Ox?0xsinx4x

特訓題72、設函數y=f由方程xy?2lnx?y4所確定，則

曲線y二f在點處的切線方程是.

【分析】先求出在點處的導數，然后利用點斜式寫出

切線方程即可.

【詳解】等式xy?2lnx?y4兩邊直接對x求導，得

y?xy??

2

?4y3y?,x

將x=l,y=l代入上式，有y??l.故過點處的切線方程為

y?l?l?,即x?y?O.

特訓題73、y?2x的麥克勞林公式中x項的系數是【分

析】本題相當于先求尸f在點x=0處的n階導數值f是

【詳解】因為y??21n2,y???2,?,y

n

nn

，則麥克勞林公式中xn項的系數

xx2

?2xn,于是有

yn

?.y?,故麥克勞林公式中x項的系數是

n!n!

特訓題74設{an},{bn},{cn}均為非負數列,且lim

an?O,limbn?1,limcn??,則必有

n??

n??

n??

an?bn對任意n成立.bn?cn對任意n成立.

極限limancn不存在.極限limbncn不存在.口

n??

n??

【分析】本題考查極限概念，極限值與數列前面有限

項的大小無關，可立即排除,；而極限

1imancn是0??型未定式，可能存在也可能不存在，舉

反例說明即可；極限limbncn屬1??型，必為無

n??

n??

窮大量，即不存在.

【詳解】用舉反例法，取an?

21

，bn?l,cn?n,則可立即排除，…因此n2

29

正確選項為.

9

?1n

,x?0,?

?x?arcsinx

6,x?0,特訓題75設函數f??ax2

?e?x?ax?lx?O,

,?x

?xsin

4?

問a為何值時，f在x=0處連續；a為何值時，x=0是

f的可去間斷點？

【分析】分段函數在分段點x;0連續，要求既是左連續

又是右連續，即

f?f?f.

Inax3

im【詳解】f?limx?O?x?O?x?arcsinxx?

O?x?arcsinx

=lim?

x?0

1?

3ax2

l?x

2

?lim?

x?0

3ax2?x?l

2

3ax2

??6a.=lim

x?0?12

?x2

eax?x2?ax?l

f?limf?lim

x?O?x?O?x

xsin

4

eax?x2?ax?laeax?2x?a2

?4lim?2a?4.=41im2x?0?x?0?2xx

2

令f?f,有?6a?2a?4,得a??l或a??2.

當a=-1時，limf?6?f,即f在x=0處連續.

x?0

當a=-2時，因而x=0是f的可去間斷點.

x?0

【評注】本題為基本題型，考查了極限、連續與間斷

等多個知識點，其中左右極限的計算有一定難度，在計算

過程中應盡量利用無窮小量的等價代換進行簡化.

?x?l?2t2,

d2y?u

l?21nte所確定，求2特訓題76＞設函數y二y由參數

方程?y?dudx?lu??

30

x?9

【分析】本題為參數方程求二階導數，按參數方程求

導的公式進行計算即可.注意當x=9時，可相應地確定參數

t的取值.

dxdyel?21nt22et

?4t,???【詳解】由，dtdtl?21nttl?21nt

dy2et

dye

得???,

dxdx412dt

d2yddyle?121

?所以二?？？dx2dtdxdx22t4t

dt

二？

e

.22

4t

2

當x=9時，由x?l?2t及t>l得t=2,故

d2y

dx2

x?9

??

e

4t22

t?2

??

e

.2

16

特訓題77、設f?lim

x

，則f的間斷點為X?.

n??nx2?1

【分析】本題屬于確定由極限定義的函數的連續性與

間斷點.對不同的x,先用求極限的方法得出

f的表達式,再討論f的間斷點.

【詳解】顯然當x?0時,f?0;

1x

x?x?l,當x?0時，f?lim?lim2n??nx2?ln??lxx2

x?

n

?0,x?0?

所以f??l,

,x?O??x

因為limf?lim

x?0

1

???fx?Ox

故x?0為f的間斷點.

3??x?t?3t?l

特訓題78、設函數y由參數方程?確定,則曲線y?y向

上凸的x取值范圍為

3

??y?t?3t?l

?x?x

【分析】判別由參數方程定義的曲線的凹凸性，先用

由？

y?y?

d2yd2yy??x??x??y?

定義的求出二階導數,再由2?0確定x的取值范圍.?23

dxdx)

dy

dy3t2?3t2?12【詳解】，？?2?2?1?2

dx3t?3t?lt?ldt

d2yd?dy?dt?2??14t

9?9?1-L9?9??9,????????

dx2dt?dx?dx?t2?l?333

d2y

?0?t?0.令2

dx

3

又x?t?3t?l單調增,在t?0時，x?o

特訓題79、把x?0時的無窮小量?？

9

9

X

costdt,???

2

x20

,???

t3dt排列起來，使排

在后面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是

?,?,?.?,?,?.

?,?,?.?,?,?.

【分析】對與變限積分有關的極限問題，一般可利用

洛必塔法則實現對變限積分的求導并結合無窮小代換求解.

【詳解】

?

x?0?

?

lim?lim

?

?

x?0?

0x0

t3dt

2

costdt

?lim?

x?0

3

?lim?

x?0

x

?lim?0,?

x?023

2

即??o.

?

?lim又

limx?0?x?0

9

x2

?

tanx?2x2x2

im?O,3x?0?x?0?xsinx202即？？o.

?、？，故選.從而按要求排列的順序為？、

特訓題80、設f?x,則

x?0是f的極值點，但不是曲線y?f的拐點.x?0不是f

的極值點，但是曲線y?f的拐點.x?0是f的極值點,且是曲

線y?f的拐點.

x?0不是f的極值點，也不是曲線y?f的拐點.【分析】

求分段函數的極值點與拐點，按要求只需討論x?0兩方

f?,f??的符號.

【詳解】f??

??x,?l?x?0

X,0?x?l?

??l?2x,?l?x?0

0?x?l?l?2x,

?2,?l?x?0

?2,0?x?l?

f???

f????

從而？l?x?O時,f凹，l?x?O時,f凸，于是為拐點.

1時，f?0,從而x?0為極小值點.又f?0,x?0、

所以,x?0是極值點，是曲線y?f的拐點，故選.特訓題

81、設函數f連續,且f??0,則存在??0，使得

f在內單調增加.f在內單調減小.對任意的x?有f?f.

對任意的x?有f?f.

【分析】可借助于導數的定義及極限的性質討論函數f

在x?0附近的局部性質.【詳解】由導數的定義知f??lim

x?0

f?f

?0,

x?0

由極限的性質，？??0,使x??時,有

f?f

?0

x

即？?x?0時，f?f,

0時，f?f,???x?

故選.

1特訓題82、求極限lim3

x?Ox

【分析】此極限屬于

??2?cosx?x?????l?.

399999?

型未定式.可利用羅必塔法則，并結合無窮小代換求

解.0

【詳解1】原式?lim

x?0

e

?2?cosx?xln??

3??

?1

x

3

?2?cosx?ln??

3??

?lim2x?0x

ln?ln3

x?0x2

1

??sinx)

?lim

x?02xllsinxl

?????!im

2x?02?cosxx6

?lim【詳解2】原式?lim

x?0

e

?2?cosx?

xln??

3??

?1

x

3

?2?cosx?ln??

3??

?lim

x?0x2

1n2x

?lim

COSX?11

??

x?03x26

?,??）特訓題83、設函數f在

O?dy??y?y?dy?OO??y?dydy??y?O由f??0可知f嚴格單

調增加f???0可知f是凹的即知

特訓題89、設函數g可微,h?e

l?g,h??l,g??2,則g等于ln3?l?ln2?l?ln3?lln2?l

Vh??g?el?g,l?2el?g

特訓題90、試確定A,B,C的常數值，使ex?l?Ax?o

其中。是當x?0時比x3的高階無窮小.

x2x3

??o代入已知等式得解：泰勒公式e?l?x?26x

x2x3[l?x???o][l?Bx?Cx2]?l?Ax?o26整理得

ll??Bl?x?x2???C???o?l?Ax?o26??2比較兩邊同次幕函數

得B+1二A①

>0②2

Bl?C??0③26

B12??0則B??式②-③得233

1A?代入①得3

1C?代入②得6C+B+

特訓題91、設數列｛xn｝滿足0?x1??,xn?l?sinxn

證明：limxn?l存在,并求極限n??

1

?xn?l?xn計算lim??n???xn?證:?x2?sinxl,?0?x2?l,

因此n?2xn?l?sinxn?xn,{xn}單調減少有下界??xn?O?根據

準則1,limxn?A存在n??在xn?l?sinxn兩邊取極限得

A?sinA?A?O因此limxn?l?0n??

1

?sinxn?xn原式？lim?為〃1?〃型？n???xn??離散散不能

直接用洛必達法則lit?t?sint?Ot???e先考慮lim??t?O?t?

limll?sit?n?t?

用洛必達法則？ell??t?02ttt

?et?01imtcost?sint2t3?et?01im?t2??t3?t?l??

0???t??0??2???6????2t3

?e?ll?33????t?0?26?lim2t3t?0?e

l?a?16特訓題92、證明：當O?a?b??時,bsinb?2co

sb??b?asina?2cosa?

證：令f?xsinx?2cosx??x

只需證明O?a?x??時，f單調增加f??

sinx?xcosx?2sinx???xcosx?sinx??

f???cosx?xsinx?cosx??xsinx?O

?f?單調減少

又f???cos????0

故O?a?x??時f??0則f單調增加

由b?a則f?f得證

?x?t2?l特訓題93、已知曲線L的方程?2y?4t?t?

討論L的凹凸性

過點引L的切線，求切點，并寫出切線的方程

求此切線與L及x軸所圍的平面圖形的面積

解：dxdydy4?2t2?2t,?4?2t,???ldtdtdx2tt

?dy?d??ld2yl?2?l?dx?????????0?2?23dxdxdtt?t?2t

dt

?曲線L是凸

?2?22,?1?,設xO?tO?1,y0?4t0?t0?t?切線方程為

y?0??

2則4t0?t0???2?2232?l?,4tO?tO?

?tO?

2得t0?t0?2?0,?O?tO?O?tO?l點為，切線方程為

y?x?l設L的方程x?g

則S????g????dy3

9

t?4t?y?0解出t?2得x?22?2?1

由于在L

上，由y?3得x?2可知

x?2?2?l?g

S??

?9?y???dy??0

333???dy?4

00

??4003332?21?4??2303

8642?21???3?333

特訓題94、當x?

1??

Ini.

i?n

【答案】應選.

【分析】利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將

四個選項先轉化為其等價無窮小量，再進行比較分析找出

正確答案.

【詳解】當X?

0時，有1?????

In.22

特訓題95、設函數f在x=0處連續，下列命題錯誤的

是：

ff?f存在,則f=0.若lim存在，則f=0.x?0x