其次章基于優化限制策略的自校正器PID限制器：廣泛應用于各種過程限制，但難以進行在線參數調整自校正調整/限制器：自動調整參數最小方差限制：被控過程結構和參數已知，系統處于隨機擾動和干擾之中，使系統輸出的穩態方差為最小2.1最小方差調整器2.1.1被控過程隨機干擾的描述探討單輸入/單輸出、線性、定常離散系統的調整問題，被控過程由下列差分方程描述：（2.1）式中：d：響應滯后拍數。：k時刻輸出；

：k時刻限制輸入；

：零均值白噪聲序列，且有：

(2.2a)為單位后向平移算子，于是(2.1)式可寫成：

令或式中：

(2.2b)

由(2.2)式可見隨機擾動對過程的影響等效為n(k)：

已不再是白噪聲序列。(2.2)式稱為CARMA模型，即：被控自回來滑動平均模型。(2.3)是高斯平穩序列，具有有理譜密度，但它被控過程的結構方框圖

要使最小方差自校正調整器的解存在，必需滿足下列假設：(1)受控系統的時延d及延遲算子多項式A,B和C的階次及系數都是已知的；圓外；(2)多項式的全部零點都位于復平面單位(3)多項式的全部零點都位于圓外；復平面單位(4)

為白噪聲序列，。該系統為最小相位系統，否則為非最小相位系統。系統為逆穩定系統，否則為逆不穩定系統。假如的零點全在復平面單位圓外，則稱有時稱的零點全在復平面單位圓外的之所以要求和的零點全在單位圓外，與閉環系統的穩定性有關。2.1.2性能指標和最小方差限制律問題的提法1）性能指標性能指標：輸出y的方差對于調整器：參考輸入為零，

即，則y的方差就是y的均方值：2）容許限制律限制律u(k):k時刻及其以前全部輸出y(k),y(k-1),...，與全部過去時刻的限制序列u(k-1),u(k-2),...的函數最小方差調整的基本思想:系統中信號傳遞存在d步延遲，對輸出量中的可控干擾部分提前d步進行預料，依據預料值來設計最小方差調整律u(k)，以補償可控部分的隨機擾動在(k+d)時刻對輸出的影響。實現最小方差調整的關鍵在于預料。3）問題提法事實上性能指標應表示為：最小方差限制問題：對(2.2)式描述的系統求使(2.4)為微小時的容許限制律，該限制律被稱為最小方差限制律。

(2.4)2.1.3d步預料模型自適應預料：用給定的直到當前時刻k的數據調整預料器中參數，使得過去預料值接近相應的觀測值，然后用這些參數產生將來的預料值。

(2.5)

由式(2.2)可得下式：干擾濾波器與以前所測量輸出y(k),y(k-1),...線性無關以及線性相關兩部分

(2.6)

被分解成一個恒等式：必需被分成兩部分：其中：

是的商式，是的余式。假如v(k+d)為y(k)，y(k-1)，...獨立的部分，則的nf階次就應當是(d-1)，而的階次應當等于(na-1)，即有：將(2.6)式代入(2.5)式，可得將v(k+d)分解后的結果為：

另一方面，假定多項式的全部零點都在單位圓內，則(2.2)式可以改寫成：(2.7)將(2.7)式代入上面的式中可得：(2.8)我們稱(2.8)式為預料模型。對比(2.8)式和(2.5)式，(2.8)式是將(2.5)式的干擾項中的可預料部分分解出后所得到輸出預料模型。利用此預料模型，就可以利用最小方差求得消退可控干擾后的最優預料器，或利用最小方差，求出消退可控干擾的限制律。2.1.4最優預料器輸出量的d步預料估計：預料誤差：通過使性能指標求方差最小的d步最優預料：最小化來也是獨立的，v(k)具有零均值，所以上式右邊最終一項為0值。另外上式右邊第一項是不行預料的，所以欲使J1最小，只有使上式右邊其次項為0，此時有：由于v(k+1)，v(k+2)，...,v(k+d)與測量數據獨立，而是測量數據的線性組合，所以v(k+1)，v(k+2)，...,v(k+d)與

(2.9)最小預料方差為：(2.10)其中，為v(k)的方差。方程(2.9)稱為最優預料器方程，方程(2.6)稱為丟番，(Diophantine)方程。當，和d已知時，可由它解出和。2.2最小方差限制律

假設多項式是Hurwitz多項式，將最優預料器(2.9)式，代入預料模型(2.8)式中，可得：所以有：上式右邊第一項不行控，所以欲使J最小，必需使(2.11)由(2.9)式可得：

(2.12)整理后可得最小方差限制律為：

(2.13a)從以上推導過程可以看出，最小方差限制律事實上是令(k+d)時刻的最優輸出預料值為期望輸出時所得到的限制。

對于調整器問題，可以設，此時最小方差限制律可以簡化為：(2.14)或最小方差限制問題的設計步驟：1）設被控過程的差分方程為：其中，是獨立高斯隨機白噪聲序列，假定B和C的零點都落在單位圓內，那么，最小方差限制律為：其中，多項式和的階分別為d-1和丟番方程來確定：，多項式的系數可通過求解下列2）輸出誤差是v(k+d)的d-1階滑動平均：3）輸出的最小方差為：其中為v(k)的方差。調整律。【例2.1】求解以下被控過程的預料模型和最優預料，并計算其最小預料誤差的方差，以及當期望輸出時的最小方差解：依據題意，已知：依據對和階分別為和d-1的要求，可得：

由丟番方程(2.6)可得：令上式兩邊q的同冪次項系數相等，得下列代數方程組：解之得：由此可求出預料模型，最優預料，最優預料誤差的方差，以及當期望輸出時的最小方差限制律分別為：若給定值：則有：所以可得：或最小方差調整的結構圖

1)若d=1，則一步預料誤差方差為，這說明預料誤差隨著預料長度d的增加而惡化，預料精度隨之降低。此時的輸出方差為：2)未加限制（即u(k)=0）時，由過程方程可得：探討：此時的輸出y(k)完全是由白噪聲作用的結果，所以本身也是白噪聲，具有與白噪聲相同的特性，因而有：所以，當時，輸出方差為：是加入最小方差限制后輸出方差的4倍，可見，接受最小方差限制策略，使輸出方差削減了3/4，而剩下的1/4是不行控部分所造成的。3）最小方差調整器的一個基本缺點：若過小，限制量就可能過大，從而使得執行機構或數模轉換裝置處于飽和狀態而影響限制品質，同時也有可能加速執行機構的磨損4）最小方差調整器的另一個基本缺點：最小方差限制只能適用于和均為穩定零點的系統2.3最小方差自校正器

2.3.1最小方差自校正調整器(接受干脆法)從預料模型入手推導參數辨識模型：首先，令時，重寫被控過程的預料模型(2.8)式:為了便于分析，把預料模型重寫為：(2.15)式中：

假如參數估計收到真值，那么在接受最小方差限制律對系統進行限制時，上式右邊聽有方括號中的項都為零，其效果等同于C=1的情形。所以，不論多項式取何種形式，(2.15)式均可以作為隱式算法的估計模型。依據閉環可辨識條件必需已知1）

2）max對本問題即為max為了滿足估計模型參數的可辨識性條件，可以設定多項式F’的首項系數為一合理的估計值，同時令：估計模型(2.15)可寫為:

此時，可利用比如漸消記憶最小二乘遞推公式進行參數估計：

可得最小方差限制律為：最小方差自校正調整器的設計步驟7）返回2）。

已知：和1）設置初值和P(0)，輸入初始數據；2）讀取新的測量數據y(k)；3）組成測量數據向量和；4）用遞推最小二乘估計公式計算最新參數估計向量和P(k)；5）計算自校正調整律u(k)；6）輸出u(k)；2.4廣義最小方差自校正限制器自校正限制器：1975年D.W.Clarke等人提出，在指標函數中引入參考輸入項和限制作用的加權項，適用于非逆穩定的被控系統廣義最小方差限制器設計被控過程有下列表達式：(2.19a)噪聲干擾n(k)是統計隨機過程：(2.19b)所以系統模型為：(2.19c)限制目的是求使性能指標為最小時的系統限制量u(k)，其限制系統方框圖如圖2.3所示。系統的參考信號為，選擇的性能指標為：限制系統方框圖

2.4.1不同類型的廣義最小方差限制器的推導為了得到d步預料器，將干擾濾波器分解成兩部分：(2.20)此處：由(2.20)式可得：(2.21)由此可得干擾的d步預料為：(2.22)上式其次項中的v(k)可通過過去的被控變量y(k)和限制u(k)，依據(2.19)獲得：(2.23)將(2.23)式代入(2.22)式得：(2.24)

由此并結合系統模型可得系統預料輸出的表達式為：結合(2.21)式，上式可簡化為：(2.25)對式(2.25)求解最小方差意義下的最優輸出預料y*(k+d/k)為：(2.26)此時系統的實際輸出為：(2.27)將(2.27)式代入性能指標J2中可得：(2.28)

為了求得最小方差意義下的最優限制量，相對于u(k)對(2.28)求微小值，即求J2對u的導數，并令其為0，得：(2.29)通過分析多項式，，，和的首項函數，由項可以綻開成q-1的無窮級數多項式，它的首項函數為b0，所以可得：

(2.30)將(2.26)式和(2.30)式代入(2.29)式，得：整理上式可得使J2為最小時廣義最小方差限制律為：(2.31)由(2.31)式可以推導出不同類型的最小方差限制器：1）當yr=0時，(2.31)式變成了帶有限制限制的調整器，其調整律u1為：(2.32)2）當噪聲濾波器的分母與過程分母相等時，其調整律u2為：

(2.33)3）當對上兩種狀況接受J1為性能指標時，其調整律分別為u3和u4：(2.34)(2.35)4）對(2.31)中，接受J1，并令=，即當時的最小方差調整器u5為：(2.36)此式與(2.13)相同。2.4.2廣義最小方差限制器的特性分析

1）對于u4、u5的閉環系統，有相同的特征方程：整理后得：由此可得，只有當被控系統的及均落在單位圓內，所設計出的調整系統才是穩定的，即調整律u4、u5只能用于逆穩定系統的零點B和C穩定，另外只有當被控過程本身是也是穩定時，才能使整個閉環系統穩定。2）對于調整器u3，其閉環系統特證方程為：有：即，當噪聲濾波器中的極點時，不但要求

3）u2為常用的廣義最小方差調整器，有，它的閉環系統特征方程為：整理后得：比較由u2