講題比賽講稿各位領導、各位老師，大家下午好！我們組所講的題目是：數列1、1、2、3、5、8、……，從第三項起,每一項都是前兩項之和。問這個數列中的第2022項除以5的余數是多少?下面我將從：題目背景、題目解法、題目變式、知識拓展、反思收獲幾個方面進行我的講題。一、題目背景本題所涉及的數列其實就是數學上著名的斐波拉契數列。此數列又因數學家昂納多.斐波拉契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數列”。一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子。如果所有的兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對兔子分析一下：第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對；兩個月后生下一對小兔子，兔子總對數變為2；三個月后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是3對，依次類推可以列出下表：月數成兔對數幼崽對數兔子總對數1011101211232134325553868513........................可以看出成兔對數、幼崽對數和兔子總對數分別構成了一個數列，這三個數列都有十分明顯的特點，那就是：前面相鄰兩項之和，構成了后一項。這個數列在斐波拉契的《算盤全書》中提出，這個級數的通項公式（又叫：比內公式）是：此題的解法解法一：正是因為有了這個通項公式，所以看到此題，我的腦海中的第一反應就是：使用公式，直接計算，但數字太大，計算起來太困難，除非借助計算器。此時想到華羅庚先生說過的一句話：“以退為進，善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我們容易看清問題的地方。”于是，我做了以下試驗，也就是解法二：我計算出了前20項除以5的余數：分別是1、1、2、3、0、3、3、1、4、0......。進行到第21個、22個時我就欣喜了，1、1重復出現了，帶著驗證的心里我又計算了接下來的幾個數1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、2、3、0、3、3、1......進行到這里啊，相信大家跟我一樣，都看出來了周期就是20.利用周期函數的特點，2022除以20等于100組余13個，所以第2022項的余數就跟第13項的余數一樣，都是3.方法三講解：既然余數呈周期性有規律的出現，那是不是可以只看余數來找出其中的規律呢？由于斐波拉契數列具有這樣的規律：從第三項起，每一項都是前兩項的和。于是猜想：余數是不是也具備這樣的規律：從第三項起，每一項都是前兩項的和除以5的余數。例如：13，21除以5的余數分別是3和1，所以后一項（13+21）除以5的余數正好等于3+1=4。是巧合嗎？不是！我們可以證明：設A1、A2是兩個相鄰的斐波拉契數，則A1÷5=B1.....C1，A2÷5=B2.....C2，（A1＋A2）÷5={（5B1+C1）+（5B2+C2）}÷5=N＋（C1＋C2）÷5，A1＋A2的和除以5的余數就是C1＋C2的和除以5的余數，于是只要通過寫出前幾項的余數，可以根據這一規律寫出前20項余數，利用方法二的方法同樣可以找到周期是20，用2022÷20=100（組）……13（個），所以第2022項除以5的余數是3。變式接下來，我對此題進行了一些變式：變式一：問題數據的變化將除數5換成其他的正整數，于是得到如下結果可是當除數不斷變大，也就是斐波拉契數列被任何一個正整數除，它的余數都會存在周期嗎？如果余數都有周期，那這些周期又有什么樣的規律呢？前期我們組的李老師已經做了很多研究工作，下面有請本組的李老師來為大家做講解。（李老師上臺講解）變式二：數列規律的變化改變后的數列它被正整數除的余數是否仍然存在周期呢？數列1，2，4，7，11，16，…，其中第二個數比第一個數多1；第三個數比第二個數多2；第四個數比第三個數多3；以此類推，那么第2022個數除以5的余數是幾？解析：按1、2、4、2、1這五個數循環出現。2022÷5=401（組）……4（個）所以，第2022個數除以5的余數是2。神奇的斐波拉契數列斐波拉契數列還有哪些神奇之處呢？我們一起來欣賞逼近黃金分割.越往后面，前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割。數的平方美。A.如圖所示，前后兩項數平方后相加，所得結果依舊依舊是斐波拉契數列中的數，并且成“跳躍式”出現。B.如圖，這是一個邊長為1的正方形，它的面積是1，同樣這也是一個邊長為1的正方形，它的面積也為1.新加入一個邊長為2的正方形，面積為4。這3個正方形的面積和：1+1+4=6，拼成一個長方形，面積也可以表示為：2×3。新加入一個邊長是3的正方形，面積是9.這4個正方形的面積和為：1+1+4+9=15，拼成一個長方形，面積也可以表示為：3×5，。同樣的，加入一個邊長為5的正方形，邊長為8的正方形。觀察這幾個算式，神奇的斐波拉契數列又出現了。生活中的運用建筑中對斐波拉契螺旋曲線的極致運用、人類的臉部輪廓。飽受好評的《瑯琊榜》等電影，場景之美，也宛若一條斐波拉契線條。反思收獲今天雖然是由我來進行講題，但卻是代表了我們全組老師共同的心血，前期我們組每個老師在師傅的指導下進行了精心的準備、試講、討論、修改到最后的定稿，是我們全組老師共同的結晶。通過這次講題比賽，我們收獲了：1.解題的樂趣；（數學老師就要會做題、多做題，孩子們在解決一道問題之后獲得的數學成就感是其它獎品不能替代的）2.解題方法的選擇；（碰到難題時，不要強行推進，有時候后