學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2020-2021學年新教材人教A版數學必修第二冊教師用書：第6章6.46.4.3第4課時余弦定理、正弦定理應用舉例含解析第4課時余弦定理、正弦定理應用舉例學習目標核心素養1.能將實際問題轉化為解三角形問題．(難點）2．能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關的實際應用問題．(重點)1。通過利用正、余弦定理解決實際問題，培養數學建模的核心素養．2．通過求解距離、高度等實際問題，提升數學運算的素養.在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事．明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想．問題：月亮離我們地球有多遠呢？科學家們是怎樣測出來的呢？1．基線的概念與選擇原則(1）定義在測量過程中,我們把根據測量的需要而確定的線段叫做基線．(2)性質在測量過程中，應根據實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．思考1：在本課時情境引入中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？”在古代,天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？[提示］利用正弦定理和余弦定理．2．測量中的有關角的概念(1)仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖所示）(2)方向角從指定方向線到目標方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊,順時針方向向西旋轉60°.(如圖所示）思考2：李堯出校向南前進了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認為李堯的家在學校的哪個方向?[提示]東南方向．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×"）(1)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊． （）（2）兩個不可能到達的點之間的距離無法求得． （)（3)若P在Q的北偏東44°,則Q在P的東偏北44°方向． （)[答案](1)×（2）×（3)×2．小強站在地面上觀察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為α，同時測得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強觀測山頂的仰角為(）A．α＋β B．α－βC．β－α D．αC[如圖所示,設小強觀測山頂的仰角為γ，則β－γ＝α,因此γ＝β－α，故選C項．]3．某人先向正東方向走了xkm,然后他向右轉150°，向新的方向走了3km，結果他離出發點恰好為eq\r（3）km，那么x的值為(）A．eq\r(3)B．2eq\r（3)C．2eq\r（3)或eq\r（3)D．3C［如圖,在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r（3)x＋6＝0,解得x＝2eq\r（3）或eq\r（3）。]測量距離問題【例1】海上有A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,則B，C間的距離是()A．10eq\r（3）海里 B．eq\f(10\r（6),3)海里C．5eq\r（2）海里 D．5eq\r（6)海里D［根據題意，可得如圖．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10,∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC）＝eq\f（BC，sinA)，即eq\f（10,\f（\r(2)，2))＝eq\f（BC,\f（\r(3),2)）,∴BC＝5eq\r(6)(海里）．］三角形中與距離有關問題的求解策略1解決與距離有關的問題，若所求的線段在一個三角形中,則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要根據條件選擇適當的三角形，再利用正、余弦定理求解。(2)解決與距離有關的問題的關鍵是轉化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應用正、余弦定理來解決．eq\o([跟進訓練])1．為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B,望對岸標記物C,測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m,則河的寬度為________m.60［由題意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC為等腰三角形．河寬即AB邊上的高，這與AC邊上的高相等，過B作BD⊥AC于D，∴河寬：BD＝120·sin30°＝60（m)．]測量高度問題【例2】濟南泉城廣場上的泉標模仿的是隸書“泉”字,其造型流暢別致，成了濟南的標志和象征．李明同學想測量泉標的高度,于是他在廣場的A點測得泉標頂端的仰角為60°，他又沿著泉標底部方向前進15。2m，到達B點，又測得泉標頂部仰角為80°.你能幫助李明同學求出泉標的高度嗎？(精確到1m)［解]如圖所示，點C，D分別為泉標的底部和頂端．依題意,∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15。2m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°）＝20°。在△ABD中，根據正弦定理,eq\f(BD，sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB)。∴BD＝eq\f(ABsin60°，sin20°)＝eq\f(15。2×sin60°,sin20°）≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38。5×sin80°≈38(m），即泉城廣場上泉標的高約為38m。解決測量高度問題的一般步驟1畫圖：根據已知條件畫出示意圖。2分析三角形:分析與問題有關的三角形.3求解：運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解。在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用.eq\o([跟進訓練]）2．某興趣小組要測量電視塔AE的高度H（單位：m)．如圖所示，豎直放置的標桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β。該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα＝1。24，tanβ＝1。20,請據此算出H的值．［解]由AB＝eq\f（H，tanα)，BD＝eq\f（h,tanβ）,AD＝eq\f（H,tanβ）及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f（h,tanβ）＝eq\f(H，tanβ)，解得H＝eq\f（htanα,tanα－tanβ）＝eq\f（4×1。24，1.24－1。20)＝124.因此電視塔的高度H是124m.角度問題[探究問題]1．某物流投遞員沿一條大路前進，從A到B，方位角是60°，距離是4km,從B到C，方位角是120°，距離是8km，從C到D，方位角是150°，距離是3km,試畫出示意圖．[提示]如圖所示:2．在探究1中，若投遞員想在半小時之內，沿小路直接從A點到C點，則此人的速度至少是多少？［提示］在探究1圖中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋（180°－120°）＝120°,由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝4eq\r(7），則此人的最小速度為v＝eq\f（4\r（7），\f（1,2））＝8eq\r(7）(km/h)．3．在探究1中若投遞員以24km/h的速度勻速沿大路從A到D前進，10分鐘后某人以16eq\r（7)km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問在C點此人能否與投遞員相遇？［提示］投遞員到達C點的時間為t1＝eq\f(4＋8,24）＝eq\f(1，2）(小時）＝30(分鐘），追投遞員的人所用時間由探究2可知t2＝eq\f(4\r（7）,16\r（7）)＝eq\f(1，4）（小時)＝15分鐘；由于30〉15＋10，所以此人在C點能與投遞員相遇．【例3】如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船沿南偏東θ度的方向,并以28海里每小時的速度行駛,恰能在C處追上乙船．問用多少小時追上乙船，并求sinθ的值．(結果保留根號，無需求近似值)[思路探究］根據題意明確已知條件與幾何量間的對應關系,將實際問題轉化為數學問題，運用正、余弦定理解決．［解］設用t小時，甲船追上乙船,且在C處相遇，則在△ABC中,AC＝28t,BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得,(28t）2＝81＋（20t)2－2×9×20t×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2）))，即128t2－60t－27＝0，解得t＝eq\f（3,4）或t＝－eq\f（9,32)（舍去），∴AC＝21(海里）,BC＝15（海里）．根據正弦定理，得sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC，AC）＝eq\f(5\r(3），14),則cos∠BAC＝eq\r(1－\f（75，142))＝eq\f(11，14)。又∠ABC＝120°，∠BAC為銳角,∴θ＝45°－∠BAC,sinθ＝sin（45°－∠BAC）＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝eq\f（11\r(2）－5\r（6），28）.(變條件，變結論)在本例中，若乙船向正南方向行駛,速度未知，而甲船沿南偏東15°的方向行駛恰能與乙船相遇，其他條件不變,試求乙船的速度．[解］設乙船的速度為x海里每小時,用t小時甲船追上乙船，且在C處相遇（如圖所示),則在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.由正弦定理得eq\f（AC，sin∠ABC)＝eq\f(BC，sin∠CAB),即eq\f(28t，sin135°)＝eq\f(xt，sin30°）。所以x＝eq\f(28×sin30°，sin135°）＝eq\f（28×\f（1,2）,\f（\r(2)，2))＝14eq\r（2）（海里/小時)．故乙船的速度為14eq\r(2)海里解決實際問題應注意的問題1首先明確題中所給各個角的含義,然后分析題意，分析已知與所求，再根據題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵最主要的一步。2將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題.一、知識必備1．基線；2．仰角和俯角；3．方向角．二、方法必備正弦、余弦定理在實際測量中的應用的一般步驟(1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．（2）建模:根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中,建立一個解三角形的數學模型．（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解．(4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義,從而得出實際問題的解．1．如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（)A．北偏東5° B．北偏西10°C．南偏東5° D．南偏西10°B［由題意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°,從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10°。]2．如圖，D,C,B三點在地面同一直線上，DC＝100米，從C，D兩點測得A點仰角分別是60°，30°，則A點離地面的高度AB等于（)A．50eq\r(3）米 B．100eq\r（3)米C．50米 D．100米A［因為∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC為等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\3．一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r（2）海里，之后它繼續沿正北方向勻速航行,上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A．8（eq\r(6）＋eq\r(2）)海里/時B．8(eq\r(6)－eq\r（2））海里/時C．16(eq\r（6)＋eq\r（2))海里/時D．16(eq\r(6)－eq\r（2)）海里/時D[由題意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°。由正弦定理得eq\f(SA,sin105°）＝eq\f（AB，sin45°）,即eq\f（8\r（2)，sin105°)＝eq\f（AB，sin45°），得AB＝8（eq\r（6)－eq\r(2))，因此此船的航速為eq\f(8\r(6)－\r(2）,\f（1,2）)＝16（eq\r(6)－eq\r(2））(海里/小時)．］4．在高出海平面200m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°,此時兩船間的距離為________m。200（eq\r（3)＋1)[過點A作AH⊥BC于點H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝