PAGEPAGE12抽樣方法與總體分布的估計基礎篇【基礎集訓】考點一隨機抽樣1.在簡單隨機抽樣中,某一個個體被抽到的可能性 ()A.與第n次有關,第一次可能性最大B.與第n次有關,第一次可能性最小C.與第n次無關,與抽取的第幾個樣本有關D.與第n次無關,每次可能性相等答案D2.某單位員工按年齡分為A,B,C三組,其人數之比為5∶4∶1,現用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,已知C組中甲、乙二人均被抽到的概率是145,則該單位員工總數為(A.110B.100C.900D.800答案B3.福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03,…,32,33這33個兩位號碼中選取,小明利用如下所示的隨機數表選取紅色球的6個號碼,選取方法是從第1行第9列的數字開始,從左到右依次讀取數據(相同號碼數只算一次),則第四個被選中的紅色球的號碼為 ()81472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049A.12B.33C.06D.16答案C4.一個單位共有職工200人,其中不超過45歲的有120人,超過45歲的有80人.為了調查職工的健康狀況,用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本,應抽取超過45歲的職工人.

答案10考點二用樣本估計總體5.(多選題)“科技引領,布局未來”科技研發是企業發展的驅動力量.2007—2018年,某企業連續12年累計研發投入達4100億元,我們將研發投入與經營投入的比值記為研發投入占營收比,這12年間的研發投入(單位:十億元)用圖中的條形圖表示,研發投入占營收比用圖中的折線圖表示.根據折線圖和條形圖,下列結論正確的有 ()A.2012年至2013年研發投入占營收比增量相比2017年至2018年研發投入占營收比增量大B.2013年至2014年研發投入增量相比2015年至2016年研發投入增量小C.該企業連續12年來研發投入逐年增加D.該企業連續12年來研發投入占營收比逐年增加答案ABC6.甲、乙兩組數據如莖葉圖所示,則甲、乙兩組數據的平均數、方差、極差及中位數相同的是 ()A.極差B.方差C.平均數D.中位數答案C7.為比較甲、乙兩地某月11時的氣溫情況,隨機選取該月5天11時的氣溫數據(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖,已知甲地該月5天11時的平均氣溫比乙地該月5天11時的平均氣溫高1℃,則甲地該月5天11時的氣溫數據的標準差為 ()甲乙9826892m0311A.2B.2C.10D.10答案B8.某種產品的質量以其質量指標值來衡量,質量指標值越大表明質量越好,且質量指標值大于或等于100的產品為優質產品.現用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗,各生產了100件這種產品,并測量了每件產品的質量指標值(都在區間[90,110]內),將這些數據分成4組:[90,95),[95,100),[100,105),[105,110],得到如下兩幅頻率分布直方圖:已知這兩種配方生產的產品利潤y(單位:百元)與其質量指標值t的關系式為y=-1,t<95,0,95≤t<100,1,100≤A.0.125B.0.195C.0.215D.0.235答案B9.某高二(1)班一次階段性考試數學成績的莖葉圖和頻率分布直方圖可見部分如圖,根據圖中的信息,可確定被抽測的人數及分數在[90,100]內的人數分別為 ()A.20,2B.24,4C.25,2D.25,4答案C10.若數據x1,x2,x3,…,xn的平均數x=5,方差s2=2,則數據3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均數和方差分別為 ()A.5,2B.16,2C.16,18D.16,9答案C[教師專用題組]【基礎集訓】考點一隨機抽樣1.(2020云南名校10月高考適應性月考,3)某學校為了解1000名新生的近視情況,將這些學生編號為000,001,002,…,999,從這些新生中用系統抽樣的方法抽取100名學生進行檢查,若036號學生被抽到,則下面4名學生中被抽到的是 ()A.008號學生B.200號學生C.616號學生D.815號學生答案C由題意得抽樣間隔為1000100=10,因為036號學生被抽到,所以被抽中的初始編號為006號,之后被抽到的編號均是10的整數倍與6的和,故選2.(2019河南新鄉模擬,4)某機構對青年觀眾是否喜歡跨年晚會進行了調查,人數如下表所示:不喜歡喜歡男性青年觀眾3010女性青年觀眾3050現要在所有參與調查的人中用分層抽樣的方法抽取n人做進一步的調研,若在“不喜歡”的男性青年觀眾中抽取了6人,則n= ()A.12B.16C.24D.32答案C由分層抽樣的性質得630=n30+30+10+50,解得n=24.3.利用系統抽樣法從編號分別為1,2,3,…,80的80件不同產品中抽取一個容量為16的樣本,如果抽出的產品中有一件產品的編號為13,則抽到產品的最大編號為 ()A.73B.78C.77D.76答案B樣本的分段間隔為8016=5,所以13號在第三組,則最大的編號為13+(16-3)×5=78.(類似于等差數列中的第16項的求法考點二用樣本估計總體1.(2020四川雙流中學10月月考,4)一個頻數分布表(樣本容量為30)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數據在[20,60)上的頻率為0.8,則估計樣本[40,60)內的數據個數為 ()分組[10,20)[20,30)[30,40)頻數345A.14B.15C.16D.17答案B本題考查頻數的求法,涉及頻率分布表等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想,函數與方程思想,屬于基礎題.由于一個頻數分布表(樣本容量為30)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數據在[20,60)上的頻率為0.8,所以樣本中數據在[20,60)上的頻數為30×0.8=24,故估計樣本在[40,60)內的數據個數為24-4-5=15.故選B.2.(2018河北承德期末,3)某城市收集并整理了該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位:℃)的數據,繪制了下面的折線圖.已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關系,根據折線圖,下列結論錯誤的是 ()A.最低氣溫與最高氣溫為正相關B.10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C.月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現在1月D.最低氣溫低于0℃的月份有4個答案D在A中,最低氣溫與最高氣溫為正相關,故A正確;在B中,10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫,故B正確;在C中,月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現在1月,故C正確;在D中,最低氣溫低于0℃的月份有3個,故D錯誤.故選D.3.(2018安徽馬鞍山第一次教學質量檢測,13)已知樣本容量為200,在樣本的頻率分布直方圖中,共有n個小矩形,若中間一個小矩形的面積等于其余(n-1)個小矩形面積和的13,則該組的頻數為答案50解析設除中間一個小矩形外的(n-1)個小矩形面積的和為S,則中間一個小矩形面積為13S,∴S+13S=1,解得S=34,∴中間一個小矩形的面積等于13S=14,4.(2020河南洛陽尖子生第一次聯合考試,13)已知樣本x1,x2,…,x2019的平均數和方差分別是1和4,若yi=axi+b(i=1,2,…,2019)的平均數和方差也是1和4,則ab=.

答案1解析因為x1,x2,…,x2019的平均數為1,所以yi=axi+b(i=1,2,…,2019)的平均數為a×1+b=1.因為x1,x2,…,x2019的方差為4,所以yi=axi+b(i=1,2,…,2019)的方差為4a2=4.所以a2=1,a+b=1,解得導師點睛本題考查平均數與方差的線性變換,難度一般.已知x1,x2,…,xn的平均數與方差為A與B,那么yi=axi+b(i=1,2,…,n)的平均數與方差為aA+b與a2B.綜合篇【綜合集訓】考法一頻率分布直方圖的應用1.(2020福建畢業班質量檢查測試)某市為了解居民用水情況,通過抽樣得到部分家庭月均用水量的數據,制出頻率分布直方圖(如圖).若以頻率代替概率,從該市隨機抽取5個家庭,則月均用水量在8~12噸的家庭個數X的數學期望為 ()A.3.6B.3C.1.6D.1.5答案B2.(2020廣東廣州階段訓練)某企業質量檢驗員為了檢測生產線上零件的情況,從生產線上隨機抽取了80個零件進行測量,根據所測量的零件尺寸(單位:mm),得到如下的頻率分布直方圖.(1)根據頻率分布直方圖,求這80個零件尺寸的中位數(結果精確到0.01);(2)已知尺寸在[63.0,64.5)內的零件為一等品,否則為二等品,將這80個零件尺寸的樣本頻率視為概率,從生產線上隨機抽取1個零件,試估計所抽取的零件是二等品的概率.3.(2019安徽六安第二中學聯考,19)每年5月到7月是芒果的成熟季節.某大學校內種植了很多食用芒果樹.據該校后勤處負責人介紹,他們校內的芒果種植過程中沒有使用過農藥,也沒有路邊那種綠化芒的污染,可以放心食用.2018年該校的芒果也迎來了大豐收.6月25日,該校南北校區集中采摘芒果,并將采摘到的芒果免費派送給學校師生.現隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質量分布在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400)(單位:克)內,經統計得頻率分布直方圖如圖所示.(1)現按分層抽樣從質量在[250,300),[300,350)內的芒果中隨機抽取9個,再從這9個中隨機抽取3個,記隨機變量X表示質量在[300,350)內的芒果個數,求X的分布列及數學期望;(2)以各組數據的中間數代表這組數據的平均值,將頻率視為概率,假如你是經銷商去收購芒果,該校當時還未摘下的芒果大約還有10000個,現提供如下兩種收購方案:A:所有芒果以10元/千克收購;B:對質量低于250克的芒果以2元/個收購,高于或等于250克的以3元/個收購.通過計算確定你會選擇哪種方案.4.(2020山東濰坊臨朐綜合模擬,20)“過元宵節,吃元宵”是我國過元宵節的一大習俗.2019年元宵節前夕,北方一城市某質檢部門隨機抽取了100包某種品牌的元宵,檢測其某項質量指標值,所得頻率分布直方圖如下:(1)求所抽取的100包元宵該項質量指標值的樣本平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表);(2)①由直方圖可以認為,元宵的該項質量指標值Z服從正態分布N(μ,σ2),利用該正態分布求Z落在(14.55,38.45]內的概率;②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的元宵,記這4包元宵中這種質量指標值位于(10,30)內的包數為X,求X的分布列和均值.附:計算得所抽查的這100包元宵的質量指標值的標準差σ≈11.95;若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.考法二樣本的數字特征及其應用5.(2019上海浦東期中教學質量檢測(二模),10)已知6個正整數,它們的平均數是5,中位數是4,唯一眾數是3,則這6個數方差的最大值為.(精確到小數點后一位)

答案12.36.(2020河北邯鄲空中課堂備考檢測)某小型水庫的管理部門為研究庫區水量的變化情況,決定安排兩個小組在同一年中各自進行觀察研究.其中一個小組研究水源涵養情況,他們通過觀察入庫的若干小溪和降雨量等因素,隨機記錄了100天的日入庫水量數據(單位:千立方米),得到下面的條形圖(如圖甲),另一小組研究由于放水、蒸發或滲漏造成的水量消失情況,他們通過觀察與水庫相連的特殊小泥塘的水面下降情況來研究庫區水的整體消失量,隨機記錄了100天的庫區日消失水量數據(單位:千立方米),并將觀測數據整理成頻率分布直方圖(如圖乙).圖甲圖乙(1)據此估計這一年中日消失水量的平均值;(2)以頻率作為概率,試解決如下問題:①分別估計日流入水量不少于20千立方米和日消失水量不多于20千立方米的概率;②試估計經過一年后,該水庫的水量是增加了還是減少了,變化的量是多少?(一年按365天計算)[教師專用題組]【綜合集訓】考法一頻率分布直方圖的應用1.(2018陜西榆林第二中學模擬,13)某學校為了調查學生在學科教輔書方面的支出情況,抽出了一個容量為n的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出的錢數在[30,40)的同學比支出的錢數在[10,20)的同學多26人,則n的值為.

答案100解析由頻率分布直方圖可得支出的錢數在[30,40)的同學有0.038×10n=0.38n個,支出的錢數在[10,20)的同學有0.012×10n=0.12n個,又支出的錢數在[30,40)的同學比支出的錢數在[10,20)的同學多26人,所以0.38n-0.12n=0.26n=26,∴n=100.2.(2018江西新余二模,18)“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認知程度,對不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽,滿分為100分(90分及以上為認知程度高).現從參賽者中抽取了x人,按年齡分成5組,第一組:[20,25),第二組:[25,30),第三組:[30,35),第四組:[35,40),第五組:[40,45),得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知第一組有6人.(1)求x;(2)求抽取的x人的年齡的中位數(結果保留整數);(3)從該市大學生、軍人、醫務人員、工人、個體戶,五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分別記為1~5組,從這5個按年齡分的組和5個按職業分的組中每組各選派1人參加知識競賽,分別代表相應組的成績,年齡組中1~5組的成績分別為93,96,97,94,90,職業組中1~5組的成績分別為93,98,94,95,90.(i)分別求5個年齡組和5個職業組成績的平均數和方差;(ii)以上述數據為依據,評價5個年齡組和5個職業組對“一帶一路”的認知程度,并談談你的感想.解析(1)根據頻率分布直方圖得第一組的頻率為0.01×5=0.05,∴6x(2)設中位數為a,則0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,∴a=953≈32,則中位數為(3)(i)5個年齡組成績的平均數為x1=15×(93+96+97+94+90)=94,方差為s12=15×[(-1)2+22+325個職業組成績的平均數為x2=15×(93+98+94+95+90)=94,方差為s22=15×[(-1)2+42+02(ii)從平均數來看兩組的認知程度相同,從方差來看年齡組的認知程度更穩定.(感想合理即可)考法二樣本的數字特征及其應用(2017廣東廣雅中學、江西南昌二中聯考,4)某市重點中學奧數培訓班共有14人,分為兩個小組,在一次階段性考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示,其中甲組學生成績的平均數是88,乙組學生成績的中位數是89,則m+n的值是 ()甲組乙組87964883n85m29225A.10B.11C.12D.13答案C∵甲組學生成績的平均數是88,∴由莖葉圖可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7,∴m=3,∵乙組學生成績的中位數是89,∴n=9,∴m+n=12.故選C.2.(2018湖南衡陽二模,4)已知樣本x1,x2,…,xn的平均數為x,樣本y1,y2,…,ym的平均數為y(x≠y),若樣本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均數z