學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精第7課時空間向量在立體幾何中的綜合應用基礎達標(水平一)1。若AB=λCD+μCE，則直線AB與平面CDE的位置關系是（）.A。相交B.平行C。在平面內 D。平行或在平面內【解析】∵AB=λCD+μCE,∴AB,CD，CE共面,則AB與平面CDE的位置關系是平行或在平面內。【答案】D2。設直線l與平面α相交,且l的方向向量為l，α的法向量為n,若l與n所成的角為2π3,則l與α所成的角為(A。2π3B.π3C。π【解析】設所求的線面角為θ，則θ與〈l,n〉的關系為θ=π2-<l,n〉（<l，n〉為銳角)或θ=<l,n〉—π2(〈l，n〉為鈍角）.故l與α所成的角為2π3—【答案】C3.如圖,在邊長為a的正三角形ABC中，AD⊥BC，沿AD將△ABC折起，若折起后B,C兩點間的距離為a2，則二面角B—AD—C的大小為（）A。30° B.45° C。60° D。90°【解析】由題意可知折疊后二面角B—AD-C的大小即為∠BDC的大小,而△BDC是正三角形,故所求角為60°.【答案】C4。在下列命題中:①若a,b為共面向量，則a，b所在的直線平行;②若向量a,b所在的直線是異面直線,則a,b一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它們都是平行的；④平行于一個平面的向量垂直于這個平面的法向量。其中正確命題個數是（）。A。1 B.2 C。3 D。4【解析】①②是錯誤的，共面向量所在的直線不一定平行，只要能平移到一個平面內就可以.【答案】B5.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD—C，有如下四個結論:①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形;③AB與平面BCD所成的角為60°；④AB與CD所成的角為60°.其中正確結論的序號是.

【解析】取BD的中點O,連接AO，CO,則AO⊥BD，CO⊥BD.∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC,∴AC⊥BD.故①正確。∵AC=2AO=AD=CD,∴△ACD是等邊三角形.故②正確。易知∠ABD是AB與平面BCD所成的角，應為45°.故③錯誤。∵AC=AB+BD+DC（設AB=a），∴a2=a2+2a2+a2+2·a·2a·-22+2a·2a·-22+2a2cos<AB∴cos〈AB，DC>=12∴AB與CD所成的角為60°.故④正確.【答案】①②④6。在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°，∠BAC=30°，且BC=1，AA1=6,M為CC1的中點,則cos<AB1,A1M【解析】以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系，則點A1(3,0,6），M0,1，62,A(3，0,0），B1(0，0,6），所以A1M=AB1=(-3，0，所以A1M·AB1=-3,1,-62·所以A1M⊥AB1，cos<【答案】07。如圖，在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形,PD=DC,E，F分別是AB,PB的中點.（1）求證：EF⊥CD。（2)在平面PAD內求一點G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結論。（3）求直線DB與平面DEF所成角的正弦值.【解析】以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(如圖)，設AD=a，則點D(0，0，0），A(a,0,0），B(a，a,0),C(0,a，0)，Ea,a2,0,Fa2,a2,（1）∵EF·DC=-a2,0,a2·（0∴EF⊥DC.（2)設點G(x,0，z），則FG=x-FG·CB=x-a2,-a2,z=ax-a2=0,FG·CP=x-a2,-a2,z=a22+az-∴點G的坐標為a2,0,0，即(3)設平面DEF的法向量為n=（x，y，z).則n·DF取x=1,則y=-2，z=1,∴n=（1，—2,1）。cos〈BD,n〉=BD·n|BD||∴直線DB與平面DEF所成角的正弦值為36拓展提升(水平二)8.如圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E是棱AB的中點,則點E到平面ACD1的距離為(）。A。12 B.22 C.1【解析】如圖，以D為坐標原點，直線DA,DC，DD1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系，則點D1（0，0,1)，E（1,1,0），A（1，0，0)，C（0,2，0），所以D1E=(1，1，-1）,AC=(—1,2,0),AD1=（-1,0設平面ACD1的法向量為n=（a,b,c）,則n·AC=0,令a=2,則n=(2，1，2)。所以點E到平面ACD1的距離為d=|D1E【答案】C9。如圖，已知平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形,且AF=12AD=a,G是EF的中點,則GB與平面AGC所成角的正弦值為（）A.66 B。33 C.63【解析】如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則點A（0,0，0），B(0,2a，0),C(0，2a,2a），G（a,a,0），F（a,0,0)，所以AG=(a，a,0），AC=（0,2a,2a),BG=(a,-a,0),設平面AGC的一個法向量為n1=（x1，y1，1）,則由AG·n1=0所以n1=(1，-1,1）。設GB與平面AGC所成的角為θ,則sinθ=|BG·n1|【答案】C10.在空間直角坐標系中，定義:平面α的一般方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C，D∈R,且A，B，C不同時為0)，點P（x0，y0，z0)到平面α的距離為d=|Ax0+By0+【解析】如圖，以底面中心O為原點建立空間直角坐標系,則點A（1,1,0),B（—1，1,0），P(0,0,2）,設平面PAB的方程為Ax+By+Cz+D=0,將以上三個坐標代入方程，解得A=0,B=—D,C=—12D∴—Dy—12Dz+D=0,即2y+z—2=0∴d=|2×0+1【答案】211。如圖,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,且DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.（1)求證:AC⊥平面BDE.（2)求二面角F—BE—D的余弦值.(3）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結論。【解析】(1）因為DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.又因為ABCD是正方形,所以AC⊥BD。又因為BD∩DE=D，所以AC⊥平面BDE。(2）因為DA,DC,DE兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz。因為BE與平面ABCD所成的角為60°,即∠DBE=60°,所以EDDB=3.由AD=3可知DE=36，AF=6則點A(3,0，0）,F（3，0，6）,E(0，0,36)，B（3，3,0),C（0,3,0),所以BF=(0,—3,6），EF=（3，0,-26),設平面BEF的法向量為n=（x,y，z)，則n·BF令z=6,則n=（4，2,6)。又因為AC⊥平面BED，所以CA為平面BDE的一個法向量，CA=（3，—3，0）,所以cos<n，CA>=n·CA|n||又因為二面角F—BE—D為銳角，所以二面角F-BE—D的余弦值為1313(3）因為點M是線段BD上一個動點，所以可設點M(t,t，0),則AM=(t-3，