PAGEPAGE5第二課時橢圓的幾何性質(二)求橢圓的離心率角度一直接法求橢圓的離心率[例1]已知直線l：2x－y＋2＝0過橢圓左焦點F和一個頂點B，則該橢圓的離心率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2\r(5),5)[解析]由直線l：2x－y＋2＝0，令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝－1.又∵直線l：2x－y＋2＝0過橢圓左焦點F和一個頂點B，∴橢圓的左焦點F(－1，0)，頂點B(0，2)，∴c＝1，b＝2，∴a＝eq\r(c2＋b2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，∴該橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故選B.[答案]B角度二構造方程或不等式求橢圓的離心率[例2](1)若一個橢圓長軸長與焦距之和等于短軸長的2倍，則該橢圓的離心率是()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)(2)已知橢圓的焦距不小于短軸長，則橢圓的離心率的取值范圍為________．[解析](1)由題意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)所以4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq\f(3,5)(2)依題意可得2c≥2b，即c≥b所以c2≥b2，從而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e≥eq\f(\r(2),2).又因為0<e<1，所以橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).[答案](1)B(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))eq\a\vs4\al()求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解；(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據條件建立a，b，c的關系式，借助于a2＝b2＋c2，轉化為關于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．[跟蹤訓練]1．已知橢圓eq\f(y2,b2＋1)＋x2＝1(b＞0)的離心率為eq\f(\r(10),10)，則b等于()A．3 B．eq\f(1,3)C．eq\f(9,10) D．eq\f(3\r(10),10)解析：選B易知b2＋1＞1，由題意得eq\f(（b2＋1）－1,b2＋1)＝eq\f(b2,b2＋1)＝eq\f(1,10)，解得b＝eq\f(1,3)或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故選B.2．若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構成一個正三角形，則該橢圓的離心率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(6),4)解析：選A如圖，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即橢圓的離心率e＝eq\f(1,2)，故選A.3．橢圓C的兩個焦點分別是F1，F2，若C上的點P滿足|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，則橢圓C的離心率e的取值范圍是________．解析：因為橢圓C上的點P滿足|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，所以|PF1|＝eq\f(3,2)×2c＝3c.因為a－c≤|PF1|≤a＋c，即a－c≤3c≤a＋c，解得eq\f(1,4)≤eq\f(c,a)≤eq\f(1,2).所以橢圓C的離心率e的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))橢圓的實際應用問題[例3](鏈接教科書第133頁例4)我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道是以地心(地球的中心)F2為一個焦點的橢圓．已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面439km，遠地點B(離地面最遠的點)距地面2384km，并且F2，A，B在同一直線上，地球半徑約為6371km，[解]如圖，建立直角坐標系，使點A，B，F2在x軸上，F2為橢圓右焦點(記F1為左焦點)，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝6371＋439＝6810a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|＝6371＋2384＝8755，∴a＝7782.5≈7783.∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(（a＋c）（a－c）)＝eq\r(8755×6810)≈7721，∴衛星運行的軌道方程是eq\f(x2,77832)＋eq\f(y2,77212)＝1.eq\a\vs4\al()解決橢圓的實際問題的基本步驟(1)認真審題，理順題中的各種關系，如等量關系；(2)結合所給圖形及題意建立適當的平面直角坐標系；(3)利用橢圓知識及其他相關知識求解．[跟蹤訓練]神舟五號飛船成功完成了第一次載人航天飛行，實現了中國人民的航天夢想．某段時間飛船在太空中運行的軌道是一個橢圓，地心為橢圓的一個焦點，如圖所示．假設航天員到地球的最近距離為d1，最遠距離為d2，地球的半徑為R，我們想象存在一個鏡像地球，其中心在神舟飛船運行軌道的另外一個焦點上，上面住著一個神秘生物發射某種神秘信號，需要飛行中的航天員中轉后地球人才能接收到，則傳送神秘信號的最短距離為()A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2RC．d2＋d1－2R D．d1＋d2解析：選D設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，半焦距為c，兩焦點分別為F1，F2，飛行中的航天員為點P，由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))則2a＝d1＋d2＋2R，故傳送神秘信號的最短距離為|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.1．橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率是()A．eq\f(\r(13),3) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,9)解析：選B由橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1可得a＝3，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，∴橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故選B.2．以橢圓短軸為直徑的圓經過此橢圓的焦點，則橢圓的離心率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),3)解析：選B因為以橢圓短軸為直徑的圓經過此橢圓的焦點，所以b＝c，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).故選B.3．(2021·陜西商洛市高二月考)已知橢圓M：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，橢圓N：eq\f(x2,k2＋16)＋eq\f(y2,k2＋9)＝1，橢圓P：eq\f(y2,32)＋eq\f(x2,18)＝1，則()A．M與N的離心率相等，M與P的焦距相等B．M與N的離心率相等，N與P的焦距相等C．M與N的焦距相等，M與P的短軸長相等D．M與N的焦距相等，M與P的離心率相等解析：選D∵k2＋16－(k2＋9)＝16－9，∴M與N的焦距相等；∵eq\f(9,16)＝eq\f(18,32)，∴M與P的離心率相等．故選D.4．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，長軸長為4，則該橢圓的短軸長為________．解析：因為長軸長為4，所以a＝2，根據離心率為eq\f(\r(2),2)，得c＝eq\r(2)，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2)，所以短軸長為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)5．已知橢圓eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的離心率e＝eq\f(1,2).求k的值．解：分兩種情況進行討論．①當橢