2022年江蘇省南通市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

2.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C

3.滑輪半徑，一0．2m，可繞水平軸0轉動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A，如圖所示。已知滑輪繞軸0的轉動規律為φ=0．15t3rad，其中t單位為s。當t-2s時，輪緣上M點速度、加速度和物體A的速度、加速度計算不正確的是()。

A.M點的速度為VM=0．36m／s

B.M點的加速度為aM=0.648m／s2

C.物體A的速度為VA=0．36m／s

D.物體A點的加速度為aA=0.36m／s2

4.

5.設y=2x3，則dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

6.

7.f(x)在[a，b]上連續是f(x)在[a，b]上有界的()條件。A.充分B.必要C.充要D.非充分也非必要

8.方程y"+3y'=x2的待定特解y*應取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)

9.設f(x)=x3+x，則等于()。A.0

B.8

C.

D.

10.函數f(x)=2x3-9x2+12x-3單調減少的區間為A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

11.A.A.4/3B.1C.2/3D.1/3

12.

13.

14.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

15.

A.f(x)－f(a)B.f(a)－f(x)C.f(x)D.f(a)

16.

17.

18.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

19.

20.

有()個間斷點。

A.1B.2C.3D.4二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.

26.設z=ln(x2+y)，則全微分dz=__________。

27.設，將此積分化為極坐標系下的積分，此時I=______.

28.29.設y=ln(x+2)，貝y"=________。

30.

31.32.設區域D：0≤x≤1，1≤y≤2，則33.若=-2，則a=________。34.設y=x+ex，則y'______．

35.

36.過M0(1，－1，2)且垂直于平面2x-y＋3z-1＝0的直線方程為．

37.

38.∫e-3xdx=__________。

39.

40.

三、計算題(20題)41.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則42.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．43.

44.45.

46.

47.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．48.求微分方程的通解．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.求曲線在點(1，3)處的切線方程．51.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．52.證明：53.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．54.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

55.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

56.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

57.

58.59.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．60.

四、解答題(10題)61.

62.

63.64.65.將f(x)=ln(1+x2)展開為x的冪級數．

66.一象限的封閉圖形．

67.

68.求，其中D為y=x-4，y2=2x所圍成的區域。69.

70.設z=x2ey，求dz。

五、高等數學(0題)71.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

2.C

3.B

4.A

5.B

6.B

7.A定理：閉區間上的連續函數必有界；反之不一定。

8.D本題考查的知識點為二階常系數線性微分方程特解y*的取法．

由于相應齊次方程為y"+3y'0，

其特征方程為r2+3r=0，

特征根為r1=0，r2=-3，

自由項f(x)=x2，相應于Pn(x)eαx中α=0為單特征根，因此應設

故應選D．

9.A本題考查的知識點為定積分的對稱性質。由于所給定積分的積分區間為對稱區間，被積函數f(x)=x3+x為連續的奇函數。由定積分的對稱性質可知

可知應選A。

10.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定義域為(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得駐點x1=1，x2=2。

當x＜1時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。

當1＜x＜2時，f'(x)＜0，f(x)單調減少。

當x＞2時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。因此知應選B。

11.C

12.B

13.A

14.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

15.C

本題考查的知識點為可變限積分求導．

16.A

17.A

18.C

19.B

20.C

∵x=0，1，2，是f(x)的三個孤立間斷∴有3個間斷點。

21.F'(x)

22.

23.

24.90

25.(-33)(-3,3)解析：

26.

27.

28.

29.

30.

31.4π32.本題考查的知識點為二重積分的計算。

如果利用二重積分的幾何意義，可知的值等于區域D的面積．由于D是長、寬都為1的正形，可知其面積為1。因此33.因為=a，所以a=-2。34.1+ex本題考查的知識點為導數的四則運算．

y'=(x+ex)'=x'+(ex)'=1+ex．

35.22解析：36.

本題考查的知識點為直線方程的求解．

由于所求直線與平面垂直，因此直線的方向向量s可取為已知平面的法向量n＝(2，－1，3)．

由直線的點向式方程可知所求直線方程為

37.

解析：

38.-(1/3)e-3x+C

39.

40.00解析：41.由等價無窮小量的定義可知

42.

列表：

說明

43.由一階線性微分方程通解公式有

44.

45.

46.

47.

48.

49.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

50.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

51.

52.

53.

54.由二重積分物理意義知

55.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

56.

57.

58.

59.函數的定義域為

注意

60.

則

61.由題意知,使f(x)不成立的x值,均為f(x)的間斷點.故sin(x-3)=0或x-3=0時'f(x)無意義,則間斷點為

x-3=kπ(k=0,±1,±2,..).

即x=3+kπ(k=0,±1,±2--.).

62.

63.

64.65.由于

因此

本題考查的知識點為將函數展開為冪級數．

綱中