PAGEPAGE8用樣本估計總體的集中趨勢參數平均數、中位數、眾數的定義(1)平均數、均值①(算術)平均數：一組數據的和除以數據個數所得到的數．②總體均值：一般地，我們把總體中所有數據的算術平均數，稱為總體的均值．③一個平均數的計算公式一般地，若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均數為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(2)眾數一般地，我們將一組數據中出現次數最多的那個數據叫作該組數據的眾數．(3)中位數一般地，將一組數據按照從小到大的順序排成一列，如果數據的個數為奇數，那么排在正中間的數據就是這組數據的中位數；如果數據的個數為偶數，那么，排在正中間的兩個數據的平均數即為這組數據的中位數．1．奧運會體操比賽的計分規則為：當評委亮分后，其成績先去掉一個最高分，去掉一個最低分，再計算剩下分數的平均值，這是因為()A．減少計算量B．避免故障C．剔除異常值D．活躍賽場氣氛【解析】選C.因為在體操比賽的評分中使用的是平均分，記分過程中采用“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法，就是為了防止個別裁判的人為因素給出過高或過低的分數對選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量公平．2．已知一組數據為20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均數、中位數和眾數的大小關系是()A．平均數>中位數>眾數B．平均數<中位數<眾數C．中位數<眾數<平均數D．眾數＝中位數＝平均數【解析】選D.眾數、中位數、平均數都是50.3．(教材練習改編)某廠抽查了某節能燈泡的使用壽命數據如下：壽命/天450550600650700只數2010301525則這些節能燈泡使用壽命的平均數是________．【解析】這些節能燈泡使用壽命的平均數是eq\f(450×20＋550×10＋600×30＋650×15＋700×25,100)＝597.5(天).答案：597.5天4．一組樣本數據按從小到大的順序排列為13，14，19，x，23，27，28，31，其中位數為22，則x等于________．【解析】根據題意知，中位數22＝eq\f(x＋23,2)，則x＝21.答案：215．某學校抽查了某班級某月5天的用電量，數據如表(單位：度)：度數91011天數311(1)求這個班級這5天用電量的平均數；(2)求這個班級這5天用電量的眾數、中位數；(3)學校共有36個班級，若該月按22天計，試估計該校該月的總用電量．【解析】(1)因為(9×3＋10×1＋11×1)÷5＝9.6(度)，所以這個班級這5天用電量的平均數為9.6度．(2)這個班級這5天用電量的眾數是9度，中位數是9度．(3)因為9.6×36×22＝7603.2(度)，所以估計該校該月的總用電量為7603.2度．一、單選題1．某同學使用計算器求30個數據的平均數時，錯將其中一個數據105輸入為15，那么由此求出的平均數與實際平均數的差是()A．3.5B．3C．－0.5D．－3【解析】選D.因為錯將其中一個數據105輸入為15，所以此時求出的數與實際的數的差是15－105＝－90，因此平均數之間的差是－90÷30＝－3.2．已知10名工人生產同一零件，生產的件數分別是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，設其平均數為a，中位數為b，眾數為c，則有()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a【解析】選D.由題意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位數為16，眾數為18，則b＝16，c＝18，所以c＞b＞a.3．設矩形的長為a，寬為b，其比滿足b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應用于工藝品設計中．下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根據上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數與標準值0.618比較，正確的結論是()A．甲批次的總體平均數與標準值更接近B．乙批次的總體平均數與標準值更接近C．兩個批次總體平均數與標準值接近程度相同D．兩個批次總體平均數與標準值接近程度不能確定【解析】選A.計算可得甲批次樣本的平均數為0.617，乙批次樣本的平均數為0.613，由此估計兩個批次的總體平均數分別為0.617，0.613，則甲批次的總體平均數與標準值更接近．4．某排球隊12名隊員的年齡如表所示：年齡/歲1819202122人數14322則該隊隊員年齡的眾數與中位數分別是()A．19歲，19歲B．19歲，20歲C．20歲，20歲D．20歲，22歲【解析】選B.由眾數的定義可知，數據19出現的次數最多，達4次，12個數據中，由小到大排列后第6個與第7個位置上的數都是20，這兩個數的平均數也是20.所以該隊隊員年齡的眾數與中位數分別是19歲，20歲．5．為了了解某校九年級1600名學生的體能情況，隨機抽查了部分學生，測試1分鐘仰臥起坐的成績(次數)，將數據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據直方圖的數據，下列結論錯誤的是()A．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的中位數為26.25B．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的眾數為27.5C．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數超過30次的約有320人D．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數少于20次的約有32人【解析】選D.頻率分布直方圖中，中位數是頻率為0.5的分界點的橫坐標，由頻率分布直方圖可知前2組的頻率和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.02＋0.06))×5＝0.4，因此中位數出現在第3組．設中位數為x，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－25))×0.08＝0.1，x＝26.25，所以A正確；眾數是指樣本中出現頻率最高的數，在頻率分布直方圖中通常取縱坐標最高的一組區間的中點，所以眾數為eq\f(25＋30,2)＝27.5，所以B正確；仰臥起坐次數超過30的頻率為0.04×5＝0.2，所以頻數為1600×0.2＝320人，所以C正確；仰臥起坐的次數少于20次的人數約有0.02×5×1600＝160，所以D錯誤．二、多選題6．已知一組數據：12，5，9，5，14，則下列說法正確的是()A．平均數是9 B．中位數是9C．眾數是5 D．均值為5【解析】選ABC.數據描述類的題目，主要考查了平均數、中位數、眾數的計算，題目數據比較簡單，先從簡單的眾數入手，C是正確的，其次從小到大排列：5，5，9，12，14，B是正確的，再算平均數，所以A也正確，均值實際上是平均數，所以選項D錯誤．7．小華所在的年級一班共有50名學生，一次體檢測量了全班學生的身高，由此求得該班學生的平均身高是1.65米，而小華的身高是1.66米，則下列說法正確的是()A．1.65米是該班學生身高的平均水平B．班上比小華高的學生人數不會超過25人C．這組身高數據的中位數不一定是1.65米D．這組身高數據的眾數不一定是1.65米【解析】選ACD.本題考查了一組數據中的中位數、平均數、眾數的概念及三者的求法，由平均數所反映的意義知A選項正確，由中位數與平均數的關系確定C選項正確，由眾數與平均數的關系確定D選項正確，由于平均數受一組數據中的極端值的影響，故B選項錯誤．三、填空題8．已知一組數據4，6，5，8，7，6，那么這組數據的平均數為________．【解析】eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.答案：69．某商場一天中售出某品牌運動鞋20雙，其中各種尺碼鞋的銷量如表所示：鞋的尺碼(單位:cm)23.52424.52525.526銷售量(單位:雙)344711則這20雙鞋的尺碼組成的一組數據中，眾數是________，中位數是________，在眾數和中位數中，商場最感興趣的是________．【解析】因為這組數據中，25出現的次數最多，所以這組數據的眾數是25；將該組數據從小到大排列后，處于中間位置的是第10個數和第11個數，均為24.5，故該組數據的中位數是24.5；在眾數和中位數中，商場最感興趣的是眾數．答案：2524.5眾數四、解答題10．某公司銷售部有銷售人員15人，為了制定某種商品的月銷售定額，統計了這15人某月的銷售量如表：銷售量1800510250210150120人數113532(1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數、中位數及眾數；(2)假設銷售部負責人把每位銷售人員的月銷售定額定為320件，你認為是否合理，為什么？如果不合理，請你制定一個較合理的銷售定額．【解析】(1)平均數為eq\f(1,15)×(1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320，中位數為210，眾數為210.(2)不合理．因為15人中有13人的銷售量達不到320件，也就是說，320雖是這一組數據的平均數，但它卻不能反映銷售人員的一般水平．銷售定額為210件合理些，這是由于210既是中位數，又是眾數，是絕大部分人都能達到的銷售量．11．某校欲招聘一名數學教師，學校對甲、乙、丙三位候選人進行了三項能力測試，各項測試成績滿分均為100分，根據結果擇優錄用．三位候選人的各項測試成績如表所示：測試項目測試成績甲乙丙教學能力857373科研能力707165組織能力647284(1)如果根據三項測試的平均成績，誰將被錄用，說明理由；(2)根據實際需要，學校將教學、科研和組織三項能力測試得分按5∶3∶2的比例確定每人的成績，誰將被錄用，說明理由．【解析】(1)甲的平均成績為(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成績為(73＋71＋72)÷3＝72，丙的平均成績為(73＋65＋84)÷3＝74，所以候選人丙將被錄用．(2)甲的測試成績為：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的測試成績為：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，丙的測試成績為：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，所以候選人甲將被錄用．一、選擇題1．為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設得分的中位數為me，眾數為mo，平均數為eq\x\to(x)，則()A．me＝mo＝eq\x\to(x) B．me＝mo<eq\x\to(x)C．me<mo<eq\x\to(x) D．mo<me<eq\x\to(x)【解析】選D.由題圖可知，30名學生的得分情況依次為：2個人得3分，3個人得4分，10個人得5分，6個人得6分，3個人得7分，2個人得8分，2個人得9分，2個人得10分．中位數為第15，16個數(分別為5，6)的平均數，即me＝5.5，5出現的次數最多，故mo＝5，eq\x\to(x)＝eq\f(1,30)×[2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10]≈5.97.于是得mo<me<eq\x\to(x).2．某學習小組在一次數學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該小組成績的平均數、眾數、中位數分別是()A．85分、85分、85分B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分D．87分、85分、90分【解析】選C.由題意知，該學習小組共有10人，因此眾數和中位數都是85分，平均數為eq\f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87分．3．(多選)下列各選項不正確的是()A．中位數是一組數據中間的數B．眾數是一組數據中出現次數最多的數，給定一組數據，它可有多個眾數，也可能沒有眾數C．一個樣本的眾數、平均數和中位數都是唯一的D．若改變一組數據中其中的一個數，則這組數據的平均數、中位數、眾數都會發生改變【解析】選ACD.A.由中位數的定義可知，中位數與一組數據個數的奇偶性有關．B．由眾數的定義可知，眾數是一組數據中出現次數最多的數．在數據1，1，1，2，2，2，3中就有兩個眾數1和2；在數據1，3，4，6，8，2中就沒有眾數．C．由眾數的定義可知，一個樣本的眾數可能有一個，也可能有多個．D．若改變一組數據中的一個數，則這組數據的平均數一定會改變，而中位數與眾數可能不變．二、填空題4．已知一組數據按從小到大排列為－1，0，4，x，6，15，且這組數據的中位數是5，那么這組數據的眾數是________，平均數是________．【解析】因為中位數為5，所以eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6.所以該組數據的眾數為6，平均數為eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.答案：655．某高校有甲、乙兩個數學建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數學建模興趣班的平均成績是________分．【解析】由題意得，該校數學建模興趣班的平均成績是eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分).答案：856．某住宅小區6月份隨機抽查了該小區6天的用水量(單位：噸)，結果分別是30，34，32，37，28，31，那么，請你估計該小區6月份(30天)的總用水量約是________噸．【解析】(30＋34＋…＋31)÷6＝32(噸)，所以估計該小區6月份(30天)的總用水量約是32×30＝960(噸).答案：9607．從甲、乙、丙三個廠家生產的同一種產品中分別抽取8件產品，對其使用壽命(單位：年)進行追蹤調查的結果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.