易拉罐形狀和尺寸的最優設計模型查建飛鄭嫻雅金蘭貞

（2006年獲全國二等獎）摘要:目前，易拉罐飲料在市場上的銷量很大，易拉罐的需求也是難以估計的。而資源是有限的，因此易拉罐的最優設計是非常有必要的。本文著重從形狀和尺寸的角度分析碳酸飲料的鋁質易拉罐，在容積確定的條件下以材料最省為目標建立優化模型。首先對雪碧、可口可樂、藍帶啤酒等易拉罐容器進行測量，獲取實測值。針對易拉罐現有形狀和尺寸等數據，進行綜合分析，建立了逐漸改進的三個數學模型。模型I:把易拉罐近似地看成一個正圓柱體，在易拉罐的容積一定時，以材料最省為目標，用求極值的方法求得易拉罐高度h與底面半徑r之間的關系為h=（a+a丄，12用實測值進行驗證發現比較吻合，但還是有一定誤差存在，因此進一步建立模型II進行分析。模型II:進一步考慮易拉罐的形狀，即罐體上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體時，利用線性規劃方法求得此時易拉罐的最優設計。通過對模型I中的圓柱型易拉罐的對比，所得模型與實測值更加吻合。模型III：以材料最省為主要目的，兼顧易拉罐的舒適度進行設計，建立模型，并給出具體的設計方案。最后結合本模型的建立過程寫對數學建模的認識與數學建模過程的難點。關鍵詞：最優設計形狀與尺寸合適度一、問題重述生活中我們發現飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等銷量很大的飲料易拉罐的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應該是某種意義下的最優設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優設計可以節省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節約的錢就很可觀了。請通過數學建模來分析上述情況并回答如下問題：（1） 取一個飲料量為355毫升的易拉罐，測量你們認為驗證模型所需要的數據，并把數據列表加以說明；如果數據不是你們自己測量得到的，請注明出處。（2） 設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優設計？其結果是否可以合理說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。（3） 設易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。

圖一（4）利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關于易拉罐形狀和尺寸的最優設計。（5）用你們做本題以及以前學習和實踐數學建模的親身體驗，寫一篇短文，闡述什么是數學建模、它的關鍵步驟，以及難點。二、問題分析要使易拉罐達到最優設計，必須滿足以下條件：（1）保證容量是足夠的。（2）材料要最節省，使生產者在保證質量的情況下，成本能降到最低。（3）能夠保證易拉罐對容器內液體和氣體的壓力。（4）易拉罐是大批量生產、運輸的，要避免運輸過程中瓶罐之間因碰撞造成的損失，必須穩定放置兩個易拉罐，才能保證安全運輸。三、模型假設（1）研究的對象是容量為355ml的碳酸飲料的易拉罐，如可口可樂、雪碧、藍代啤酒。（2）測量的是無變形、無損壞的易拉罐。（3）測量的是鋁制易拉罐。四、符號定義b：易拉罐側壁的厚度。b：易拉罐側壁的厚度。b：易拉罐上底厚度。1b：易拉罐下底厚度。2Z：所用材料的體積。d:下底厚與側壁厚的比值。1d:上底厚與側壁厚的比值。2d:上底內直徑。1d:下底內直徑。2V:易拉罐的容量，為一固定值。r:易拉罐柱體部分的內半徑。S:易拉罐的總面積。h:易拉罐的內高度。H:易拉罐的總體高度。a:上底內高。1a:下底內高。2h3:上底內咼。h:下底拱高。45:舒適度。上底區bl廠i~「*側壁厚bH占下底厚b2圖一五、模型建立與求解問題一1.1測量方法㈠測厚度：把易拉罐切開壓平，n層的易拉罐壁進行疊加，直至總厚度可達mmm,則單個易拉罐壁厚則為m/nmm,同樣方法對不同品種的易拉罐進行測量，取平均值.㈡測外徑：用一條無彈力的繩子水平繞標準易拉罐的柱體部分一圈，再利用直尺測出繩子的長度。為減少誤差，用以上相同方法進行多次測量，取得平均值。由c二2“r，得出r。㈢其余的數據全由千分尺測得。近似取值為小數點后兩位數。對易拉罐所測得的數據見下表一：表一：自己測量得到的易拉罐所需數據表（單位:mm）雪碧藍代可樂平均數罐總高度H122.50122.50122.80122.60上內高a15.205.004.805.30下內高a25.005.005.105.00上蓋厚b10.300.300.300.30

下底厚b20.280.270.300.27側壁厚b30.13罐身直徑2r60.3060.6060.5060.47上內直徑2d157.4057.1057.2057.23下內直徑d°250.4053.0050.2051.20上外高h313.8013.6013.5013.63下底拱高h49.909.8010.209.90問題二(模型I)2.1模型假設：易拉罐的形狀為正圓柱體，如圖二 r—1r圖一2.2模型分析：把易拉罐近似看成一個正圓柱，要求易拉罐內的體積一定時，求能使易拉罐制作所用的材料最省。2.3模型的建立與求解：易拉罐側面所用材料的體積：兀hr+b)2-兀hr2=2兀rbh+兀hb2,b《r兀hb2可以忽略所以側面材料的體積可以近似看作2rbh易拉罐上底面所用材料的體積：a兀r2b1易拉罐下底面所用材料的體積：a兀r2b2則 Z(r,h)=兀從匕+a)r2+2rh】 ①12

②代入①得： Z=b—+兀(a+a)r21r 1 2dZ二2bdZ二2bdr(a+a12—L2bC+ar2 r21 2Lr3-V)令竺=令竺=0,解得臨界點為r=dr3丫 亡，代入②得:3a+a加12a+a12+a12a+a12+a12又因為竺dr2S”二4b2ka+a12)+空1,r3所以梟＞0所以當h弋+a2丄時,Z取得最優值.h根據測量數據a沁2;a沁2，則a+a=4，代入公式得-=41 2 1 2 r圓柱型的易拉罐的尺寸雖然與實測數據相對比較吻合，但還是有一定的誤差。通過觀察發現實際中易拉罐的上部分有類似圓臺的地方，這是為了減少材料還是其他目的呢？因此建立模型。問題三（模型II）補充假設（如圖三）（1） l為圓臺部分的母線長。（2） h表示圓臺部分的高度。1（3） h表示圓柱上線高度。2（4） s表示圓臺上底的面積。5） s表示圓柱上底面積。26） v表示圓臺的體積。17） v表示圓柱上線的體積。2（8）355-v=355-v即v=v。1212s2h2圖三3.2模型分析:此問題考慮的是把易拉罐的上部分改成圓臺使得它跟原先的體積一樣，求出h,h12使得易拉罐的用材最省。3.3模型的建立與求解：圓臺的表面積為： s=6d+兀r圓臺表 V i i ii圓柱高h的表面積為： s=2兀rhb+兀r2ab2 圓柱 2 1s=s—s圓臺表 圓柱其中由模型一可知:化簡得：兀°i+r巧可匚V+aia=2,d=0.i3mm,H=I22其中由模型一可知:化簡得：兀°i+r巧可匚V+aia=2,d=0.i3mm,H=I22?6mmi）"I2—r27—2rhbi 2max=兀G+r-d》+h2+ai ' i i ir2丿一2rhb2S.t.<2+r2+dr）+兀r2（H—h）=355000i i 2d 頂__3\o"CurrentDocument"—+1/2= 厶—r h4￥i0<d<ri利用LINGO軟件求得d1= 30.36716訕R=30.36716mm h1=0mmh2=0mm 材料為752.8548mm3（見附錄一）從模型所求結果可以看出，圓臺的上底半徑只有6.11毫米，這樣一來易拉罐罐口只有117.283平方毫米，這與我們所測易拉罐的實際尺寸相差比較大。因此我們對所假設的模型做如下改進：在實際中圓臺上底半徑與易拉罐中間半徑相差很小約5；圓臺的高度也是很小約為5。因此模型修正為:max（di\-（r—d）2+d2i i——1-d 3h 3\o"CurrentDocument"——1-d 3h 3\o"CurrentDocument"—+1/2=2-r h 4)"i2+r2+dr厶兀r2(122.6-h)=3550001 1 2h=51d=51d1=5.000000mm r=30.55185mm h2=3.462191mmh1=5.000000mm材料為-450.1384(mm)人3（見附錄二）由于實際中易拉罐的圓臺與罐底，方便運輸，而問題三中討論的易拉罐上部是圓臺用料與圓柱的廢料問題，因此，浪費點原料來提高人對易拉罐的舒適度。本文在對問題四的回答中進一步的闡述這個改進。問題四（模型三）改進后易拉罐模型的母線為:l二改進后易拉罐模型的母線為:l二h7cos0改進后易拉罐模型的上底半徑： d]=r+htan9因此，可求得改進后易拉罐模型的表面積：S臺側二S臺側二(4兀r+2兀htan9cos9上下底面積之和為：S=Kr2+K(r+htan9)2丘b

底1 1 1+htan9\+K+htan9\+Kr(r+htan9)】h13圓柱形的表面積:S側二2"rhb圓柱上下底的面積:S =Kr2ab+兀r2ab底 2 1因此，可得原型易拉罐的面積為:s=2krhb+Kr2ab+Kr2ab+4501 2 1

改進后易拉罐模型與原型易拉罐的面積的差值:S=1/2(4兀r+2兀htan0)―1+兀(r+htan0)2ab一2兀rhb一兀r2ab一450

1 COS0 1121舒適程度的函數曲線：5=f(0)——它的圖象為可以根據市場調查的散點圖形式來擬合曲線，如下圖:綜上所述，浪費材料與舒適程度的關系式為：p=k5-SP]；(k:舒適程度的增加錢的增值；P：表示每個單位的價格)1問題五：淺談數學建模在未接觸建模時，就已經聽說過它了，但不太了解，直到真正接觸，才發現原來數學建模就在我們的身邊。早在中學，甚至是小學時就已經用建立數學模型的方法來解決過一些簡單或理想化的實際問題。例如航行問題、速度問題等。數學建模不只是對實際問題建立數學模型的過程，它還包括了對實際問題進行的解釋、求解、驗證并解決的全過程。數學建模是運用如同MATLAB、LINGO等數學工具來得到一個數學結構，用各種數學方程、表格、圖形等表現模型的思想。它是為解決現實中存在的特定的對象，特定的目的，根據特有的內有規律進行必要的簡化假設，而設計的模型。另外，對于同一個客觀事物可以有多種數學描述，因此有必要在若干模型中選擇一個最簡單，最恰當，最易于進行數學處理的模型。對于模型，可以選擇一個最簡單，最恰當，最易于進行數學處理的模型。如下圖：實際間題 ?模型假設-一?實際間題 ?模型假設-一?應用V—檢驗與評價弋模型建立一?模型求解模型在易拉罐模型中，我們在審題時，結合實際中普遍飲用的易拉罐，大概了解易拉罐的構造，形狀，并在某些生產產品的公司網站上查閱了一些有關易拉罐具體尺寸、材料組成等，以及它的制作工藝、過程。考慮到罐內物質對瓶罐的壓力，再查閱了有關于應力等方面的知識。我們也通過各種方法，測量了易拉罐的直徑、高度、厚度等。其次，建立數學模型。通過觀察可以發現，飲料罐總體上可分為部分：圓臺、圓柱。當然，這不是偶然，必定是某種意義上的最優設計。對模型進行適當的假設與簡化，這是建立模型的關鍵一步，必須對研究對象進行統一，即認定都為飲料量為355毫升的易拉罐。為減少誤差，對于測得的數據用多次測量取平均值。根據題目要求，明確易拉罐要達到最優，必須滿足兩個條件：一、材料最省。二、能夠保證易拉罐的舒服度。在認為易拉罐是一個長方體繞軸心旋轉360度的模型時，求極值問題則可利用求導方法取臨界值。當易拉罐是由圓臺和圓柱構成時，可與第一個模型進行比較，從節省材料的角度來考慮，得出最優模型。在模型中,考慮了舒適度，建立此函數關系時，需要通過顧客心理來描述圖形，但是由于沒有充裕的時間，整個模型過于簡略，不夠精確。六、模型改進就問題四而言，本文只是針對易拉罐的形狀和尺寸進行最優設計，并沒有對易拉罐所用材料進行改進。但是鋁質易拉罐的原材料需大量進口，且價格昂貴，加上污染環境等因素，國家已不再批準新建鋁質易拉罐生產線。因此能否找到一種新型材料用來代替鋁質易拉罐已成為我國關心的問題。對此，可以在易拉罐取材上進行分析，將會得到一定的效果的。七、模型評價模型優點模型I運用導數求極值的數學方法，計算方便，簡單易懂。通過利用數學工具和Lingo編程的方法，嚴格地對模型求解，具有科學性。建立的模型能與實際緊密聯系，結合實際情況對所提出的問題進行求解，使模型更貼近實際，通用性、推廣性較強。模型的缺陷由于未能查得易拉罐的具體尺寸，只能運用測量工具對易拉罐進行測量，因此所測得的測量值與實際值之間有一定的誤差，模型只考慮了半徑與高之比，沒有考慮其他，可能有點不全面。八、參考文獻唐煥文賀明峰，數學模型引論(第三版)，高等教育出版社，2005.3楊啟帆方道元，數學建模，浙江大學出版社，1993.3葉其孝，最優化-導數的應用(極值問題)教學單元，:8060上海聯合制罐有限公司，/index.htm

附件一model:max=3.14*((d1+r)*((r-d1)入2+d"2)入(1/2)*0.13+0.26*(d"2-”2)-0.26*r*h2);d1/r+1/2=(3*h2/h1-3/4)T/2;1/3*3.14*(d1A2+rA2+d1*r)*h1+3.14*(122.6-h2)*rA2=355000;h2<=122.6;d1<=r;end406Objectivevalue:Localoptimalsolutionfoundatiteration:406Objectivevalue:附件二0.000000122.60005 0.0000000.2120718E-020.00000086.77114model:max=3.14*((d1+r)*((r-d1)入2+d"2)附件二0.000000122.600