課時同步練

4.2.2等差數列的前〃項和(1)

一、單選題

1.記等差數列的前〃項和為S,,,若邑=4,54=2(),則該數列的公差［=()

A.2B.3C.6D.7

【答案】B

【解析】（S4-S2）-S2=（4+%）一（4+生）=4d=12nd=3.

故選B

2.若數列｛”“｝的前〃項和5“=〃2—1,則“4等于（）

A.7B.8C.9D.17

【答案】A

［解析］4=S4-S3=15-8=7,

故選A.

3.在等差數列｛/｝中，若d=2,$5=55,則%為（）

A.5或7B.3或5-1C.7D.5

【答案】C

5x4

【解析】Ss=5q+=x2=55,,解得4=7,

故選C.

4.已知等差數列｛4｝的前n項和為S.,若E0=90,%=8,則為=()

A.16B.12C.8D.6

【答案】D

【解析】,**Sio=9O=(〃i+〃io)x—=(的+a)x—,的二8,

22

:.676=10

ci4=2as-。6=6

故選D.

5?“嫦娥”奔月，舉國歡慶.據科學計算運載“嫦娥”飛船的“長征3號甲”火箭，點火1min內通過的路程為2

km,以后每分鐘通過的路程增加2km,在到達離地面240km的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程大

約需要的時間是（）

A.10minB.13minC.15minD.20min

【答案】C

［解析】根據題意分析可以知道,這是一個首項為2，公差為2的等差數列，即〃?2+仆T）-2=240,

2

解得〃=15,

故選C.

6.一個凸多邊形的內角成等差數列，其中最小的內角為120。,公差為5。,那么這個多邊形的邊數n等于（）

A.12B.16C.9D.16或9

【答案】C

【解析】依題意可知，凸多邊形的內角成等差數列,

故內角和為〃?120°+△——L-502)-180S解得〃=9或〃=16.

2

由于內角小于180,所以120+（〃-所以〃=9,

故選c

7.某運輸卡車從材料工地運送電線桿到500m以外的公路，沿公路一側每隔50m埋一根電線桿，又知每

次最多只能運3根，要完成運載20根電線桿的任務，最佳方案是使運輸卡車運行（）

A.11700mB.14600mC.14500mD.14000m

【答案】D

【解析】由于總的任務量20是固定的，每次最多運3根，所以有2根是單獨的，必須第一趟運送.每次

來回行走的米數構成一個等差數列，記為4,貝Uq=1100,。=300,〃=7,所以

7x6

S=7x1100+——x300=14000,

72

故選D.

8.一個等差數列共有2n+l項，其奇數項的和為512,偶數項的和為480,則中間項的值為（）

A.30B.31C.32D.33

【答案】C

【解析】中間項為?！?「因為5奇=也等1（〃+1）=（〃+1”用=512,

5偶=%；生",〃=〃?/+]=480,所以4向=S奇—S偶=512—480=32.

故選C.

9.已知｛%｝是等差數列，公差丘0,設=q+/+…+4,則在數列｛"｝中（）

A.任一項均不為零B.必有一項為零

C.至多一項為零D.沒有一項為零或無窮多項為零

【答案】C

【解析】因為已知｛%｝是等差數列，公差dHO,設S“=q+4+…+4,

d

所以S“=q”+

2I2

因為4x0,令S“=0即+fq-d=0解得〃=0或〃=1一生■,

2I2Jd

當1一一*21,即一&〈。時｛S,｝存在一項為零，當一，＞0時，｛"｝不存在為零的項,

aaa

故選C

10.在等差數列｛%｝中，q+/+…+60=200,。51+%+…+4oo=2700,則一等于（）

A.-1221B.21.5C.-20.5D.-20

【答案】C

【解析】由于數列｛q｝是等差數列，所以由?5l+fl52+---+a10O=2700,

50a,+50x49J=200

得’2”'c，解得％=-20.5,4=1.

snx49

50（q+50d）+--d=2700

2

故選C.

11.設s“是等差數列｛4｝的前"項和，已知S6=36,S“=324,S,_6=144（〃>6）,那么”等于（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】C

（解析】因為S,是等差數列｛4｝的前”項和,$6=36,S”=324,S“_6=144,

所以S6+（S「S-6）=36+324—144=216,即6（4+4）=216,所以4+%=36,

又S"="（4；""）=324,所以〃=18.

故選c

12.把正整數下列方法分組：(1),(2,3),(4,5,6)..其中每組都比它的前一組多一個數.設S“

表示第n組中所有數的和，那么S21等于()

A.1113B.4641C.5082D.53361

【答案】B

【解析】因為第〃組有肛個數，

所以前20組一共有1+2+3+…+20=210(個)數，

所以第21組的第一個數為211,這一組共有21個數，

21x20

所以星|=21x211+—--xl=4641,

故選B.

二、填空題

13.在數列｛凡｝中，若％=5,an+l=an-2,則它的前〃項和S.=.

【答案】一〃？+6〃，neN*

【解析】q=5,aH+i=a?-2

an+\~an=-2

所以數列為首項q=5,公差為d=-2的等差數列.

S,,=5“+水〃_1)*(_2)

“2

S..=6/t-iv

故填一〃2+6〃,〃eN*.

14.在等差數列｛4｝中，已知a$=7,S5=15,則%+%2+???+/（）=.

【答案】3840

4=4+4d=7

【解析】依題意得《二J?，解得4=-1/=2,故%=2〃-3,

S5=5q+10a=15

30x29

故。51=99,所以原式=30見1+—^x2=30x99+30x29=3840.

故填3840

15.在等差數列｛%｝中，。3+%-。10=8,。||一。4=4,記S”=%+。2+…+。“，則Sj3等于

【答案】156

【解析】依題意，

60

%+%—60=8=8

%-4=4，、[7d=4'"

,7

。13x126013x124，入

..S[3=13alH---------dJ=13x----1---------x—=156.

13'2727

故填156.

16.己知數列｛4｝的通項公式a”=11一2〃,號小同+同+…+⑷，則$=.

【答案】50

【解析】由凡=11-2〃20,得

數列｛%｝的前5項為正數，從第6項起為負數,

又由a”=ll—2〃，得％=9,a“+1—a”=11-2(〃+1)—11+2〃=—2,

二數列｛4｝是首項為9,公差為-2的等差數列.

則S”—H"』=(q+4—*■4)-(&+%—'■。處)

=—(q+劣+?■?+tZ|Q)+2(q+￡/2+,,,+火)

(10x9x(-2)>|(5x4x(-2)、

=-$+2s5=-10%+一—+25q+一尸

I2)\27

=-(10x9-90)+2(5x9-20)=50.

故填50.

17.等差數列｛4｝的前八項和為S“.若S”)TOO,，?=10,則S“o=.

【答案】-110

【解析】山題意，設等差數列的公差為d,因為，0=100,$00=10,

]0x9

10a+-----d=100

'2109911

所以《,解得a1=

100x9910050

100a,+d=10

2

-…0,,八110x109,,,八1099110x10911一八

所以Sm=11°q+--------d=110x----------------X一=-110.

11012100250

故填-110

18.等差數列｛aj中,a?>0,〃eN*,+。7a68a9+。8a6=16，則幾=

【答案】28

［解析】因為數列｛q｝為等差數列，則

a7ag++4洶+=aAa6+。9)+。8(。6+%)=(%+%)(。6+%)=脂，

又%+%=4+。9，所以(%+/)2=16

又4>0,所以%+。8=4,

所以=14x(q+g)_14(%+/)

S|4=28,

22

故填28.

三、解答題

S3

19.已知等差數列｛%｝中，a[=~,S“=-5,an=--,求〃與d的值.

62

【解析】由于數列｛4｝是等差數列,

n(n-\]

+——1=—5

2

3

故，4+(n—1)J=——,解得力=15,

5

20.(1)等差數列｛《,｝前〃項和為S“，求證：S2?_]=(2n-l)a,1；

(2)等差數列｛4｝、｛〃｝的前〃項和分別為S“和T“，若今=W[，求去的表達式.

【解析】(1)等差數列生前〃項和為S,,設首項為生公差為d,

a“=4—；

a2n_1=q+(2H-1-1)J=a1+2(〃-\)d,

2/7-1

$2"-1=[4+，+2(〃-1)典[a]+(n—l)d](2〃-1)=(2n-V)an

2

???S2"T=(2〃-1)%成立.

Sn2n

(2)

由（1）得星”]=（2〃-l）a”,

$2“_](2〃-1)?！?”—22〃—1

-7^7"(2n-l)/??-6n-3+l-3/?-l

.%=2/1-1

'bn3〃-1

21.設％,d為實數，首項為q,公差為”的等差數列｛4｝的前〃項和為S“，滿足￡^6+15=0。

(1)若S5=5,求Sf及1；

（2）求d的取值范圍.