數(shù)值分析線性插值與二次插值公式第一頁，共十八頁，2022年，8月28日引例1.正弦函數(shù)

sinx的計(jì)算問題2/18(1)線性函數(shù)逼近

y0=x(2)泰勒級數(shù)逼近

y1(x)=x–x3/3!+x5/5!(3)拋物線逼近

y2=4x(π–x)/π2第二頁，共十八頁，2022年，8月28日(1)復(fù)雜函數(shù)的計(jì)算;(2)函數(shù)表中非表格點(diǎn)計(jì)算(3)光滑曲線的繪制;(4)提高照片分辯率算法(5)定積分的離散化處理;(6)微分方程的離散化處理;(7)積分方程的離散化處理;插值方法的應(yīng)用:3/18第三頁，共十八頁，2022年，8月28日引例2.誤差函數(shù)x00.50001.00001.50002.00002.50003.0000y00.52050.84270.96610.99530.99961.0000當(dāng)

x∈(0.5,1)時(shí)當(dāng)

x∈(1,1.5)時(shí)4/18第四頁，共十八頁，2022年，8月28日已知f(x)在點(diǎn)xi上的函數(shù)值

yi=f(xi),(i=0,1,2,···,n)則稱

P(x)為

f(x)的

n次代數(shù)插值多項(xiàng)式.稱

x0,x1,······,xn為

插值結(jié)點(diǎn);

稱

f(x)為被插值函數(shù).如果

P(x)=a0+a1x+···+anxn滿足:P(xk)=yk(k=0,1,…,n)設(shè)

f(x)∈C[a,b],取點(diǎn)

a≤x0＜x1＜···＜xn≤b代數(shù)插值問題插值函數(shù)插值條件5/18第五頁，共十八頁，2022年，8月28日點(diǎn),則滿足插值條件

P(xk)=yk(k=0,1,…,n)的n次插值多項(xiàng)式

P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且是唯一的。證明:由插值條件P(x0)=y0P(x1)=y1··············P(xn)=yn定理5.1若插值結(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn

是(n+1)個(gè)互異6/18第六頁，共十八頁，2022年，8月28日方程組系數(shù)矩陣取行列式故方程組有唯一解.從而插值多項(xiàng)式P(x)存在而且是唯一的.例5.1已知誤差函數(shù)在四個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值

x0 0.6000 1.2000 1.8000Erf(x)

0 0.6039 0.9103 0.98917/18第七頁，共十八頁，2022年，8月28日構(gòu)造3次多項(xiàng)式P(x)逼近

Erf(x)設(shè)P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令

P(xk)=Erf(xk)得求解,得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以,P(x)=1.293x–0.5099x2+0.0538x38/18第八頁，共十八頁，2022年，8月28日x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x';y=y';A=[ones(4,1)xx.^2x.^3];p=A\y;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;plot(x,y,'o',t,u)MATLAB數(shù)值實(shí)驗(yàn)9/18第九頁，共十八頁，2022年，8月28日過兩點(diǎn)直線方程求滿足:

L(x0)=y0,L(x1)=y1的線性函數(shù)

L(x)已知函數(shù)表

x

x0x1

f(x)y0

y1例求的近似值六位有效數(shù)10.723810/18第十頁，共十八頁，2022年，8月28日記當(dāng)x0≤x≤x1時(shí)0≤l0(x)≤1,0≤l1(x)≤1x

x0

x1l0(x)10l1(x)01[y0

y1]=[10]y0+[01]y1線性插值函數(shù)的對稱形式11/18第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日二次插值問題x

x0x1x2f(x)y0

y1

y2已知函數(shù)表求函數(shù)

L(x)=a0+a1x+a2

x2滿足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L(x2)=y2[y0

y1

y2]=[100]y0+[010]y1+[001]y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，12/18第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日二次插值函數(shù):L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，x x0 x1 x2l0(x) 1 0 0l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x) 00 1L(x) y0 y1 y2

x x0x1 x213/18第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日二次插值基函數(shù)圖形取

x0=0,x1=0.5,x2=1l0(x)=2(x–0.5)(x–1);l1(x)=–4x(x–1);l2(x)=2(x–0.5)x14/18第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日二次插值的一個(gè)應(yīng)用——極值點(diǎn)近似計(jì)算二次插值函數(shù):L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，極值點(diǎn)近似計(jì)算公式15/18第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日拉格朗日插值公式插值條件:L(xk)=yk(k=0,1,…,n)其中,第k(k=0,1,…，n)個(gè)插值基函數(shù)或:16/18第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日Runge反例:,(-5≤x≤5)L10(t)

f(t)

f(x)取xk=–5+k

計(jì)算:f(xk)(k=0,1,…,10)構(gòu)造L10(x).取:tk=–5+0.05k(k=0,1,…,200),計(jì)算:L10(tk)17/18第十七頁，共十八頁，2022年，8月28日x=-5:5;y=1./(1+x.^2);t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.^2);n=length(t);fori=1:nz=t(i);s=0;fork