PAGEPAGE52022版高考數學一輪復習第八章立體幾何8.2空間幾何體的外表積、體積真題演練集訓理新人教A版1．[2022·新課標全國卷Ⅲ]在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內有一個體積為V的球．假設AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，那么V的最大值是()A．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)答案：B解析：由題意可得，假設V最大，那么球與直三棱柱的局部面相切，假設與三個側面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進去，那么球可與上下底面相切，此時球的半徑R＝eq\f(3,2)，該球的體積最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).2．[2022·安徽卷]一個四面體的三視圖如下圖，那么該四面體的外表積是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)答案：B解析：根據三視圖復原幾何體如下圖，其中側面ABD⊥底面BCD，另兩個側面ABC，ACD為等邊三角形，那么有S外表積＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).應選B.3．[2022·新課標全國卷Ⅱ]如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，那么切削掉局部的體積與原來毛坯體積的比值為()A.eq\f(17,27) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27) D.eq\f(1,3)答案：C解析：原毛坯的體積V＝(π×32)×6＝54π，由三視圖可知該零件為兩個圓柱的組合體，其體積V′＝V1＋V2＝(π×22)×4＋(π×32)×2＝34π，故所求比值為1－eq\f(V′,V)＝eq\f(10,27).4．[2022·湖南卷]一塊石材表示的幾何體的三視圖如下圖．將該石材切削、打磨，加工成球，那么能得到的最大球的半徑等于()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：該幾何體為直三棱柱，底面是邊長分別為6,8,10的直角三角形，側棱長為12，故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內切圓的半徑，其半徑為r＝eq\f(2×\f(1,2)×6×8,6＋8＋10)＝2，應選B.課外拓展閱讀空間幾何體外表上的最值問題所謂空間幾何體外表上的最值問題，是指空間幾何體外表上的兩點之間的最小距離或某些點到某一個定點的距離之和的最值問題．[典例]如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝5，那么沿著長方體外表從A到C1的最短路線長為________．[審題視角]將此長方體沿某一條側棱剪開，得到展開圖，求展開圖中AC1的平面距離即可，注意對不同情況的討論．[解析]在長方體的外表上從A到C1有三種不同的展開圖．(1)將平面ADD1A1繞著A1D1折起，得到的平面圖形如圖①所示．那么AB1＝5＋3＝8，B1C1＝4，連接AC1，在Rt△AB1C1中，AC1＝eq\r(AB\o\al(2,1)＋B1C\o\al(2,1))＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).①(2)將平面ABB1A1繞著A1B1折起，得到的平面圖形如圖②所示．那么BC1＝5＋4＝9，AB＝3，連接AC1，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\r(AB2＋BC\o\al(2,1))＝eq\r(32＋92)＝3eq\r(10).②③(3)將平面ADD1A1繞著DD1折起，得到的平面圖形如圖③所示．那么AC＝4＋3＝7，CC1＝5，連接AC1，在Rt△ACC1中，AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(72＋52)＝eq\r(74).顯然eq\r(74)<4eq\r(5)<3eq\r(10)，故沿著長方體外表從A到C1的最短路線長為eq\r(74).[答案]eq\r(74)反思提升將空間幾何體外表進行展開是化解最值問題的主要方法，對于多面體可以把各個面按照一