學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精第三章綜合檢測一、選擇題1.已知i是虛數單位,a，b∈R,則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()。A。充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D。既不充分也不必要條件【解析】當a=b=1時，(a+bi)2=(1+i）2=2i，反之，(a+bi）2=a2-b2+2abi=2i，則a2—b2=0，2ab=2，解得a=1,b=1或a=-1,b=—1,故“a=1,b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要條件,選A。【答案】A2。復數1-i22=a+bi（a，b∈R，i是虛數單位)，則a2—b2的值為A。0 B。1 C。2 D。—1【解析】1-i22=1-2i+i22=—i=a+bi,所以a=0，b=—1，所以【答案】D3。復數z=m-2i1+2i(m∈R，i為虛數單位）A。第一象限 B.第二象限C.第三象限 D。第四象限【解析】z=m-2i15(m-4)-2(m+1)i,其實部為由m-4>0,-故復數z在復平面內對應的點不可能位于第一象限.【答案】A4。已知復數z=—12+32i，則z+|z|=（A。—12—32i B。-12C.12+32i D。12【解析】因為z=-12+32i，所以z+｜z｜=—12—32i+-12【答案】D5。設z∈C，若z2為純虛數，則z在復平面內對應的點落在（）。A。實軸上 B。虛軸上C。曲線y=±x（x≠0)上 D。以上都不對【解析】設z=x+yi（x，y∈R）,則z2=（x+yi)2=x2—y2+2xyi.∵z2為純虛數,∴x2-y2=0,xy【答案】C6。若復數z=a2—1+（a+1）i(a∈R）是純虛數，則1z+a的虛部為(A。-25 B。—25i C.25 D【解析】由題意得a2-1=0,所以1z+a=11+2i=1-由虛部的概念,可得1z+a的虛部為【答案】A7.設復數z=2-1-i(i為虛數單位)，z的共軛復數為z，則在復平面內iz對應的點的坐標為A。（1,1) B.(-1，1）C。(1,—1) D。（—1,-1)【解析】∵z=2-1-i=-1+i，∴iz=i(-1—i)=1-i，其在復平面內對應的點的坐標為(1,【答案】C8.若關于x的方程x2+(1+2i）x+3m+i=0有實根，則實數m等于（）.A。112 B。12 C。—112【解析】設方程的實數根為x=a（a為實數）,則a2+(1+2i)·a+3m+i=0,∴a2+a+3m【答案】A9.已知復數z=(x—2)+yi(x,y∈R）在復平面內對應的向量的模為3,則yx的最大值是()A。32 B。33 C。1【解析】因為｜（x—2）+yi｜=3，所以（x—2）2+y2=3，所以點(x,y）在以C（2，0)為圓心，以3為半徑的圓上,如圖，由平面幾何知識知-3≤yx≤3【答案】D10。已知a，b∈R，且a+i1-bi為實數，則abA.—1 B.-2 C。2 D.1【解析】∵a+i1-bi=(a+i)(1+b【答案】A11。定義:abcd=ad—bc.若復數z滿足z1-ii=—A.1+i B.1—i C.3+i D。3-i【解析】由題意可得zi+i=—1+2i。設z=a+bi(a,b∈R）,則（a+bi）i+i=—1+2i，即(a+1）i-b=—1+2i。由復數相等的定義知a得a=1,b=1,故【答案】A12。在復平面內，設向量OZ1、OZ2分別對應非零復數z1、z2,若OZ1⊥OZ2，A.非負數 B.純虛數 C.正實數 D。不確定【解析】已知OZ1⊥OZ2,設z1=a+bi,z2=c+di,a,b，c,d∈R,∴z2z1=c+di【答案】B二、填空題13.設復數a+bi（a,b∈R）的模為3,則（a+bi)(a—bi）=.

【解析】由題意得a2+b2=3,所以a2+b故(a+bi）（a-bi）=a2+b2=3。【答案】314.已知復數z=(5-2i)2(i為虛數單位），則z的實部為.

【解析】由題意得z=（5-2i)2=25—2×5×2i+（2i)2=21-20i,其實部為21。【答案】2115.復數z與（z+2）2—8i均為純虛數,則z=。

【解析】設z=mi(m≠0),則(z+2)2—8i=（4—m2）+（4m—8）i是純虛數,∴4-m2=0,4【答案】—2i16.已知復數z1=-1+2i，z2=1—i,z3=3—4i，它們在復平面上對應的點分別為A,B,C,若OC=λOA+μOB（λ,μ∈R），O為坐標原點,則λ+μ的值是。

【解析】由條件得OC=（3，—4)，OA=（-1,2)，OB=（1,—1）,由OC=λOA+μOB，得(3，—4）=λ(-1，2)+μ(1，-1）=(—λ+μ,2λ-μ），∴-λ+μ=3,【答案】1三、解答題17.已知z1=2+i，z2=z1+i(2i+1【解析】∵z2=z1+i(2i+1)-z1=∴z1z2=(2+i）(-2i）=2—4i.18.已知復數x2+x-2+(x2-3x+2)i(x∈R）是復數4—20i的共軛復數，求實數x的值.【解析】因為復數4—20i的共軛復數為4+20i,由題意得x2+x—2+(x2-3x+2)i=4+20i.根據復數相等的充要條件,得x方程①的解為x=—3或x=2。方程②的解為x=-3或x=6.所以實數x的值為—3。19.虛數z滿足|z|=1，z2+2z+1z<0，求【解析】設z=x+yi(x，y∈R,y≠0)，則x2+y2=1，∴z2+2z+1z=（x+yi）2+2(x+yi）+=(x2—y2+3x)+y（2x+1）i。∵y≠0,z2+2z+1z<0∴2又x2+y2=1，③由①②③得x=-12,y20。設z=log2（1+m)+ilog12（3—m）（m∈R（1）若z在復平面內對應的點在第三象限，求實數m的取值范圍；（2)若z在復平面內對應的點在直線x—y—1=0上,求m的值。【解析】(1)由已知得lo解①得—1〈m<0。解②得m〈2.故不等式組的解集為｛m｜—1〈m〈0｝,因此實數m的取值范圍是{m|-1<m〈0}。（2)由已知得，點（log2（1+m）,log12（3-m））在直線x-y-1=0即log2(1+m）-log12（3-m）—1=整理得log2[（1+m）(3-m)]=1.從而(1+m）（3—m)=2，即m2—2m-1=0,解得m=1±2,當m=1±2時都能使1+m>0，且3-m>0.故m=1±2.21.(1）已知復數z在復平面內對應的點在第四象限,｜z｜=1,且z+z=1，求實數z的值；(2）已知復數z=5m21-2i-(1+5i)m-3(2+i)【解析】(1)設z=a+bi(a,b∈R）,由題意得a2+∵復數z在復平面內對應的點在第四象限，∴b=-32∴z=12—32（2)z=5m21-2i—（1+5i）m—3（2+i）=（m2-m-6)+(2m2—5m—3）i,依題意,m2—m—6=0，解得∵2m2-5m—3≠0，∴m≠3，∴m=-2.22。已知z1=x+yi,z-1=x—yi（x,y∈R）且x2+y2=1，z2=(3+4i）z1+(3-4i）（1）求證:z2∈R。（2）求z2的最大值和最小值。【解析】(1)∵z1=x+yi,z-1=x—yi（x,y∈∴z1+z-1=2x，z1—z-1=∴z2=（3+4i）z1+（3—4i)z-1=3（z1+z-1)+4i(z1-z-1）=6x+8yi2=6x—8y（2)∵x2+y2=1,∴設x=cosθ,y=sinθ，θ∈R，∴z2=6cosθ-8sinθ.令sinφ=35,cosφ=4∴z2