人教A版高中數學必修第一冊

第四章指數函數與對數函數

一、單元內容和內容解析

1.內容

函數是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，在解決實際問題中

發揮重要作用.函數是貫穿高中數學課程的主線.

本單元的教學設計是圍繞著兩大基本初等函數展開，進一步理解函數模型是描述客觀世界

中變量關系和規律的重要數學語言和工具.結合實際問題，體驗數學模型的文化內涵，體會建

立數學模型的應用價值。通過多元化的評價，讓學生感受建立數學模型的魅力.

具體來看，本章包括五節內容：4.1指數，4.2指數函數，4.3對數，4.4對數函數，4.5

函數的應用（二）.這一結構體系體現了研究一個數學對象及其應用的基本思路和方法.本單元

的知識結構圖如下：

本章教學約需13課時，大致分配如下：

（1）4.1指數.本節含2課時：n次方根與分數指數幕；無理數指數累及其運算性質.

（2）4.2指數函數.本節含2課時：指數函數的概念；指數函數的圖象和性質.

（3）4.3對數.本節含2課時：對數函數的概念；對數的運算.

（4）4.4對數函數.本節含3個課時：對數函數的概念；對數函數的圖象和性質；不同函

數增長的差異.

（5）4.5函數的應用（二）.本節含4個課時：函數的零點與方程的解；用二分法求方程

的近似解；函數模型應用（1）：用函數模型解決實際問題；函數模型的應用（2）：選擇函數

模型解決實際問題.

（6）小結.本節含2個課時：回顧4.1指數，4.2指數函數，4.3對數和4.4對數函數，

梳理其知識結構，對典型題型進一步的鞏固訓練；回顧4.5函數的應用(二)，梳理其知識結

構，對典型題型進一步的鞏固訓練.

2.內容解析

(1)內容的本質：

(i)為研究指數函數，需要把整數指數累推廣到實數指數累，從而為研究指數函數和對

數函數奠定基礎.

(ii)指數函數是刻畫呈指數增長或衰減變化規律的函數模型，是解決實際問題的重要工

具，同時，指數函數為今后學習對數函數以及等比數列的性質做準備.

(iii)對數是指數基中指數的一種等價表示形式，利用指對數互換理解并推導對數的運算

性質.

(iv)將對數函數與指數函數建立聯系，體會從不同的函數模型理解同一變化規律的實際

問題，體會指數函數與對數函數互為反函數.

(v)函數的內部應用：結合函數零點的兩種理解思路，二分法求方程的近似解；函數的

外部應用：函數模型的實際應用，用函數建立數學模型解決實際問題的基本過程.

(2)蘊含的數學思想和方法：

指數函數、對數函數都是學生在系統學習函數概念和掌握了函數性質基礎上進行研究的，

是兩個很重要的基本初等函數之一，學生需要通過觀察、分析、探究等一系列的思維活動，由

具體的問題和圖象進行歸納、演繹，并通過抽象概括或推理得出其本質，從而得到有關概念和

性質，其中蘊涵著豐富的數學思想方法.

具體如下：

(i)4.1指數：指數累的推廣實質是將指數的范圍進行逐步推廣，使其對任意的實數都有

意義，推廣的思想方法與數系擴充的思想基本一致，就是將優的指數x的范圍逐步推廣到全體

實數，而在推廣過程中要使指數運算性質得到保持.在推廣的過程中體現了由特殊到一般、由

具體到抽象、用有理數指數累逼近無理數指數基的極限思想，并從數和形兩個角度認識到無理

數指數累是一個確定的實數，進而理解無理數指數基.

(ii)4.2指數函數：指數函數是刻畫呈指數增長或衰減變化規律的函數模型，其概念的

教學，應該在函數概念的基礎上，重點揭示指數增長或衰減的規律.應按“事實一概念”的路

徑，即學生要經歷“背景一研究對象一對應關系的本質一定義”的過程.學生在經歷這個過程

而形成指數函數的概念.在了解指數函數的背景后，再描點作出指數函數的圖象，從而概括指

數函數的性質.在指數函數定義和性質形成的過程中體現了抽象與概括、特殊與一般、數形結

合等思想.

(iii)4.3對數：對數是指數累中指數的一種等價表示形式，已知底數和幕，求指數，明

確引入對數的必要性，再通過指數基運算推導對數運算的性質.在研究對數的概念和對數的運

算性質時，運用了指對數互換、對數運算是指數運算的一種逆運算，以及對數的運算性質降低

了運算的級別，簡化了運算，體現了化歸轉化的思想.

(iv)4.4對數函數：對數函數和指數函數可以從不同的角度刻畫同一個問題的變化規律,

是基本初等函數的再拓廣，是研究函數路徑“背景一一概念一一圖象與性質一一應用”的再

強化.在引入對數函數的概念上，運用了特殊到一般和數形結合的思想，從而邏輯推理出對數

函數的概念；在探究對數函數的性質時，與指數函數類似，描點作圖，概括對數函數的性質，

體現了數形結合的數學思想，并體會同底的指對數函數互為反函數，進一步理解指對數運算的

互換和逆運算的思想.

（V）4.5函數的應用（二）：函數的內部應用的研究路徑是“函數零點的概念一一函數

零點存在定理一一應用函數零點存在定理和函數性質判定方程的解”，在函數的零點與方程的

解的轉換過程中，逐步滲透化歸轉化思想、函數與方程思想和數形結合思想.在了解函數的零

點的兩種理解思路的基礎上，再探究用二分法求方程的近似解，即滲透了逼近的思想和算法思

想，又讓學生經歷了觀察發現、抽象概括的過程，進一步強化函數與方程的思想.

函數的外部應用即函數模型的實際應用，引導學生認識“直線上升”“指數爆炸”“對數

增長”的差異，同時指導學生如何從實際情境中用數學的眼光發現和提出問題，通過分析問題、

構建模型、求解結論、驗證結果，以達到分析和解決問題的能力，體現了建立函數模型解決實

際問題的數學思想，即數學建模的核心素養.

（3）知識的上下位關系：

指數函數與對數函數是兩大基本初等函數之一，在高中數學課程中，《課標（2017年版）

2020年修訂》把指數函數與對數函數的內容安排在必修課程“主題二函數”中，把“函數的

概念與性質”、“事函數、指數函數、對數函數”“三角函數”“函數應用”視為一個整體.從

整體上看，在學習指數函數與對數函數一章之前所學的是函數的概念與性質，這樣集中安排函

數內容學習有利于函數學習經驗的運用、函數知識的系統構建；從章節內部來看，教材是按照

“背景一概念一圖象和性質一應用”的邏輯呈現，通過經典的年增長率和碳14的年衰減率變

化進行引入，讓學生感知指數增長和指數衰減，以說明引入指數函數的必要性，在探究指數函

數的概念和圖象及性質的基礎上，再結合指對數互換再探究對數函數的概念和圖象及性質這是

“來龍”；將抽象的知識運用到實際生活中以解決指數爆炸和對數增長的問題，這是“去脈”，

同時指數函數也是后續研究數列問題的重要載體.

具體如下：

（i）4.1指數：學生在初中階段接觸過整數指數累及其運算性質，為了研究實數指數累,

就要先定義n次方根的概念，從而得根式的性質，進而引入分數指數幕及其運算性質，合二

為一得有理數指數塞及其運算性質；無理數指數塞及其運算性質是上一節內容的延伸，從而建

立實數指數幕，并研究其運算，為指數函數且arl）的學習奠定了基礎.

（ii）4.2指數函數：學生在初中階段已經學習過增加量和增長率的相關概念，為了研究

指數增長和指數衰減模型，需先抽象概括指數函數的概念，在刻畫其本質特征：在自變量增加

1個單位，即自變量從與變化到與+1時，相應的函數值之比冬季=。為常數.了解指數函數

/Uo）

模型是刻畫增長率（衰減率）為定值這一變化規律的基本事實后，借助研究事函數的經驗，研

究指數函數這一基本初等函數的圖象和性質，從而強化指數描述的變化規律，進一步理解函數

的概念，并利用指數函數建立數學模型解決實際問題.為后續學習指對數互換，指數函數與對

數函數互為反函數提供了理論基礎.

(iii)4.3對數：在器a，=N中，已知底數a和累N,求指數x,顯然這種運算與指數基的

值及底數的值緊密聯系，這就是要引入的對數，即指數運算的一種逆運算，從而說明引入對數

的必要性；結合指數表達與對數表達的互換，探究對數的性質，再結合指數的運算性質，探究

對數運算的性質.這為接下來要學習的對數函數打下基礎.

(iv)4.4對數函數：對數函數和指數函數可以從不同角度刻畫同一問題的變化規律，進

一步強化理解指對數互換的應用；對數函數的圖象和性質：與指數函數類似，用對數函數的圖

象探究對數函數的性質，并用所得到的性質進一步理解對數函數的圖象.在了解對數函數的圖

象和性質后，結合指對數互換，并建立與指數函數的圖象和性質的聯系，按照函數的三要素來

認識他們之間的關系，其中指數函數的定義域是對數函數的值域，指數函數的值域是對數函數

的定義域，從而理解指數函數與對數函數互為反函數；不同函數增長的差異：對比增加量和增

長率的差異，理解“指數爆炸”的含義，并結合指對數函數互為反函數，從而再理解“對數增

長”的含義，進而理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”的增長差異.這部分的內容也

為后續的數學建模積累了必要的數學模型，為解決簡單的實際問題做好準備.

(v)4.5函數的應用(二)：前面的第二章“二次函數與一元二次方程、不等式”已經

初步建立了方程的根一方面可以理解為函數的零點，另一方面還可以理解為函數的圖象與x軸

交點的橫坐標，為函數的內部應用，利用所學過的函數研究一般方程的解提供了類比學習的依

據；用二分法求方程的近似解是函數與方程的延續，加強了函數的應用，拓展了方程的思想方

法.同時前面的學習的第三章“函數的應用(一)”已經初步了解了函數的實際應用(外部應

用)，結合本章學習的指對數函數，可以建立實際問題的函數模型，并通過函數模型反映實際

問題的變化規律，從而分析和解決實際問題，使學生進一步理解指數函數和對數函數，學會選

擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.這為后續的怎樣用函數構建數學模型解決實際

問題打好了基礎.

(4)育人價值：

(i)4.1指數：引入一種新的數，就要研究它的運算：定義一種運算，就要研究它的運算

律.定義運算是數系擴充中的核心問題，其基本原則是“使算術運算的運算律保持不變”，它

反映了數學推廣過程的一個重要特性：使得在原來的范圍內成立的規律在更大的范圍內仍然成

立.所以將整數指數幕推廣到實數指數幕的過程體現了數學思維的嚴謹性、數學思想方法的前

后一致性和邏輯的連貫性，以培育學生對數學學科的嚴謹性的育人價值.

(ii)4.2指數函數：在引入指數函數的概念時，充分關注與實際問題的聯系，體現數學

應用價值.從旅游人次的增長問題和碳14的衰減問題這兩個實例引入指數函數的概念，這兩

個問題，一個是增長問題，另一個是衰減問題，通過實例，有利于學生更好地感受指數函數模

型，促進學生了解中國文化、關心社會，通過實際問題滲透數學思想方法和彰顯人文價值，引

導學生學會用數學的眼光觀察世界、數學的思維思考世界、數學的語言(指數增長、指數衰減)

表達世界.

(iii)4.3對數：在數學發展歷史上，先有對數，然后才有指數累，后來，隨著數學公理

化體系的逐步完善，一般安排先學習指數幕，再學習對數，在指數幕概念及運算的基礎上，引

入對數的概念及其運算，這也符合學生的認知規律，也更比較自然.另外對于自然數e不僅是

數學史上，甚至是人類科學史上最偉大的兩個數(另一個是兀)，以e為底的指數函數可以描

述科技、經濟以及社會生活中眾多增長或衰減的變化規律，體現了數學學科的實際應用的價值.

(iv)4.4對數函數：為了讓學生在認識對數函數時也能感受到對數函數的實際背景，并

建立與指數函數的聯系，我們從另一個角度繼續研究碳14衰減的問題，讓學生進一步感受其

中的函數模型.同時，還需關注與實際問題的聯系，通過具體的實際問題來體現數學思想方法

和價值，體現了數學應用的價值.同時也能充分發揮對數在培養學生的數學抽象、邏輯推理、

數學運算和數學建模等核心素養的作用.

(v)4.5函數的應用(二)：函數的內部應用，側重于函數與方程的互相關系，突出用

函數性質求方程近似解的基本方法(二分法)，幫助學生從函數的觀點認識方程，了解用二分

法求方程近似解的思路、步驟和算法，提升數學運算素養；函數的外部應用，側重于用函數構

建數學模型的基本過程，突出用“指數型”函數和“對數型”函數模型發現和提出問題的能力、

分析和解決問題的過程和方法，意在從現實背景體現函數的應用價值.

(5)教學重點：

(i)4.1指數：指數累的推廣，指數事的運算性質.

(ii)4.2指數函數：指數函數的概念的形成，指數函數描述的變化規律；指數函數的圖

象和性質.

(iii)4.3對數：對數式與指數式的互換以及對數的性質；對數的運算性質.

(iv)4.4對數函數：對數函數的概念、圖象和性質.

(v)4.5函數的應用(二)：函數的零點與方程的解、函數的圖象與x軸交點的橫坐標之

間的聯系，函數零點存在定理以及用二分法求方程的近似解的思路與步驟；選擇合適的函數類

型構建數學模型，體會建立數學模型解決實際問題的一般過程.

(6)課時教學安排：

在單元教學設計中應注重局部范圍內的知識系統化特征，在教學整體觀的指導下，將教學

諸要素有序化規劃，以優化教學效果，并有利于學生構建條理清楚、層次分明的整體認知結構.

“4.1指數”一節，包含的內容有：n次方根與分數指數累，無理數指數累及其運算性質.

其中n次方根與分數指數暴包括了n次方根的定義、根式的定義、根式的性質、正數的分數指

數幕的意義及其運算性質，無理數指數塞及其運算性質包括了無理數指數累是一個確定的實數、

無理數指數的運算性質.這些內容在教科書中呈現的順序是：n次方根的定義一根式的定義一

根式的性質一例1—正數的正分數指數事的意義一正數的負分數指數易的意義一正數的分數

指數基的運算性質一例2、例3、例4和練習一正數的無理數指數累是一個確定的實數一正數

的無理數指數累的運算性質一練習.把這些內容作為一個單位，可以得到如下框圖.

根據上面的框圖，可以對單元內容進行劃分，同時給出課時:

第一部分：n次方根與分數指數累（1課時）

第二部分：無理數指數幕及其運算性質（1課時）

“4.2指數函數”一節，包含的內容有：指數函數的概念，指數函數的圖象和性質.這些

內容在教科書中呈現的順序是：問題1（游客人次逐年增長問題）一指數增長（增長率為定值）

一問題2（碳14衰減問題和半衰期的概念）一指數衰減（衰減率為定值）一指數函數的概念

一例1、例2和練習一閱讀材料（倍增期的概念）一描點畫指數函數y=2、的圖象一探究畫指

數函數y的圖象一探究選取底數”（〃＞0且awl）的若干個不同的值的指數函數圖象一歸納

出指數函數y=/（a＞（）且awl）的圖象一概括出指數函數），=優（。＞0且"1）的性質一例3、例4

和練習一信息技術應用（探究指數函數的性質）.把這些內容作為一個單元，可以得到如下框

圖.

根據上面的框圖，可以對單元內容進行劃分，同時給出課時：

第一部分：指數函數的概念（1課時）

第二部分：指數函數的圖象和性質（1課時）

“4.3對數”一節，包含的內容有：對數的概念，對數的運算性質.這些內容在教科書中

呈現的順序是：已知底數和嘉的值求指數一對數的概念一對數的符號一常用對數（自然對數）

一指對數互換一對數的性質一例1、例2和練習一對數的運算性質一例3、例4一換底公式一

例5和練習一閱讀與思考（對數的發明）.把這些內容作為一個單元，可以得到如下框圖.

根據上面的框圖，可以對單元內容進行劃分，同時給出課時：

第一部分：對數的概念（1課時）

第二部分：對數的運算性質（1課時）

“4.4對數函數”包含的內容有：對數函數的概念，對數函數的圖象和性質.這些內容在

教科書中呈現的順序是：思考（死亡時間x是否為碳14含量y的函數）一邏輯推理出對數式

x=log"、“『y,yG（0,l］滿足函數的定義一對數函數的概念一例1（概念應用）、例2（模型應用）

€

一練習（強化概念，理解模型）一描點畫對數函數y=bg2x的圖象一探究畫對數函數>

的圖象一探究選取底數。（a>0且af1）的若干個不同的值的對數函數圖象一歸納出對數函數

y=k）g“x（a>0且awl）的圖象一概括出對數函數y=log“>。且。WD的性質一例3、例4一指對

數函數互為反函數一練習一探究與發現（互為反函數的兩個函數圖象間的關系）一指數函數與

線性函數增長差異一對數函數與線性函數的增長差異一“直線上升"''對數增長”“指數爆炸”

的含義一練習.把這些內容作為一個單元，可以得到如下框圖.

根據上面的框圖，可以對單元內容進行劃分，同時給出課時:

第一部分：對數函數的概念（1課時）

第二部分：對數函數的圖象和性質（1課時）

第三部分：不同函數增長的差異（1課時）

“4.5函數的應用（二）”包含的內容有：函數的零點與方程的解，用二分法求方程的近

似解，函數模型的應用.這些內容在教科書中呈現的順序是：函數的零點一函數零點存在定理

一例1、練習一二分法求方程的近似解一例2、練習一閱讀與理解（中外歷史上的方程求解）

一例3（指數增長模型）一例4（指數衰減模型）一練習（指數與對數互換）一例5、例6（對

數增長、直線上升、指數爆炸）一練習.把這些內容作為一個單元，可以得到如下框圖.

根據上面的框圖，可以對單元內容進行劃分，同時給出課時：

第一部分：函數的零點與方程的解（1課時）

第二部分：用二分法求方程的近似解（1課時）

第三部分：函數模型的應用（二）（1）：用函數模型解決實際問題（1課時）

第四部分：函數模型的應用（二）（2）：選擇函數模型解決實際問題（1課時）

二、單元目標和目標解析

1.目標

第1課時：〃次方根與分數指數幕

（1）理解〃次方根與根式的概念；掌握分數指數罐和根式之間的互化；

（2）掌握分數指數嘉的運算性質；

第2課時：無理數指數累及其運算性質

（1）通過“用有理數逼近無理數”求得無理數的近似值；

（2）掌握運用實數指數基運算性質進行化簡計算的方法.

第3課時：指數函數的概念

（1）通過實際問題提煉出指數函數的概念；

（2）理解指數函數中底數的取值范圍；

第4課時：指數函數的圖象和性質

（1）運用描點法畫出指數函數的圖象，運用圖象來研究指數函數的性質；

（2）能通過數形結合，解決定點、單調性等問題；

第5課時：對數的概念

（1）理解對數的概念，了解對數運算與指數運算的互逆關系，及常用對數與自然對數；

（2）掌握對數式和指數式的互化，發展數學運算素養.

第6課時：對數的運算

（1）通過指數愚的運算性質推導出對數的運算性質；

（2）掌握對數換底公式，能夠用換底公式化簡問題；

第7課時：對數函數的概念

（1）理解對數函數的概念，理解對數函數與指數函數的關系；

（2）能通過指數函數底數取值范圍的要求，歸納出對數函數的底數的取值范圍.

第8課時：對數函數的圖象和性質

（1）經歷用類比的方法畫出對數函數的圖象，歸納出對數函數的性質；

（2）掌握對數函數的圖象與性質，初步學會用對數函數的性質解決簡單的問題；理解反

函數的概念.

第9課時：不同函數增長的差異

（1）結合具體的函數圖象，總結一次函數、指數函數、對數函數的增長差異.

（2）通過圖象，了解“直線上升”“對數增長”“指數爆炸”的含義.

第10課時：函數的零點與方程的解

（1）了解函數零點的概念；能夠結合具體的方程（如一元二次方程），說明方程的根、

函數零點、函數圖象與x軸的交點三著之間的關系；

（2）理解函數零點存在定理；了解函數圖象連續不斷的意義及作用，知道函數零點存在

定理只是函數存在零點的一個充分條件，了解函數零點可能不止一個；

（3）能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點的個數，及所在區間.

第11課時：用二分法求方程的近似解

（1）通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用

方法；

（2）能借助計算工具、信息技術用二分法求方程的近似解，從中體會函數與方程之間的

聯系及其在實際問題中的應用；

（3）通過讓學生概括二分法的思想和步驟，培養學生的歸納概括能力，培養學生探究問

題的能力、嚴謹的科學態度和創新能力.

第12課時：函數模型的應用（二）（1）：用函數模型解決實際問題

（1）會通過具體的函數模型分析實際問題；

（2）能夠對問題進行分析，建立合適的數學模型，并對不同數學模型的契合度進行比較，

擇優選擇。

第13課時：函數模型的應用（二）（2）：選擇函數模型解決實際問題

（1）能將具體的實際問題化歸為函數問題；

（2）能通過分析函數圖象及表格數據了解相應的對數函數、線性函數、指數函數的變化

差異，正確選擇合適的函數模型解決實際問題，提升數學抽象、數學建模等素養.

2.目標解析

4.1指數(〃次方根與分數指數累，無理數指數累及其運算性質)

達成上述目標的標志是：

(1)理解〃次方根的概念及其性質；通過探究得到質的性質；理解〃次方根與分數指

數毒的關系；掌握有理數指數幕的運算性質；通過“用有理數指數幕逼近無理數指數幕”思想

了解無理數指數累，體會其中的極限思想；

(2)通過具體的實例的歸納，由具體到抽象，由特殊到一般，理解分數指數事與〃次方

根的關系：分數指數幕是n次方根的一種表示形式，兩者是統一的.通過根式與分數指數累的

互化，鞏固、加深對于根式和分數指數募的理解；

(3)通過類比教材中的模式，觀察5夜的不足近似值和過剩近似值，進一步鞏固無理數指

數塞的概念，提升學生的邏輯推理和數學運算素養；

4.2指數函數(指數函數的概念，指數函數的圖象和性質)

達成上述目標的標志是：

(1)能結合教科書中游客增長的問題1和碳14衰減的問題2,通過運算發現其中具體的

增長或衰減的規律，并從中體會實際問題中的變量間的關系.在了解指數函數的實際意義的基

礎上，知道指數函數的含義和表示，清楚其定義域和底數。的取值范圍；

(2)能根據函數解析式或利用計算工具計算出指數函數的兩個變量的一些對應值并列表,

然后描點或利用信息技術畫出指數函數的圖象，或能根據函數解析式直接利用信息技術畫出指

數函數的圖象；結合函數圖象，歸納這些圖象的共同特征，探索并總結指數函數的單調性與特

殊點，并結合函數解析式驗證所總結的函數單調性和特殊點；

(3)結合指數函數的教學，體會"概念-圖象-性質”的研究具體函數的一般思路；在由

具體實例抽象為具體函數、再由具體函數概括為指數函數的過程，提升數學抽象素養；結合由

函數圖象直觀認識函數性質的過程，體會數形結合的思想方法，提升直觀想象素養.

4.3對數(對數的概念，對數的運算)

達成上述目標的標志是：

(1)通過與指數式比較，掌握對數概念及其性質的過程，培養學生歸納能力，提升數學

抽象核心素養；

(2)探究對數運算性質，體會“歸納-猜想-證明”是數學中發現結論、證明結論的完整

思維方法，讓學生體會回到最原始(定義)的地方是解決數學問題的有效策略.能通過例題與

習題的解答，鞏固所學的對數運算性質，通過運算能力，體會對數的實際運用，提升數學運算

素養.

4.4對數函數（對數函數的概念，對數函數的圖象和性質，不同函數增長的差異）

達成上述目標的標志是：

（1）從另一個角度繼續研究教科書中碳14衰減的問題，不僅得到對數函數的概念，還能

通過與指數函數的聯系更好地理解對數函數；

（2）學生類比研究指數函數圖象和性質的過程和方法，探究對數函數的圖象和性質；將

對數函數y=分為。＞1和0＜。＜1兩類進行歸納，體會數形結合的思想方法；

（3）學生能知道同底的指數函數與對數函數互為反函數，了解二者的定義域與值域的關

系；

（4）通過探究指數函數與一次函數的增長的差異，對數函數與一次函數的增長差異，理

解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”的含義.

4.5函數的應用（二）（函數的零點與方程的解，用二分法求方程的近似解，函數模型的

應用）

達成上述目標的標志是：

（1）理解函數零點的概念；通過“探究”觀察對應的二次函數在區間端點上的函數值

之積的特點，導出連續函數在某個區間上存在零點的判定方法.能通過例1的教學，引導學生

借助函數性質研究函數在某個區間是否存在零點,理解函數零點存在定理；能通過例2的教學

繼續探索用二分法求方程近似解的思路,體會用二分法求方程近似解的一般過程與思想方法；

（2）能明確教科書例3、4中的數量關系，能利用已知函數模型進行計算求解，從而解

決實際問題；能明確教科書例5中的數量關系，指出每個方案的函數模型，為將實際問題抽象

為數學問題并化歸為函數模型作準備；

（3）能從教科書中的例題條件出發，根據“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”的

含義，數形結合地辨別三種函數的增長差異，從而選擇不同的函數模型；

（4）在選擇或建立函數模型解決實際問題的過程中，圍繞“是什么數學問題”“選什

么函數模型”“為什么要選某個函數模型”“怎么解答實際問題”，提升學生的數學抽象和數

學建模素養.

三、單元教學問題診斷分析

指數函數和對數函數是兩類重要的基本函數.在第三章“函數的概念和性質”中研究函數

的一般方法的指引下，本大單元讓學生借助研究基函數的經驗，學習這兩類新的重要的基本初

等函數一一指數函數和對數函數，認識它們的變化規律，進一步理解函數的概念，并利用這兩

類函數建立數學模型解決實際問題.以下針對本大單元的教學問題診斷的分析做具體地闡述:

1.問題診斷

（1）4.1指數

學生在初中階段經歷了從正整數指數幕到整數指數幕的推廣過程，已經學習了整數指數幕

及其運算性質，積累了一定的數系擴充經驗，為本單元的學習奠定了一定的基礎.但學生往往

把注意力集中在具體運算上，對數系擴充的原則、指數幕的含義和運算性質等缺乏必要的關注，

而本單元的內容主要是“定規則”，著力點在指數事優指數x的范圍擴充后的意義，不僅抽象

而且邏輯性強，所以存在較大困難.

首先，學生不清楚從整數指數毒到有理數指數哥推廣的整體架構，這樣他們對從哪里入手

推廣、按怎樣的邏輯順序展開，每個環節如何實施才能做到邏輯嚴謹等都會比較茫然.也就是

說，學生對該做什么和如何做都不太清楚，從而造成被動學習.為了解決這個困難，教學中要

引導學生回顧從有理數到實數（主要是平方根和立方根）、正整數指數累到整數指數易的推廣

過程，通過適當的講解，為學生搭建適當的腳手架，使他們在適當的類比對象下展開學習，從

而增強學習的主動性.

其次，從根式的意義到有理數指數幕的含義的理解，其中涉及數學符號表達方式的轉換，

轉換要滿足等價性，其抽象性、邏輯性都很強，需要較強的代數思維和邏輯推理能力，這對學

生具有挑戰性.教學中要注意通過類比數系的擴充過程（特別是從整數到分數的擴充過程，先

引入分數單位，再定義分數的意義，然后研究分數的性質和運算等過程），通過具體實例引導

學生理解定義/二舊7的合理性，并按照教學定義的完備性要求，給出完整的有理數指數幕

的定義，從而建立起理解有理數指數辱含義的基礎.

第三，因為學生的運算技能、代數思維等方面的欠缺，他們在進行根式，有理數指數累的

運算等過程中，經常會出現錯誤.教學中要注意發揮這個內容在提升學生數學運算素養上的作

用，讓學生充分經歷從具體實例到運算法則的歸納過程，使他們在理解根式的意義、有理數指

數幕的含義基礎上，通過適當的從根式到分數指數幕的解題訓練，形成較好的運算技能.

第四，無理數指數惠的含義涉及數列的極限，具有構造性，也是本單元的一個學習難點.教

學時要注意借鑒初中階段用有理數夾逼無理數的經驗，通過信息技術手段提供直觀理解的支持,

幫助學生更好地體驗無理數指數基的唯一確定性.

（2）4.2指數函數

由具體實例抽象出指數函數的概念，不僅要能想到將問題1游客人次的變化用圖象直觀表

示，還要能結合圖象對已知數據進行運算后發現變化規律，并能根據問題1和問題2得到的兩

個解析式概括出統一的函數關系式丫=。'（。＞0且awl）.這些對學生思維能力的要求較高.教學

中，要給學生探索和發現的機會，并給予學生恰當的指導.在學生不能從問題1的數據中發現

游客人次的變化規律時，要多引導學生先根據已知數據作出圖象進行觀察，然后啟發學生對已

知數據進行運算，通過運算得到每年與上年旅游人次的比例為常數，從而結合圖象發現變化規

律的本質.這里，對數據進行哪些運算才有利于發現規律，是學生已有知識經驗中缺乏的，教

學中多引導學生注意“增加量”“增長率”的作用的強調.再引導學生分析問題2的碳14衰

減問題，進而引導學生發現概括出指數函數的概念，體會概念形成的過程.概念形成后，先讓

學生觀察其定義域的范圍；再拋出問題，引導學生結合定義域分析對底數。有何要求，最后通

過習題來強化學生對指數函數概念的理解.

在指數函數性質的學習過程中，盡管學生已經經歷過暴函數性質的學習，但那是在給定的

五個具體的函數基礎上進行不完整、不系統的歸納，而且嘉函數性質的學習自行選擇具體的函

數，必要時教師可引導學生利用信息技術進行探索，通過畫出底數。取大量不同值時的圖象,

發現并歸納函數的單調性；在探索的基礎上將大量所做的圖象分為增長和衰減兩類，利用信息

技術分別研究兩類圖象函數值的變化，從而歸納。〉1時函數單調增，0＜。＜1時函數單調減.

(3)4.3對數

首先，學生難以理解對數與指數符號之間的關系，在應用對數概念進行運算時，會出現符

號混亂的現象.這就要求教師在教學時首先要讓學生清楚指數式中哪個是指數，哪個是底數,

再思考對數式中真數是指數式中的哪部分，避免當題目換成其它字母時，學生就不清楚該如何

進行指對互化，其次對于對數的性質及零和負數沒有對數的理解，教師要引導學生思考，引導

學生與指數式進行聯系，并加以證明.

其次，熟悉對數運算法則，可以先類比指數運算法則對照記憶，然后再強化法則使用的條

件，提醒學生注意對數式中每個字母的取值范圍，最后還要讓學生認清對數運算法則可使高一

級的運算轉化為低一級的運算，從而簡化計算方法，加快運算速度，顯示對數計算的優越性.

(4)4.4對數函數

對數函數是高中階段學生學習的第三個基本初等函數，學生已經具備了較好的函數認知基

礎，且對函數的認識已達到抽象概括階段(高中及以后)，能脫離具體和直觀對象，進行抽象

化、符號化的概括與操作，即“集合對應說”.為幫助學生理解對數函數的概念，可從具體的

指數函數模型出發，例如，在碳14衰減問題中，由指數和對數的關系，容易根據死亡生物體

內碳14殘留量y經運算推理得到生物死亡時間x的關系式，但是反過來考慮，生物死亡時間x

是否為死亡生物體內碳14殘留量y的一個函數呢？從而引出函數的三要素，引導學生發現數

集AB的取值集合.為了說明函數的“集合對應說”，可引導學生畫函數

y=J-,xe［0,+8)的圖象，利用信息技術中的PPT的動態演示，一方面說明動直線y=%

取滿了"?0，1］，另一方面說明圖象與動直線始終有唯一交點.由動態圖展示讓學生很容易理

解》=108曲,)，,》?0,1］是滿足函數定義的任意性和唯一性這兩個關鍵要求.

V2

為了突破對數函數圖象的性質，同指數函數一樣，通過信息技術輔助畫出底數〃取大量不

同值時的圖象，發現并歸納函數的單調性；在探索的基礎上將大量所做的圖象分為對數增長和

對數減小兩類，利用信息技術分別研究兩類圖象函數值的變化，從而歸納。＞1時函數單調增，

0＜4＜1時函數單調減.

另外為了讓學生形象直觀的感受“指數爆炸”“直線上升”“對數增長”這些術語的含

義，可各個擊破，具體操作如下：先將指數函數與一次函數的增長作差異對比，借助信息技術

的作圖軟件，逐步調節單位1的長度，學生直觀感受這兩個函數的增長差異越來越明顯，這正

說明了指數函數的增長由慢變快且越來越快的爆炸性增長的特點；再將對數函數與一次函數的

增長作差異對比，同樣地，借助信息技術的作圖軟件，逐步調節單位1的長度，學生亦能直觀

感受這兩個函數的增長差異越來越明顯，這也正說明了對數函數的增長由快變慢且越來越慢的

對數增長的特點.

(5)4.5函數的應用(二)

函數的內部應用，函數的零點的定義直接類比二次函數零點的定義，沒有必要作多余的解

釋，結合具體的函數，推導出一般函數零點的概念并得到相應結論.對于函數零點存在定理的

導出，可結合具體的二次函數的零點(變號零點)附近處，結合數形結合發現有下面結論：/(x)

穿過x軸=/(a)/(b)<0,然后要求學生利用這一結論盡可能多地畫出函數/(x)的圖象，不妨令

/⑷<0,/俗)>0時，畫/(x)的圖象，結合學生的作圖情況可以發現此時/(X)有零點(可以不止

一個)，從而形成函數零點存在定理.接下來，就是理解定理了，引導學生充分抓住定理中的

關鍵信息：“連續”、和“至少有一個”，對于前兩個關鍵詞，教師需要求學

生自己親自動手嘗試畫出“不連續”、"/(.)/b)>0”的圖象情況，從而了解到零點存在定理

是函數有零點的充分條件，而非必要條件.對于最后一個關鍵詞，可以結合前面定理的導出時，

學生的作圖情況以及教師適當的補充，充分理解函數零點存在定理無法準確判斷零點的個數問

題.對于零點的個數問題，教師需利用好“例1”的教學，引導學生的發現單調性的加入可以

間接判斷函數零點的個數，從而形成零點存在且唯一定理.值得注意的是，同樣地，函數零點

存在且唯一定理也是函數有唯一零點的充分條件，而非必要條件.

用二分法求方程的近似解的難點是二分法的原理和思路，以及算法思想.為突破二分法的

原理，可引導學生作圖，直觀感受“穿根”和“不穿根”在圖象上的區別，進而轉化為數學語

言，即代數式上的差異，明確“穿根”才可以使用二分法.對于二分法思路的突破，可按照“求

方程近似解一一求函數的零點一一縮小區間逼近零點一一二分法”的過程展開，重中之中就是

如何縮小區間，反復檢驗端點的函數值是否異號，如此一來，自然會涉及到算法的優化，所以

需要程序化來體現算法思想，讓學生通過二分法的學習，體會按照明確步驟解決問題的重要性.

函數的外部應用，首先，學生在此之前已經結合實例學習了幾類函數的概念、圖象和性質，

并應用它們解決學科內的一些問題和一些簡單的實際問題.但是面對較復雜的實際問題，如何

將其轉化為數學問題，特別是如何選擇函數模型來刻畫實際問題，大多數學生既缺乏這方面的

經驗，也缺乏數學抽象的能力，以及對不同函數模型增長差異的深刻認識.教學時可以多從以

下兩方面幫助學生克服困難：一是根據實際問題的條件建立等量關系，從而將實際問題抽象為

數學問題；二是從數和形出發，定性和定量地分析實際問題的變化規律，從而選擇合適的函數

模型；其次，在利用函數模型解決問題的過程中，大多數學生還沒有養成利用信息技術根據函

數模型進行運算求解的良好習慣.在教學中，可以鼓勵學生使用信息技術進行復雜的運算求解,

畫圖列表，多元聯系地表示數學對象并分析問題，從而逐步形成利用信息技術研究實際問題的

意識.

2.教學難點

(1)4.1指數：建立指數累的推廣的整體架構；根式性質的理解；分數指數幕的理解、

有理數指數募的運算性質及用有理數指數幕逼近無理數指數毒.

(2)4.2指數函數：指數函數概念的形成過程，將實際問題轉化為數學模型；描點法畫指

數函數圖象，并抽象概括出指數函數的單調性.

(3)4.3對數：對數概念的理解，指對數互換；利用指數的運算性質推導出對數的運算

性質和換底公式.

(4)4.4對數函數：對數函數概念形成的邏輯推理；對數函數性質的歸納；對“指數爆

炸”“直線上升”“對數增長”的理解

(5)4.5函數的應用(二)：函數的內部應用，函數零點存在定理的導出和定理中的關

鍵詞的理解，用二分法求方程的近似解的思路和算法；函數的外部應用，用函數建立數學模型

解決實際問題的基本過程.

四、教學支持條件分析

(1)4.1指數：

通過計算工具計算、展示及,5無等的不足近似值和過剩近似值夾逼血,50的過程，并利

用幾何畫板在數軸上進行動態演示“不足近似值”和“過剩近似值”的對應點，發現這些點逼

近一個確定的點，其對應的數就是這個無理數指數基.由此讓學生學會其中的極限思想，并從

數和形兩個角度認識到5&是一個確定的實數，進而理解無理數指數累.

(2)4.2指數函數：

利用信息技術中的Excle、函數作圖等軟件工具進行計算、列表和作圖，以便于多元聯系

地表示指數函數，幫助學生克服學習中可能遇到的困難，更好地理解指數函數的概念和性質.

在指數函數的概念的教學中，利用信息技術可以很方便地將問題1中表格的數據轉化為圖象，

由圖象直觀地發現旅游人次的整體變化情況；然后利用信息技術對這些數據進行計算，通過計

算揭示圖象蘊含的變化規律的本質.在指數函數圖象和性質的教學中，利用信息技術可以進行

多種方式的研究，比如任意作出大量需要的函數圖象，通過觀察圖象歸納出不同圖象的共同特

征，進而抽象出函數的性質；又如建立函數的圖象和數表的聯系，通過跟蹤圖象上的點，數形

結合地發現函數的圖象特征和性質.

(3)4.3對數:

在說明自然對數e的時候，可以利用信息技術中Excle計算當?=1,2,3,10,100,1000,10000,

100000,…時，對應的+的值，從而發現其數值增長越來越慢.同時結合信息技術中幾何

畫板作出函數y=圖象，直觀感受這一變化規律，同時還發現當+8時，fl+4'

-＞定值，從而引入自然對數e.

(4)4.4對數函數:

在說明x=log^y,ye(0,l]是滿足x是關于y的一個函數時，應當充分利用信息技術中的

PPT的動態演示功能，在畫出函數y=[0,yo)的圖象后,一方面要說明動直線

取滿了乂另一方面還要說明圖象始終與動直線有唯一交點.由動態圖展示讓學生很容

易理解X=10gs“而是滿足函數定義的任意性和唯一性這兩個關鍵要求.

在描點畫對數函數圖象時，為了便于概括對數函數的性質，可以結合信息技術中的幾何畫

板來處理.一方面，計算函數y=k)g2x的自變量取值及其對應的函數值并列表，然后將所得有

序實數對描點并畫出函數的圖象，同理，作出函數y=log,x的圖象，跟蹤函數y=log2X圖象上

2

的點，觀察這些點關于X對稱的點，發現所有的對稱點均在函數y=log〃的圖象上，并由相互

對稱的點的坐標關系分析函數y=1。82工與y=log,x的關系；另一方面，在同一平面直角坐標系

2

內畫出。取任意值時函數y=log〃x的大量圖象，可以設置。的取值，然后通過控制。的連續變

化展示對應函數圖象的分布情況；還可以逐個地取。的值，然后分別作出對應函數的圖象.

對于同底的指對數函數互為反函數的教學，同樣可以結合幾何畫板來處理，在同一直角坐

標系中，畫出指數函數y=2*和對數函數y=log2X,跟蹤函數y=2,圖象上的點，觀察這些點關

于y=x對稱的點，發現所有的對稱點均在函數y=1。心》的圖象上；同理，再選取底數為3、4

等的指對數函數，仍發現有同樣的結論.由此歸納出指數函數y=a'和對數函數y=log“x關于

y=x對稱，即互為反函數，最后再通過控制a的連續變化檢驗這兩個函數圖象的對稱情況.

在不同函數增長的差異一節中，信息技術起到至關重要的作用，可考慮從數和形這兩個不

同的角度分別體會函數的增長差異.通過Excel中表格的數據和作圖功能的圖象，以數形相結

合體現各個具體函數之間增長變化的差異.另外，還可以設置a,b,z的取值，利用幾何畫板中的

控制按鈕控制的連續變化展示對應函數)，=優,丫=1物2=丘的圖象的增長變化情況，以

說明參數的大小不影響函數間的增長速度的快慢，從而準確地理解“指數爆炸”“直線上升”

“對數增長”術語的含義.

(5)4.5函數的應用(二)

函數的內部應用，研究函數的零點問題的一種主要的思想方法就是數形結合，探究途徑是

特殊到一般，在教學過程中需要利用GeoGebra,Excel,圖形計算器等統計軟件來處理數據，畫

出函數圖象.在二分法的教學中，可融入信息技術，突出它的作用：一是利用信息技術作出函

數圖象，幫助學生直觀地確定函數零點所在區間；二是信息技術為學習二分法提供了快速計算

的工具，有助于提高運算的效率，減少人為重復的運算；三是信息技術為學習二分法提供了驗

證的工具，有助于檢驗結論的正確性.

函數的外部應用，為了幫助學生克服選擇實際問題的函數模型，并利用所得函數模型解決

問題的困難，教學時應用充分利用信息技術的計算、作圖、列表等功能，處理實際數據、便捷

地求解，讓學生將主要精力投入到定性和定量地分析問題上，針對不同函數模型動態地研究其

變化規律.

五、課時教學設計

第1課時

1.課時教學內容

4.1.1n次方根與分數指數累

2.課時教學目標

（1）理解〃次方根與根式的概念，掌握分數指數累和根式之間的互化；

（2）掌握分數指數幕的運算性質.

3.教學重點與難點

重點：根式的概念；分數指數易的概念；掌握并運用分數指數暴運算性質；

難點：建立指數幕的推廣的整體架構；根式性質的理解；有理數指數事的運算性質.

4.教學設計

教教學內容師生互動設計意圖

學

環

節

引1、71次方根式教師通過

入【溫故】我們知道，如果尤2=%那么尤叫做a的平方根.例如，±2就引導學生復習方

新是4的平方根.如果/=a＞那么x叫做a的立方根.如2就是8的立方根.類比平方根，導出

課類似地，由于（土2尸=16,我們把±2叫做16的4次方根.根、立方本節課的

【知新】一般地，如果/=a，那么％叫做a的幾次方根，其中，n根的概研究對

>1,且11￡1^*念，自主象，使學

得出n次生明確學

方根的概習目標，

念并利用之

前學習形

成的思維

習慣，引

導學生進

一步觀

察、研究

新2、ri次方根的性質類比通過

課（1）當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是平方根和熟悉的特

探一個負數.這時，a的n次方根用符號版表示.立方根從例，加強

究例如牛32=2,V-32=-2,Va6=az.n為偶數對根式的

和n為奇理解，引

（2）當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數.數兩個方導形成根

這時，正數a的n次方根用孤表示，負的n次方根用-班表面討論n式的相關

示.兩者也可以合并成土質.次方根的性質.

例如16的4次方根有兩個，分別是:石=2和—V訪=一2.性質.

（3）負數沒有偶次方根.

（4）0的任何次方根都是0,記作9=0.

3、根式

式子班叫做根式，其中n叫做根指數，a叫做被開方數.

【思考】觀察（詼）”和

府，你認為他們所代表的的含義是等價的嗎？為什么？

（Va）?l=a如：（石＞=5,（V4）6=4

（次/=2,（g）5=-3

nr-a..fa,n為奇數

1一珥n為偶數

如：V?=2,^（-3）5=-3,海=0

濘=2,,（-3）6=3,海=0

通過

例1求下列各式的值：從具分n為奇

⑴〃一8尸；(2)J(—10)2;體的例子數和偶數

(3)V(3-7i)4；(4)J(a—b)2總結府兩種情況

和（眄然討論，進

的本質，一步理解

從而得出n次方根

辨析結果的概念，

4、分數指數黑結論形成嚴謹

【探究】根據〃次方根的定義和運算，我們知道Wa1°=）（。2）5=。2=的分類思

aJ(a>0)想，提升

邏輯推理

Va12=^/(a3)4=a3=a~^(a>0)

學生的核心素

即當根式的被開方數(看成寡的形式)的指數能被根指數整除時，根式

自主完成養

可以表示成分數指數寨的形式.

后老師請

【思考】當根式的被開方數的指數不能被根指數整除時，根式是否也能表示為分

學生口述

數指數箱的形式？

解題過程

事實上，任何一個根式都可以表示為分數指數呆的形式，例如：

or2__14/5通過練

Va2=a3(a>0),4b=成(b>0),Vc^=cl(c>0).

___m習，鞏固

一般地，冒布