7.6空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用[課時(shí)追蹤檢測(cè)][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為( )5π2πA.6B．3ππC.3D．6分析：∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)．∴cos〈a，b〉＝|a·b33|·||＝＝2.ab2×6π∴a與b的夾角為6，應(yīng)選D.答案：D2．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中→點(diǎn)，則·→的值為()AEAFA．a(chǎn)2B．122a1232C.4aD．4a分析：→·→1→＋→)1→＝1→·→＋→·→1221＝(·()＝(acos60°＋acos60°)＝4AEAF2ABAC2AD4ABADACAD4a2.答案：C3．(2018屆東營(yíng)質(zhì)檢)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)→→→，OA＋λOB與OB的夾角為120°，則λ的值為()A．±6B．6666C．－6D．±6→→分析：∵OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，λ＋λ16∴cos120°＝1＋2λ2·2＝－2，得λ＝±6.66經(jīng)查驗(yàn)λ＝6不合題意，舍去，∴λ＝－6.1答案：C4．已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連結(jié)AC，BD，PB，PC，PD，則以下各組向量中，數(shù)目積不為零的是( )→→→→A.PC與BDB．DA與PB→→→→C.PD與ABD．PA與CD→→分析：由于PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，PA·CD＝0，清除D.→→→→又由于AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以DA·PB＝0，同理PD·AB＝0，清除B，C，應(yīng)選A.答案：A5．如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，四邊形CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是( )A.3B．2C．1D．3－2→→→→分析：∵BD＝BF＋FE＋ED，→2＝|→2→2＋→2→→→→→→＝3－∴|BD|BF|＋|FE||ED|＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－22，故|→|＝3－2.BD答案：D6．已知＋＋＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，則向量a與b的夾角為()abcA．30°B．45°C．60°D．以上都不對(duì)分析：∵a＋＝－，∴2＋2＋2＝c2.bcaba·b又∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3.1cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝60°.2答案：C7a1b(x,1,2)，此中x>0.若a∥bx的值為( )．已知向量＝8，x，x，＝，則2A．8B．4C．2D．32分析：解法一：因x＝8,2,3時(shí)都不知足a∥b.而x＝4時(shí)，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2，∴a∥.bbλx＝8，解法二：a∥b?存在λ>0使a＝λb?8，x，x＝λ，λ，λx＝λ，2(x2)?2x＝2λλ＝2，∴選B.?x＝4，答案：B8．在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x，4,3)為極點(diǎn)的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)x的值為________．→→→→→→分析：由題意知AB·AC＝0，|AB|＝|AC|，又AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4,3，－6)，∴x－－6＋18＝0，解得x＝2.x－2＝4，答案：2已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是CD，PC的中點(diǎn)，而且PA＝AD＝1.在如下圖的空間直角坐標(biāo)系中，則|MN|＝________.1分析：連結(jié)PD，∵M(jìn)，N分別為CD，PC的中點(diǎn)，∴|MN|＝2|PD|，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，∴||＝02＋－2＋12＝2，∴||＝2.22答案：2→1→→2→→10．已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝3VC，VM＝3VB，VN2→＝3VD.則VA與平面PMN的地點(diǎn)關(guān)系是________．3→→→分析：如圖，設(shè)VA＝a，VB＝b，VC＝c，→則VD＝a＋c－b，→21由題意知PM＝3b－3c，→2→1→PN＝3VD－3VC2213a－3b＋3c.3→3→所以VA＝2PM＋2PN，→→→∴VA，PM，PN共面．又∵VA?平面PMN，∴VA∥平面PMN.答案：平行11．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．求|2a＋b|；→(2)在直線AB上，能否存在一點(diǎn)E，使得OE⊥b？(O為原點(diǎn))解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝02＋－2＋52＝52.(2)令→＝→(t∈R)，AEtAB→→→所以O(shè)E＝OA＋AE→→＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，→→若OE⊥b，則OE·b＝0，9所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝5.→6142所以存在點(diǎn)E，使得OE⊥b，此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為－5，－5，5.12.如圖，在多面體ABC－ABC中，四邊形AABB是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，BC111111141綊2BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求證：A1B1⊥平面AA1C；AB1∥平面A1C1C.證明：∵二面角A1－AB－C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，AA1⊥平面ABC.又∵AB＝AC，BC＝2AB，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，AB，AC，AA1兩兩相互垂直．成立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AB＝2，則A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．→→，(1)A1B1＝(0,2,0)，A1A＝(0,0，－2)→＝(2,0,0)，AC設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，→－2z＝0，則1即n·→＝0，2x＝0，ACx＝0，y＝1，則＝(0,1,0)即取．z＝0.n→→∴A1B1＝2n，即A1B1∥n.∴A1B1⊥平面AA1C.→→→(2)易知AB1＝(0,2,2)，A1C1＝(1,1,0)，A1C＝(2,0，－2)，設(shè)平面11的一個(gè)法向量＝(x1，y1，z1)，ACCm5→x1＋1＝0，·11＝0，則即→2x1－2z1＝0，m·A1C＝0，令x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．→∴AB1·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，→∴AB1⊥m.又AB1?平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.[能力提高]1．A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且知足→→→→→→AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M為BC中點(diǎn)，則△AMD是()A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．不確立→1→→．分析：∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴AM＝(AB＋AC)2→→1→→→∴AM·AD＝2(AB＋AC)·AD＝1→·→＋1→·→＝0.2ABAD2ACADAM⊥AD，△AMD為直角三角形．答案：C2.(2018屆吉林延邊質(zhì)檢)如圖，四周體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.證明：平面ACD⊥平面ABC；過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四周體ABCD分紅體積相等的兩部分，求二面角D－AE－C的余弦值．解：(1)證明：如下圖，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO，OD.∵△ABC是等邊三角形，∴OB⊥AC.6在△ABD與△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD.∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜邊，∴∠ADC＝90°.1DO＝2AC.2222∴DO＋BO＝AB＝BD.∴∠BOD＝90°.OB⊥OD.又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD.又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC.hDDE(2)設(shè)點(diǎn)D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE.則＝.hEBE∵平面AEC把四周體ABCD分紅體積相等的兩部分，31S△ACE·hDDDE∴＝＝＝1.1△ACEEhEBE3S·h∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)．BD成立如下圖的空間直角坐標(biāo)系．不如取AB＝2.31則O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)，B(0，3，0)，E0，2，2.→→31→AD＝(－1,0,1)，AE＝－1，2，2