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PAGEPAGE8用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義(1)平均數(shù)、均值①(算術(shù))平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù).②總體均值:一般地,我們把總體中所有數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),稱為總體的均值.③一個(gè)平均數(shù)的計(jì)算公式一般地,若取值為x1,x2,…,xn的頻率分別為p1,p2,…,pn,則其平均數(shù)為x1p1+x2p2+…+xnpn.(2)眾數(shù)一般地,我們將一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫作該組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(3)中位數(shù)一般地,將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排成一列,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù),那么排在正中間的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù),那么,排在正中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).1.奧運(yùn)會(huì)體操比賽的計(jì)分規(guī)則為:當(dāng)評(píng)委亮分后,其成績(jī)先去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分,再計(jì)算剩下分?jǐn)?shù)的平均值,這是因?yàn)?)A.減少計(jì)算量B.避免故障C.剔除異常值D.活躍賽場(chǎng)氣氛【解析】選C.因?yàn)樵隗w操比賽的評(píng)分中使用的是平均分,記分過(guò)程中采用“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”的方法,就是為了防止個(gè)別裁判的人為因素給出過(guò)高或過(guò)低的分?jǐn)?shù)對(duì)選手的得分造成較大的影響,從而降低誤差,盡量公平.2.已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是()A.平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B.平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)【解析】選D.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是50.3.(教材練習(xí)改編)某廠抽查了某節(jié)能燈泡的使用壽命數(shù)據(jù)如下:壽命/天450550600650700只數(shù)2010301525則這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是________.【解析】這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是eq\f(450×20+550×10+600×30+650×15+700×25,100)=597.5(天).答案:597.5天4.一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19,x,23,27,28,31,其中位數(shù)為22,則x等于________.【解析】根據(jù)題意知,中位數(shù)22=eq\f(x+23,2),則x=21.答案:215.某學(xué)校抽查了某班級(jí)某月5天的用電量,數(shù)據(jù)如表(單位:度):度數(shù)91011天數(shù)311(1)求這個(gè)班級(jí)這5天用電量的平均數(shù);(2)求這個(gè)班級(jí)這5天用電量的眾數(shù)、中位數(shù);(3)學(xué)校共有36個(gè)班級(jí),若該月按22天計(jì),試估計(jì)該校該月的總用電量.【解析】(1)因?yàn)?9×3+10×1+11×1)÷5=9.6(度),所以這個(gè)班級(jí)這5天用電量的平均數(shù)為9.6度.(2)這個(gè)班級(jí)這5天用電量的眾數(shù)是9度,中位數(shù)是9度.(3)因?yàn)?.6×36×22=7603.2(度),所以估計(jì)該校該月的總用電量為7603.2度.一、單選題1.某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí),錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是()A.3.5B.3C.-0.5D.-3【解析】選D.因?yàn)殄e(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,所以此時(shí)求出的數(shù)與實(shí)際的數(shù)的差是15-105=-90,因此平均數(shù)之間的差是-90÷30=-3.2.已知10名工人生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有()A.a(chǎn)>b>cB.a(chǎn)>c>bC.c>a>bD.c>b>a【解析】選D.由題意得a=eq\f(1,10)(16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)=eq\f(157,10)=15.7,中位數(shù)為16,眾數(shù)為18,則b=16,c=18,所以c>b>a.3.設(shè)矩形的長(zhǎng)為a,寬為b,其比滿足b∶a=eq\f(\r(5)-1,2)≈0.618,這種矩形給人以美感,稱為黃金矩形.黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中.下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長(zhǎng)度的比值樣本:甲批次:0.5980.6250.6280.5950.639乙批次:0.6180.6130.5920.6220.620根據(jù)上述兩個(gè)樣本來(lái)估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較,正確的結(jié)論是()A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定【解析】選A.計(jì)算可得甲批次樣本的平均數(shù)為0.617,乙批次樣本的平均數(shù)為0.613,由此估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)分別為0.617,0.613,則甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近.4.某排球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡如表所示:年齡/歲1819202122人數(shù)14322則該隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)與中位數(shù)分別是()A.19歲,19歲B.19歲,20歲C.20歲,20歲D.20歲,22歲【解析】選B.由眾數(shù)的定義可知,數(shù)據(jù)19出現(xiàn)的次數(shù)最多,達(dá)4次,12個(gè)數(shù)據(jù)中,由小到大排列后第6個(gè)與第7個(gè)位置上的數(shù)都是20,這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)也是20.所以該隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)與中位數(shù)分別是19歲,20歲.5.為了了解某校九年級(jí)1600名學(xué)生的體能情況,隨機(jī)抽查了部分學(xué)生,測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(jī)(次數(shù)),將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,根據(jù)直方圖的數(shù)據(jù),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25B.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5C.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30次的約有320人D.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的約有32人【解析】選D.頻率分布直方圖中,中位數(shù)是頻率為0.5的分界點(diǎn)的橫坐標(biāo),由頻率分布直方圖可知前2組的頻率和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.02+0.06))×5=0.4,因此中位數(shù)出現(xiàn)在第3組.設(shè)中位數(shù)為x,則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-25))×0.08=0.1,x=26.25,所以A正確;眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數(shù),在頻率分布直方圖中通常取縱坐標(biāo)最高的一組區(qū)間的中點(diǎn),所以眾數(shù)為eq\f(25+30,2)=27.5,所以B正確;仰臥起坐次數(shù)超過(guò)30的頻率為0.04×5=0.2,所以頻數(shù)為1600×0.2=320人,所以C正確;仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有0.02×5×1600=160,所以D錯(cuò)誤.二、多選題6.已知一組數(shù)據(jù):12,5,9,5,14,則下列說(shuō)法正確的是()A.平均數(shù)是9 B.中位數(shù)是9C.眾數(shù)是5 D.均值為5【解析】選ABC.數(shù)據(jù)描述類(lèi)的題目,主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算,題目數(shù)據(jù)比較簡(jiǎn)單,先從簡(jiǎn)單的眾數(shù)入手,C是正確的,其次從小到大排列:5,5,9,12,14,B是正確的,再算平均數(shù),所以A也正確,均值實(shí)際上是平均數(shù),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.7.小華所在的年級(jí)一班共有50名學(xué)生,一次體檢測(cè)量了全班學(xué)生的身高,由此求得該班學(xué)生的平均身高是1.65米,而小華的身高是1.66米,則下列說(shuō)法正確的是()A.1.65米是該班學(xué)生身高的平均水平B.班上比小華高的學(xué)生人數(shù)不會(huì)超過(guò)25人C.這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米D.這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米【解析】選ACD.本題考查了一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的概念及三者的求法,由平均數(shù)所反映的意義知A選項(xiàng)正確,由中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定C選項(xiàng)正確,由眾數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定D選項(xiàng)正確,由于平均數(shù)受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.三、填空題8.已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______.【解析】eq\f(4+6+5+8+7+6,6)=6.答案:69.某商場(chǎng)一天中售出某品牌運(yùn)動(dòng)鞋20雙,其中各種尺碼鞋的銷(xiāo)量如表所示:鞋的尺碼(單位:cm)23.52424.52525.526銷(xiāo)售量(單位:雙)344711則這20雙鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)是________,中位數(shù)是________,在眾數(shù)和中位數(shù)中,商場(chǎng)最感興趣的是________.【解析】因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)中,25出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是25;將該組數(shù)據(jù)從小到大排列后,處于中間位置的是第10個(gè)數(shù)和第11個(gè)數(shù),均為24.5,故該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是24.5;在眾數(shù)和中位數(shù)中,商場(chǎng)最感興趣的是眾數(shù).答案:2524.5眾數(shù)四、解答題10.某公司銷(xiāo)售部有銷(xiāo)售人員15人,為了制定某種商品的月銷(xiāo)售定額,統(tǒng)計(jì)了這15人某月的銷(xiāo)售量如表:銷(xiāo)售量1800510250210150120人數(shù)113532(1)求這15位銷(xiāo)售人員該月銷(xiāo)售量的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù);(2)假設(shè)銷(xiāo)售部負(fù)責(zé)人把每位銷(xiāo)售人員的月銷(xiāo)售定額定為320件,你認(rèn)為是否合理,為什么?如果不合理,請(qǐng)你制定一個(gè)較合理的銷(xiāo)售定額.【解析】(1)平均數(shù)為eq\f(1,15)×(1800×1+510×1+250×3+210×5+150×3+120×2)=320,中位數(shù)為210,眾數(shù)為210.(2)不合理.因?yàn)?5人中有13人的銷(xiāo)售量達(dá)不到320件,也就是說(shuō),320雖是這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù),但它卻不能反映銷(xiāo)售人員的一般水平.銷(xiāo)售定額為210件合理些,這是由于210既是中位數(shù),又是眾數(shù),是絕大部分人都能達(dá)到的銷(xiāo)售量.11.某校欲招聘一名數(shù)學(xué)教師,學(xué)校對(duì)甲、乙、丙三位候選人進(jìn)行了三項(xiàng)能力測(cè)試,各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)滿分均為100分,根據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用.三位候選人的各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)?nèi)绫硭荆簻y(cè)試項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)甲乙丙教學(xué)能力857373科研能力707165組織能力647284(1)如果根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績(jī),誰(shuí)將被錄用,說(shuō)明理由;(2)根據(jù)實(shí)際需要,學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項(xiàng)能力測(cè)試得分按5∶3∶2的比例確定每人的成績(jī),誰(shuí)將被錄用,說(shuō)明理由.【解析】(1)甲的平均成績(jī)?yōu)?85+70+64)÷3=73,乙的平均成績(jī)?yōu)?73+71+72)÷3=72,丙的平均成績(jī)?yōu)?73+65+84)÷3=74,所以候選人丙將被錄用.(2)甲的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?85×5+70×3+64×2)÷(5+3+2)=76.3,乙的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?73×5+71×3+72×2)÷(5+3+2)=72.2,丙的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?73×5+65×3+84×2)÷(5+3+2)=72.8,所以候選人甲將被錄用.一、選擇題1.為了普及環(huán)保知識(shí),增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試,得分(十分制)如圖所示,假設(shè)得分的中位數(shù)為me,眾數(shù)為mo,平均數(shù)為eq\x\to(x),則()A.me=mo=eq\x\to(x) B.me=mo<eq\x\to(x)C.me<mo<eq\x\to(x) D.mo<me<eq\x\to(x)【解析】選D.由題圖可知,30名學(xué)生的得分情況依次為:2個(gè)人得3分,3個(gè)人得4分,10個(gè)人得5分,6個(gè)人得6分,3個(gè)人得7分,2個(gè)人得8分,2個(gè)人得9分,2個(gè)人得10分.中位數(shù)為第15,16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù),即me=5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)最多,故mo=5,eq\x\to(x)=eq\f(1,30)×[2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10]≈5.97.于是得mo<me<eq\x\to(x).2.某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各1人,則該小組成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A.85分、85分、85分B.87分、85分、86分C.87分、85分、85分D.87分、85分、90分【解析】選C.由題意知,該學(xué)習(xí)小組共有10人,因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85分,平均數(shù)為eq\f(100+95+2×90+4×85+80+75,10)=87分.3.(多選)下列各選項(xiàng)不正確的是()A.中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)B.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),給定一組數(shù)據(jù),它可有多個(gè)眾數(shù),也可能沒(méi)有眾數(shù)C.一個(gè)樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的D.若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個(gè)數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會(huì)發(fā)生改變【解析】選ACD.A.由中位數(shù)的定義可知,中位數(shù)與一組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的奇偶性有關(guān).B.由眾數(shù)的定義可知,眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在數(shù)據(jù)1,1,1,2,2,2,3中就有兩個(gè)眾數(shù)1和2;在數(shù)據(jù)1,3,4,6,8,2中就沒(méi)有眾數(shù).C.由眾數(shù)的定義可知,一個(gè)樣本的眾數(shù)可能有一個(gè),也可能有多個(gè).D.若改變一組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定會(huì)改變,而中位數(shù)與眾數(shù)可能不變.二、填空題4.已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為-1,0,4,x,6,15,且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________,平均數(shù)是________.【解析】因?yàn)橹形粩?shù)為5,所以eq\f(4+x,2)=5,即x=6.所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6,平均數(shù)為eq\f(-1+0+4+6+6+15,6)=5.答案:655.某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班.其中甲班有40人,乙班有50人.現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī),算得甲班的平均成績(jī)是90分,乙班的平均成績(jī)是81分,則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是________分.【解析】由題意得,該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是eq\f(40×90+50×81,90)=85(分).答案:856.某住宅小區(qū)6月份隨機(jī)抽查了該小區(qū)6天的用水量(單位:噸),結(jié)果分別是30,34,32,37,28,31,那么,請(qǐng)你估計(jì)該小區(qū)6月份(30天)的總用水量約是________噸.【解析】(30+34+…+31)÷6=32(噸),所以估計(jì)該小區(qū)6月份(30天)的總用水量約是32×30=960(噸).答案:9607.從甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中分別抽取8件產(chǎn)品,對(duì)其使用壽命(單位:年)進(jìn)行追蹤調(diào)查的結(jié)果如下:甲:3,4,5,6,8,8,8,10;乙:4,6,6,6,8,9,12,13;丙:3,3,4,7,9,10,11,12.
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