RBNS的線性預(yù)測模型

1引言非壽險責(zé)任準備金是保險公司最主要的負債項目，責(zé)任準備金評估的充足性和準確性，分別構(gòu)成了保險公司履行保險賠付責(zé)任的能力和經(jīng)營成本的重要基礎(chǔ)，尤其是準備金的充足性更是成為保險監(jiān)管部門的重點監(jiān)管目標之一。保險公司非壽險業(yè)務(wù)準備金包括未到期責(zé)任準備金（notincurred，簡記為NI）和未決賠款準備金（指保險公司為尚未結(jié)案的賠案而提取的準備金）。而未決賠款準備金又包括已發(fā)生已報案未決賠款準備金（reportedbutnotsettled，業(yè)界通稱RBNS）和已發(fā)生未報案未決賠款準備金（incurredbutnotreported，業(yè)界通稱IBNR）。IBNR是指對那些到當前會計日或精算評估日（簡稱currentinstant）已經(jīng)發(fā)生但還沒有報告給保險公司的賠案而提取的責(zé)任準備金，而RBNS是指對那些到當前會計日或精算評估日已經(jīng)報告給保險公司但還沒有結(jié)案的賠案而提取的責(zé)任準備金。對于未決賠款準備金，人們提出了許多確定性和隨機性的方法來對它進行預(yù)測和估計。這些傳統(tǒng)的準備金評估方法都是基于聚合數(shù)據(jù)（aggregatedata）的，因而，Tayloretal.（2003）稱它們?yōu)榫酆纤髻r模型（aggregateclaimsmodels），相關(guān)內(nèi)容可以參見綜述EnglandandVerrall（2002）、Tayloretal.（2003）及WüthrichandMerz（2008）。然而，由于聚合數(shù)據(jù)模型使用的數(shù)據(jù)是對單個時間周期（通常為一年）內(nèi)的所有個體索賠數(shù)據(jù)的加總，因而必然會部分地丟失個體數(shù)據(jù)中所含的有用信息，這就將使得傳統(tǒng)的聚合索賠模型沒有充分地利用歷史數(shù)據(jù)所提供的完整信息，對準備金進行有效的預(yù)測，因此對于準備金的厘定，用基于單個索賠的個體數(shù)據(jù)比用聚合數(shù)據(jù)更為有效（可以參見EnglandandVerrall（2002）和Tayloretal.（2003））。實際上，從統(tǒng)計學(xué)的觀點來看，這是顯然的，因為數(shù)據(jù)的簡單加總不一定能夠保證信息的完好保存，或者，用統(tǒng)計的術(shù)語來說，傳統(tǒng)的聚合索賠模型中所用數(shù)據(jù)一般不是原始數(shù)據(jù)的充分統(tǒng)計量?；谏鲜龅挠^察，人們提出了一些基于個體數(shù)據(jù)的準備金模型，Tayloretal.（2003）稱這樣的模型為個體索賠模型（individualclaimsmodel）。下面是該方法的一些值得一提的結(jié)果。Antonioetal.（2006）用基于縱向數(shù)據(jù)的廣義線性混合模型（GLMM：generalizedlinearmixedmodels）來預(yù)測已報告未結(jié)案的準備金（RBNS）。Jewell（1989，1990）用齊次Poisson過程來刻畫索賠發(fā)生過程，Norberg（1993）提出用標值Poisson過程（markedPoissonprocesses）來刻畫索賠過程，Norberg（1999），Larsen（2007），HaastrupandArjas（1996）和Neuhaus（2004）是Norberg（1993）模型的進一步研究。本文把線性預(yù)測理論引入到RBNS的厘定當中來，是基于個體索賠數(shù)據(jù)的一個模型，也就是說，是一個個體索賠模型。在本文的模型中，不需要假定其前兩階矩的形式，更不需要對索賠數(shù)據(jù)的具體分布進行假設(shè)，而只需假設(shè)個體索賠數(shù)據(jù)的前兩階矩存在，這在實際生活當中不失為一個合理的假設(shè)。與此同時，該模型能給出預(yù)測的均方誤差，這在準備金的厘定過程中甚至對整個公司的全面管理都是非常有用的。該方法具有成本低、費時少、可操作性強等特點。在文章的最后，基于準備金厘定文獻中常用的分布假設(shè)進行數(shù)據(jù)模擬，然后對模擬數(shù)據(jù)用線性預(yù)測方法和經(jīng)典的鏈梯法同時對RBNS進行預(yù)測，并把它們與準備金真實值進行對比，模擬結(jié)果表明，本文提出的方法是一個行之有效的方法。2數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及模型假設(shè)及總準備金注釋2.11.我們在這里假定了索賠進展的最大年份是n+1，對于規(guī)定了最遲結(jié)案時間的險種，這是現(xiàn)實的；如果沒有最大結(jié)案年限的限制，則結(jié)案時間是一個隨機變量，比如說T，我們總是可以選取足夠大的n，使得概率P（T＞n+1）的值充分小到可以容忍的程度，使得本文所得到的方法可以認為是真實模型的一個近似。而且，最大結(jié)案時間也是傳統(tǒng)的鏈梯法一直采用的假定，我們這里采用這個假定，除了數(shù)學(xué)上的方便之外，一個附帶的好處是容易與鏈梯法直接進行對比。2.我們明白本模型的一個嚴重的不足是，忽視了索賠是否已經(jīng)結(jié)案。在精算的評估日，一個案例是否已經(jīng)結(jié)案是已知的，這個信息在這里被忽略了。為了個體數(shù)據(jù)模型能夠得到更準確的預(yù)測，這個問題將是我們進一步研究的課題。本模型在實際應(yīng)用中的一個修正方法是：對已經(jīng)結(jié)案的索賠不再預(yù)測其將來的索賠（或者說，將其準備金預(yù)測為0，但是這樣做的合理性有待進一步思考）。3.除此之外，本模型的假定可以說是相當弱。3線性預(yù)測及其均方誤差3.2均值向量和協(xié)方差陣的估計此時，誤差項滿足下面的關(guān)系來估計。4.2模擬結(jié)果為了驗證本文研究的個體索賠的線性預(yù)測方法的可行性、有效性、方法的廣泛性及穩(wěn)定性，接下來，本文將對多元正態(tài)分布、Direchlet分布和代表重尾分布的多元對數(shù)正態(tài)分布產(chǎn)生的隨機模擬數(shù)據(jù)進行分析。步驟如下：首先產(chǎn)生隨機數(shù)，然后再用傳統(tǒng)的鏈梯法和本文的線性預(yù)測方法分別對準備金進行預(yù)測，再把兩種方法預(yù)測得到的總準備金和模擬得到的總準備金真實值進行對比。4.2.1幾點說明（1）假設(shè)計算機產(chǎn)生的模擬數(shù)據(jù)的含義為0-9年間所有個體索賠案件，對于每個案件，我們假設(shè)其進展年為0-9年。假設(shè)這些個體案件在各個進展年的賠付額由計算機根據(jù)相應(yīng)分布假設(shè)一次性產(chǎn)生，并根據(jù)其報告年把未觀察到的部分作為準備金真值予以保留，用來和各方法的預(yù)測值比較；（2）在線性預(yù)測方法中，出現(xiàn)個別個體總準備金為負的情況，此時，我們令其在各個進展年的準備金為0；（3）模擬和計算產(chǎn)生的所有數(shù)據(jù)均采用四舍五入的方法保留四位小數(shù)；4.2.2多元正態(tài)分布情形假設(shè)各進展年的增量索賠數(shù)據(jù)服從多元正態(tài)分布，均值向量為[69.48，56.91，54.58，65.61，72.83，32.53，22.24,34.53，33.04,35.58]，各進展年的標準差分別為[15.115，13.069，16.631，14.364，13.506,9.739,7.119,9.246，11.506，11.155]，各發(fā)生年的個體索賠次數(shù)分別為[25，20，35，15，40，13，28，23，34，25]。我們選取三個相關(guān)系數(shù)矩陣（來自于Timm（1970）），分別代表各進展年的增量索賠數(shù)據(jù)弱相關(guān)、一般相關(guān)和強相關(guān)，以此來考察方法的適應(yīng)性。4.2.3多元對數(shù)正態(tài)分布情形假設(shè)這里的多元對數(shù)正態(tài)分布數(shù)據(jù)是由多元正態(tài)分布數(shù)據(jù)通過對數(shù)變換得到，先要得到多元正態(tài)分布數(shù)據(jù)，設(shè)其均值向量為[6.948，5.691，5.458，6.561，7.283，3.253，2.224，3.453，3.304，3.558]，各進展年的標準差分別為[1.5115，1.3069，1.6631，1.4364，1.3506，0.9739，0.7119，0.9246，1.1506，1.1155]，各發(fā)生年的個體索賠次數(shù)分別為[25，20，35，15，40，13，28，23，34，25]。和多元正態(tài)分布一樣，我們?nèi)匀豢紤]三種情形：情況1：用來產(chǎn)生對數(shù)正態(tài)分布的正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)矩陣取多元正態(tài)情形1中的弱相關(guān)陣；情況2：用來產(chǎn)生對數(shù)正態(tài)分布的正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)矩陣取多元正態(tài)情形2中的一般相關(guān)陣；情況3：用來產(chǎn)生對數(shù)正態(tài)分布的正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)矩陣取多元正態(tài)情形3中的強相關(guān)陣。4.2.4Dirichlet分布情形對于Dirichlet分布情形，我們也考慮三種情況：情況1：用來產(chǎn)生dirichlet分布的gamma分布的形參：[2.55，3.12，5，2.11，3.29，1.54，3.11，3.28，1.7，3.92]，尺度參數(shù)為2，索賠的程度用參數(shù)為1000的指數(shù)分布來模擬，各報告年的個體索賠次數(shù)分別為：[25，20,35，15,40，13，28，23，34，25]；情況2：其他同情況1，但是增大后面幾個進展年所占的比例，把用來產(chǎn)生dirichlet分布的gamma分布的形參改為：[2.55，3.12，5，2.11，3.29，1.54，5.67，6.78，6.81，5.22]；情況3：其他同情況1，增大靠后面的報告年的個體索賠次數(shù)，以使得總準備金的不確定性更大，各報案年的個體索賠次數(shù)改為[25，20，35，15，40，13，45，44，34，45]。4.2.5模擬結(jié)果分析·除多元正態(tài)中的第二種情形外，多次模擬下，由線性預(yù)測方法給出的準備金誤差平方的平均值總是小于由鏈梯法給出的準備金誤差平方的平均值。這三者都表明，相對于鏈梯法而言，線性預(yù)測法給出了更加接近總準備金真實值的預(yù)測值。5結(jié)束語針對傳統(tǒng)的聚合索賠模型的缺點，本文提出了一個基于個體數(shù)據(jù)的線性預(yù)測模型。該模型的假定可以說是相當?shù)厝?，它不需要對?shù)據(jù)的矩進行假設(shè)，更不需要對數(shù)據(jù)的分布進行假設(shè)，而只需假設(shè)個體索賠之間獨立同分布。因而該模型具有適用范圍廣，簡單易操作等特點。由于本文的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和模型假設(shè)可以納入單調(diào)缺失數(shù)據(jù)下的回歸模型框架下，因而本文采用了單調(diào)缺失數(shù)據(jù)回歸模型的EGLS估計方法對未知的均值和協(xié)方差進行了估計。并且，在文章的最后，我們通過隨機模擬把該方法與著名的鏈梯法進行了對比，模擬結(jié)果顯示，本文提出的方法