專題11圓與圓的位置關系要點圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種，分別為外離、外切、相交、內切、內含.1．幾何法：位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1、r2的關系d＞r1＋r2d=r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d=|r1－r2|d<|r1－r2|2.代數法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數進行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))消元，一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?,Δ＝0?,Δ＜0?))【基礎自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，則兩圓外切．()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(3)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條．()(4)如果兩圓相外切，則有公切線3條．()【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√2．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系為()A．相離B．相交C．外切D．內切【答案】B【解析】圓O1的圓心坐標為(1,0)，半徑長r1＝1；圓O2的圓心坐標為(0,2)，半徑長r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝eq\r(5)＜r1＋r2＝3，即兩圓相交．3．圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則()A．E＝－4，F＝8B．E＝4，F＝－8C．E＝－4，F＝－8D．E＝4，F＝8【答案】C【解析】由題意聯立兩圓方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋F＝0，,x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，))得4x＋Ey－4－F＝0，則eq\f(E,4)＝－1，eq\f(－4－F,4)＝1，解得E＝－4，F＝－8，故選C.4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點，則直線AB的方程是________．【答案】x＋3y＝0【解析】(x－1)2＋(y－3)2＝20化為一般式為：x2＋y2－2x－6y－10＝0，①又圓x2＋y2＝10，即x2＋y2－10＝0②①－②得：x＋3y＝0，即為直線AB的方程．題型一圓與圓的位置關系的判斷1．兩圓C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置關系是()A．相離B．相切C．相交D．內含【答案】C【解析】法一：(幾何法)把兩圓的方程分別配方，化為標準方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以兩圓圓心為C1(1,0)，C2(2，－1)，半徑為r1＝2，r2＝eq\r(2)，則|C1C2|＝eq\r(?1－2?2＋?0＋1?2)＝eq\r(2)，r1＋r2＝2＋eq\r(2)，r1－r2＝2－eq\r(2)，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，兩圓相交．法二：(代數法)聯立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－3＝0，,x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝－2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝0，))即方程組有2組解，也就是說兩圓的交點個數是2，故可判斷兩圓相交．故選C.2．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的位置關系是________.【答案】外切【解析】由題意知C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此兩圓外切．【方法技巧】判斷圓與圓的位置關系的一般步驟1．將兩圓的方程化為標準方程(若原方程已是標準形式，此步驟不需要)．2．分別求出兩圓的圓心坐標和半徑長r1，r2.3．求兩圓的圓心距d.4．比較d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關系．5．根據大小關系確定位置關系．題型二兩圓相切問題例1(1)以(3，－4)為圓心，且與圓x2＋y2＝64內切的圓的方程為________．(2)圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9與圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，則m的值為________.【答案】(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169(2)2或－5【解析】(1)設所求圓的半徑為r，則eq\r(32＋?－4?2)＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由題意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.【方法技巧】處理兩圓相切問題的兩個步驟1．定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮兩圓內切還是外切兩種情況討論．2．轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時)．【變式訓練】1.半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內切，則此圓的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36【答案】(1)D【解析】(1)由題意可設圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝36，由題意，得eq\r(a2＋9)＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故選D.2.與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點M(3，－eq\r(3))的圓的方程是________．【答案】(2)(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36【解析】(2)已知圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，則圓心為C(1,0)，半徑為1.設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．由題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(?a－1?2＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6))即所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.題型三兩圓相交的問題【例2】求圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直線被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)所截得的弦長．【解析】由題意將圓C1與圓C2的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0，對于圓C1：x2＋y2＝1，該圓的圓心到直線x＋y－1＝0的距離為d＝eq\f(|1×0＋1×0－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，由條件知r2－d2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,2)，所以公共弦長為2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).[方法技巧]1．兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．公共弦長的求法(1)代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解．【變式訓練】1.若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度為________．【答案】4【解析】如圖所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝eq\r(5)，|O1A|＝2eq\r(5)，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝2，∴|AB|＝4.【易錯辨析】忘記求相交兩圓的公共弦方程的前提致錯．【例3】過兩圓C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交點所在的直線的方程為()A．x－y＋11＝0B．x－y－11＝0C．x＋y＋11＝0D．不存在【答案】D【解析】由題意得C1(1,1)，R1＝1，C2(2,0)，R2＝5∴|C1C2|＝eq\r(2)＜R2－R1，∴兩圓內含∴過兩圓交點的直線不存在．故選D.【易錯警示】易錯原因糾錯心得忘記了兩圓相交的前提，直接把兩圓方程相減得x－y＋11＝0，錯選A.只有當兩圓相交時，它的公共弦方程才是把兩圓的方程對應相減得到；如果兩圓不相交，則不能用這個結論．今后遇到類似問題，要先判斷兩圓的位置關系，再作決定.1．（2020·福清西山學校高二期中）兩圓C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置關系是()A．相離 B．相切C．相交 D．內含【答案】C【解析】法一：(幾何法)把兩圓的方程分別配方，化為標準方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以兩圓圓心為C1(1,0)，C2(2，－1)，半徑為r1＝2，r2＝eq\r(2)，則圓心比|C1C2|＝eq\r(?1－2?2＋?0＋1?2)＝eq\r(2)，r1＋r2＝2＋eq\r(2)，r1－r2＝2－eq\r(2)，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，兩圓相交．法二：(代數法)聯立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－3＝0，,x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝－2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝0，))即方程組有2組解，也就是說兩圓的交點個數為2，故可判斷兩圓相交．2．(多選)（2020·山東淄博實驗中學高二月考）已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25【答案】CD【解析】設動圓圓心為(x，y)，若動圓與已知圓外切，則eq\r(?x－5?2＋?y＋7?2)＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若動圓與已知圓內切，則eq\r(?x－5?2＋?y＋7?2)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.3．（2020·黑龍江哈九中高二）圓O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0與圓O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切線條數為()A．4條 B．3條C．2條 D．1條【答案】C【解析】圓O1為(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圓O2為(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝eq\r(?3＋2?2＋?－8－4?2)＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴兩圓相交．∴公切線有2條．4．（（2020秋?浦東新區校級期中）兩內切圓的半徑長是方程x2+px+q＝0的兩根，已知兩圓的圓心距為1，其中一圓的半徑為3，則p+q＝（）A．2或4 B．4 C．1或5 D．5【答案】C【解析】根據題意，設兩個圓的半徑為R，r，且R＝3，則有|R﹣r|＝1，解可得r＝2或4，又由R、r是方程x2+px+q＝0的兩根，則，當r＝2時，p＝﹣5，q＝6，此時p+q＝1，當r＝4時，p＝﹣7，q＝12，此時p+q＝5，故p+q＝1或5，故選C．5．（2020·重慶一中高二月考）已知點M在圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，點N在圓C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，則|MN|的最大值是()A．5 B．7C．9 D．11【答案】C【解析】由題意知圓C1的圓心C1(－3,1)，半徑長r1＝2；圓C2的圓心C2(1，－2)，半徑長r2＝2.因為兩圓的圓心距d＝eq\r([1－?－3?]2＋[?－2?－1]2)＝5＞r1＋r2＝4，所以兩圓相離，從而|MN|的最大值為5＋2＋2＝9.故選C.6．（2020·峨山彝族自治縣第一中學高二期中）若圓x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外離，則a，b滿足的條件是________．【答案】a2＋b2>3＋2eq\r(2)【解析】由題意可得兩圓圓心坐標和半徑長分別為(a,0)，eq\r(2)和(0，b)，1，因為兩圓相離，所以eq\r(a2＋b2)>eq\r(2)＋1，即a2＋b2>3＋2eq\r(2).7．（2020·伊美區第二中學高二期末）若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長為2eq\r(3)，則a＝________.【答案】1【解析】兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝eq\f(1,a)，又a>0，結合圖象(圖略)，再利用半徑、弦長的一半及弦心距所構成的直角三角形，可知eq\f(1,a)＝eq\r(22－?\r(3)?2)＝1?a＝1.8．（2020·西藏山南二中高三月考）過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程是________．【答案】x2＋y2－3x＋y－1＝0【解析】設圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，則(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圓心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝eq\f(1,3)，所以所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0.9．（2020·四川高二期末）求與圓C：x2＋y2－2x＝0外切且與直線l：x＋eq\r(3)y＝0相切于點M(3，－eq\r(3))的圓的方程．【解析】圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，圓心C(1,0)，半徑為1.設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(?a－1?2＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2.))所以所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4.10．（2020·福建莆田一中高二期中）已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圓C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)當m＝1時，判斷圓C1和圓C2的位置關系；(2)是否存在實數m，使得圓C1和圓C2內含？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．【解析】(1)當m＝1時，圓C1的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C1(1，－2)，半徑長為r1＝3，圓C2的方程為(x＋1)2＋y2＝1，圓心為C2(－1,0)，半徑長為r2＝1，兩圓的圓心距d＝eq\r(?1＋1?2＋?－2－0?2)＝2eq\r(2)，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圓C1和圓C2相交．(2)不存在實數m，使得圓C1和圓C2內含．理由如下：圓C1的方程可化為(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓心C1的坐標為(m，－2)，半徑為3.假設存在實數m，使得圓C1和圓C2內含，則圓心距d＝eq\r(?m＋1?2＋?－2－0?2)＜3－1，即(m＋1)2＜0，此不等式無解．故不存在實數m，使得圓C1和圓C2內含．11．（2020·全國高二課時練習）圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則()A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8【答案】C【解析】由題意聯立兩圓方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋F＝0，,x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，))得4x＋Ey－4－F＝0，則eq\f(E,4)＝－1，eq\f(－4－F,4)＝1，解得E＝－4，F＝－8，故選C.12．（2020·四川省綿陽南山中學高二期中（文））若圓平分圓的周長，則的最小值為（）A．8 B．9 C．16 D．20【答案】A【解析】兩圓方程相減得，，此為相交弦所在直線方程，圓的標準方程是，圓心為，∴，，∵，∴，當且僅當即時等號成立．故選：A．13.（多選）（2020·河北承德第一中學高二月考）圓與圓，下列說法正確的是（）A．對于任意的，