解答壓軸題2022年溫州數學中考一模匯編

1.如圖：AD是正△4BC的高，。是4。上一點，。。經過點D,分別交AB,AC于E,F.

⑴求ZEDF的度數；

(2)若AD=6\/3,求△AEF的周長；

⑶設EF,AD相較于N,若4E=3,EF=7,求DN的長.

2.如圖，矩形ABCD中，AD=10,CD=15,E是邊CD上一點，且DE=5,P是射線AD上

一動點，過A,P,E三點的0。交直線AB于點F,連接PE,EF,PF,設AP=m.

(1)當m=6時，求4F長.

(2)在點P的整個運動過程中.

①tan/PFE的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的變化范圍.

②當矩形ABCD恰好有2個頂點落在QO上時，求m的值.

(3)若點A,H關于點0成中心對稱，連接EH,CH.當△CEH是等腰三角形時，求出所有

符合條件的m的值.(直接寫出答案即可)

3.如圖，矩形ABCD中，BC=8,點F是48邊上一點(不與點B重合)4BCF的外接圓交對

角線BD于點E,連接CF交BD于點G.

(1)求證：Z.ECG=乙BDC.

(2)當48=6時，在點F的整個運動過程中.

①若BF=2V2時，求CE的長.

②當4CEG為等腰三角形時，求所有滿足條件的BE的長.

(3)過點E作&BCF外接圓的切線交AD于點P.若PE//CF且CF=6PE,記△DEP的

面積為Si，4CDE的面積為52,請直接寫出T的值.

4.已知點P為^MAN邊AM上一動點，OP切AN于點C,與AM交于點D(點D在點P

的右側)，作DF_L4N于F,交。。于點E.

(1)連接PE,求證：PC平分〃PE；

(2)若DE=2EF,求"的度數；

(3)點B為射線AN上一點，且AB=8,射線BD交。P于點Q,sinZTl=｝在P點運

動過程中，是否存在某個位置，使得ADQE為等腰三角形？若存在，求出此時AP的長；

若不存在，請說明理由.

5.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,BE1AC于點E,點。是線段AC上的一點，以4。為

半徑作圓。交線段AC于點G,設4。=m.

(1)直接寫出AE的長：AE=____：

(2)取BC中點P,連接PE,當圓。與4BPE一邊所在的直線相切時，求出TH的長；

(3)設圓。交BE于點F,連接AF并延長交BC于點H.

①連接GH,當BF=BH時，求&BFH的面積；

②連接DG,當tanNHFB=3時，直接寫出DG的長，DG=____.

6.如圖，矩形ABCD中，AD=10,CD=15,E是邊CD上一點，且DE=5,P是射線AD上

一動點，過A,P,E三點的。。交直線AB于點F,連接PE,EF,PF,設AP=m.

(1)當m=6時，求4F長.

(2)在點P的整個運動過程中.

①tan/PFE的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的變化范圍.

②當矩形ABCD恰好有2個頂點落在。。上時，求m的值.

(3)若點A,H關于點。成中心對稱，連接EH,CH.當&CEH是等腰三角形時，求出所有

符合條件的m的值.(直接寫出答案即可)

7.如圖，在Rt△ABC中，^ACB=90",AB=5,過點B作BDLAB,點C,D都在AB上方,

AD交△BCD的外接圓。0于點E.

(1)求證：QB—4EC.

(2)若BC=3.

(1)EC//BD,求AE的長.

②若△BDC為直角三角形，求所有滿足條件的BD的長.

(3)若BC=EC=衣,貝IJ步=—.(直接寫出結果即可)

SAACE

8.如圖在矩形ABCD中，4B=8,過對角線AC的中點。作直線PE,交AB于點P,交CD

于點Q，交射線AD于點E,連接CE,作點Q關于CE對稱的對稱點Q:以Q'為圓心，為

CQ'半徑作OQ',交CE于點M,設BC=x.

DE

(1)請說明4AOP沿XCOQ的理由；

(2)若AP=5.

①請用x的代數式表示DE的長；

②當&DQM為直角三角形時，請求出所有滿足條件的BC的值；

⑶若存在OQ,同時與直線AC和直線AD相切，請直接寫出O<?,的半徑.

9.AB為。。的直徑，弦CDLAB,垂足為H,F為弧BC上一點，且"BC=z4BC,連接

DF,分別交BC,AB于E,G.

(1)如圖1,求證：DFJ.BC；

小，

D

圖1

(2)如圖2,連接EH,過點E作EM1EH,EM交。。于點M,交AB于點N,求證：

NH=M

圖2

(3)如圖3,在(2)的條件下，若DG=6V3,ON=6,求MN的長.

10.如圖1,在矩形ABCD中，AD=2AB,延長DC至點E,使得CE=BC,過點B,D,E作

00,交線段AD于點F.設4B=x.

(1)連接OB,0D,請求出乙BOD的度數和。。的半徑(用x的代數式表示).(直接寫出答

案)

(2)證明：點尸是AD的中點；

⑶如圖2,延長AD至點G,使得FG=10,連接GE,交DE于點H.

①連接BD,當DH與四邊形BDHE其它三邊中的一邊相等時，請求出所有滿足條件的x

的值；

②當點G關于直線DH對稱點恰好落在。。上，連接BG',EG',記4BEG'和△

DEH的面積分別為Si，S2,請直接寫出的值.

11.已知：如圖①，在Rt△ABC中，乙4BC=90°,BD1AC于點D,且4B=5,AD=4,在

AD上取一點G,使AG=|,點P是折線CB-BA上一動點,以PG為直徑作。。交HC

于點E,連接PE.

圖①

(1)求sinC的值；

(2)當點P與點B重合時如圖②所示，。。交邊AB于點F,求證：乙EPG=AFPG；

即

cD(E)GA

圖②

⑶點P在整個運動過程中：

①當8c或AB與。。相切時，求所有滿足條件的DE長；

②點P以圓心。為旋轉中心，順時針方向旋轉90。得到P,當P恰好落在AB邊上時,

求&OPP'與AOGE的面積之比(請直接寫出答案).

12.如圖，4(一5,0),B(-3,0),點C在y軸的正半軸上，4CBO=45°,CD//AB.LCDA=90°.點

P從點Q(4,0)出發，沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間t秒.

(1)求點C的坐標；

⑵當/BCP=15。時，求t的值；

⑶以點P為圓心，PC為半徑的OP隨點P的運動而變化，當OP與四邊形ABCD的邊

(或邊所在的直線)相切時，求t的值.

13.如圖，在矩形ABCD中，/.CAB=30°,P是直線AC上一動點，連接BP并延長至點E,使

BP=PE,過點E作EFLAB于點F,交直線AC于點G,過點B作BH//AC交直線EF

于點H,以AP為直徑的。。交直線AB于點Q.

(1)求證：AP=EF-.

(2)當點P在點C的右側時，若AC=3CP,且四邊形BHGC的面積等于24百，求。。的

半徑：

(3)若AB=6,在點P的整個運動過程中，

①當AP為何值時，四邊形BHGC是菱形？

②連接PH,當。。與4BHP某一邊所在的直線相切時，求出所有滿足條件的FH的長.

14.如圖1,平面直角坐標系中有一矩形04BC,其中。是坐標原點，點A,C分別在x軸和y

軸上，點B的坐標為(3,4),直線y=交48于點D,點P是直線y=位于第一象限

上的一點，連接PA,以PA為半徑作OP.

⑴連接AC,當點P落在AC上時，求PA的長；

(2)當OP經過點。時，求證：△PA。是等腰三角形；

⑶設點P的橫坐標為m,

①在點P移動的過程中，當OP與矩形04BC某一邊的交點恰為該邊的中點時，求所

有滿足要求的m值：

②如圖2,記OP與直線y=|x的兩個交點分別為E,F(點E在點P左下方)，

當DE,DF滿足;＜照＜3時，求m的取值范圍.(請直接寫出答案)

3DF

圖2

15.如圖1,在Rt△ABC中，NABC=90°,AB=6,BC=8,點。在AB上，BD=1,動點Q

從點A出發沿線段AC以每秒1個單位的速度運動，過點Q作PQ1AC,交射線AB于點

P,點P關于點D的對稱點為P',以PP'為邊在AB上方作正方形PP，EF,設點Q運動的

時間為t秒（t>0）.

圖I備用圖

（1）當點P在線段AB上時，求PB的長（用含t的代數式表示）；

⑵當正方形PP'EF的頂點尸或E剛好落在在Rt△ABC的邊AC上時，求t的值.

⑶如圖2,以EF為直徑作。。，當。。與△A8C的邊所在的直線相切時，請求出所有滿

足條件的t的值.

圖2爸用圖

26.如圖，點C是線段AB的中點，過點C作CDLAB,且CD=48=8,點P是線段AB上

一動點（不包括端點A,B）,點、Q是線段CD上的動點，CQ=2PC,過點P作PM14。于

M點，點N是點A關于直線PM的對稱點，連接NQ,設AP=x.

(1)則AD=____,AM=____CAM用含x的代數式表示)；

(2)當點P在線段AC上時，請說明NMPQ=90°的理由；

⑶若以NQ為直徑作O。，在點P的整個運動過程中，

①當。。與線段CD相切時，求x的值；

②連接PN交。。于，，若Nl=l時，請直接寫出所有x的值.

27.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=^x+8分別交x軸，y軸于點A,C,點D(m,4)在直

線AC上，點B在x軸正半軸上，且OB=2OC.點E是y軸上任意一點，連接DE,將線

段OE繞點。按順時針旋轉90。得線段DG,作正方形DEFG,記點E為(0,n).

(1)求點D的坐標；

(2)記正方形DEFG的面積為S,

①求S關于n的函數關系式；

②當DF//X軸時，求S的值；

⑶是否存在n的值，使正方形的頂點F或G落在AABC的邊上？若存在，求出所有滿足

條件的n的值；若不存在，說明理由.

18.如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8.動點E,F同時分別從點A,B出發，分別沿著射線

AD和射線BD的方向均以每秒1個單位的速度運動，連接EF,以EF為直徑作。。交射線

BD于點M,設運動的時間為t.

(1)BD=____,cos^ADB=____.(直接寫出答案)

(2)當點E在線段AD上時，用關于t的代數式表示DE,DM.

(3)在整個運動過程中，

①連接CM,當t為何值時，4CDM為等腰三角形.

②圓心。處在矩形ABCD內(包括邊界)時，求t的取值范圍(直接寫出答案).

答案

1.【答案】

(1)AD是正AABC的高，

???/.BAC=60°,AD平分^BAC,

：./.BAD=/.CAD=30",

作011AB于I,0]1AC于J,連接OE,OF,

01=OJ,

???△O1E部△O/F(HL),

:,乙1OE=4JOF,

."EOF=AEOJ+"0/=LEOJ+MOE=AIOJ=120°,

=60°.

???4EDF=2-/.EOF

(2)設AD與圓。交于點G,連接FG,AD是正△ABC的高，NB=NC=60°,CD=BD,

GD是圓。的直徑，

由圓與正三角形的對稱性，可得乙BED=4FED,

作DK1.AB,DLLAC,DM1EF,可得DK=DL,

.:乙BED=AFED,DKLAB,DM1EF,ED=ED,

EKDmEFD,

???EK=EM,DK=DM,

在4DMF與4DLF中，DK=DM=DL,DLLAC,DM1EF,

DMF=△DLF,

9,

MF=FL,易得：AK=AL,AL=-4AC=

LAEF的周長=AF+AE+EF=2AL,AL=9,

1

???^LAEF=18=3cAABC.

(3)過E點4c的垂線，長為色，過E點做AD的垂線，長為&，過F做4。的垂線，

長為k

=x,

設AC=x,CLAEF=|CAi4Bc|4F=|》—10，FC=10—",EB=%—3,BD=DC=

由AFDCsADEB,可得些="，

DBEB

代入得：Qx)=(10-3),

解得：=12,第2=g(舍去)，

AF=-x-10=8,AD=—AB=6A/3,

22

S—EF=#尸,八3=S-EF=]AN?(hi+電)，

246

可得AN

11

.,426

/.DnN=-----

li

2.【答案】

(1)如圖1中，連接AE.

在Rt△DPE中,

vDE=5,DP=AD-AP=4,

:.PE=V52+42=V41,

在Rt△ADE中，AE=y/AD2+DE2=5A/5,

v匕PAF=90°,

：.PF是O。的直徑，

???(PEF=2LADF=90°,

vZ.DAE=乙PFE,

???△ADE^△FEP,

DEAE

—=—，

PEPF

.5_5V5

一V41-PF，

???PF=V205.

在Rt△PAF中，AF=ylPF2-PA2=A/205-36=13.

(2)①tan/PFE的值不變.

理由：如圖1中，

v乙PFE=Z-DAE,

DE1

：?tanzPFF=tanZ-DAF=—=

AD2

②如圖2中，當O。經過A,。時，點P與。重合，此時m=10.

如圖3中，當。。經過A,B時，

在Rt△BCE中，BE=VEC2+CB2=10VL

tanZ-PFE=

2

???PE=5V2,

PD=-JPE2-DE2=5,

■■m=PA=5.

如圖4中，當。。經過AC時，作FM1DC交DC的延長線于M.

根據對稱性可知，DE=CM=BF=5,

在Rt△EFM中，EF=V152+102=5尺,

j-,15A/13

???PnE=-EF=---,

22

PD=y/PE2-DE2=—,

2

m=AD-PD=-,

2

綜上所述，m=10或5或|時，矩形ABCD恰好有2個頂點落在。。上.

(3)10-5V3或10-2同或個或10+3V5.

【解析】

⑶如圖5中，

當EC=CH時，根據對稱性可知：PE=CH=EC=10,PD=V102-52=5V3,

???m=10—5百.

如圖6中，當EC==10時，

=J(5佝2+2=5V13,

在Rt△AEH中，AH=yjAE2+EH210易知PF=AH=5V13,

PE-.EF-.PF=1:2:倔

PE=V65,

在Rt△PDE中，DP=V65-25=2“U,

m=PA=AD-PD=10-2-/10.

如圖7中，當HC=HE時，延長FH交CD于M,

則EM=CM=BF=5,HM=

.■.m=PA=HF=10--20

3

如圖8中，當EH=EC時，

PF=AH=7EH?+AE2=J102+(5/10)2=5g,

PE:EF:PF=1:2：V5,

???PE=V70,

在Rt△PDE中，PD=V70-25=3瓜

???m=PA=AD+PD=10+3A/5,

綜上所述，滿足條件的m的值為10-5V3或10-2V10或g或10+3后

圖7

3.【答案】

(1)-AB//CD.

:.乙ABD=Z.BDC,

v乙ABD=乙ECG,

???乙ECG=Z.BDC.

(2)①???AB=CD=6,AD=BC=8,

BD=762+82=io,

如圖1,連接EF,則/.CEF=/.BCD=Rtz,

???乙EFC=Z.CBD.

:.sinZ-EFC=sinZ-CBD,

CECD3

~~~——,

CFBD5

CF=VBC2+BF2=6也

...CF=yV2.

②團、當EG=CG時，4GEC=4GCE=Z.ABD=^BDC.

:.E與D重合，

???BE=BD=10.

田、如圖2,當GE=CE時，過點C作CH1BD于點H,

乙EGC—乙ECG=乙ABD=乙GDC,

???CG=CD=6.

vCH=-B-C--C-D-=——24

BD5

?■-CH=J62-(T)2=T*

在Rt△CEH中，

設HE=x,則/+得)=(%+￡),

解得X=\,

32739

:.BE=BH+HE=蓑“=學

團、如圖2,當CG=CE時，過點E作EM_LCG于點M.

“A”EM4

tanzECM=—CM=3

設EM=4k,貝|JCM=3k,CG=CE=5k.

■■■GM=2k,tanzGEM=也=士=二，

EM4k2

?乙

??tanGCH=CH—2=tanz6EM=

HE=G…Hr=-1x—24=—12,

255

??.BE=BH+HE=著+￡=羨，

綜上所述，當BE為10,蔡或蔡時，ACEG為等腰三角形.

⑶—?

24

【解析】

(3)???2LABC=90°,

AFC是XBCF的外接圓的直徑，設圓心為。，

如圖3,連接OE,EF,AE,EF,

?:PE是切線，

???OE1PE,

???PE//CF,

???OE1CF,

???OC=OF,

:,CE=EF,

CEF是等腰直角三角形，

?-.Z.ECF=45",EF=2—FC,

???Z.ABD=乙ECF=45°,

???Z.ADB=乙BDC=45°,

??.AB=AD=8,

???四邊形ABCD是正方形，

vPE//FCt

???LEGF=乙PED,

乙BGC=乙PED,

???乙BCF=Z-DPE,

作EHLAD于H,則EH=DH,

???乙EHP=乙FBC=90°,

：,2EHPs&FBC,

:、EH=—PE=—1,

BFFC6

EH=-BF,

6

vAD=CD,Z.ADE=乙CDE,

ADE@△CDE,

.，.AE=CE,

??.AE=EF,

AF=2EH=-BF,

3

?■-BF+BF=8,

3

??.BF=6,

EH=DH=1,CF=y/BF2+BC2=10,

PE=-FC=-,

63

PH='JPE2-EH2=

3

4

PD=-+1

3

37

824

B

圖3

4.【答案】

(1)-AN切。。于點C,

???PC14N,

,:DF1.AN,

:.PC//DF,

.??Z,APC=乙PDE,乙EPC=乙PED,

PD=PE,

:.乙PED=乙PDE,

:.LAPC=乙EPC,

即PC平分乙4PE.

(2)如圖1所示，作PHIDE于H,

?.?PD=PE,

.：DH=HE=EF=\HF=\PC=\PD,

.?.sinzDPW=|)

???(DPH=30°,

??,PH//AF,

???乙PAC=乙DPH=30°.

⑶①當DQ=QE時，如圖2所示，

連接PQ,可證得PQ//AB,

???乙PDQ=乙DQP=4DBA,

vAD=AB=8,

設PC=r,AP=3r,

則AD=4r,4r=8,r=2,AP=3r=6,

②當。E=QE時，如圖3所示，

記。P與4D的另一交點為K,連接KE,

則“DE=KEQD=乙DKE=H4F,

在Rt△ADF中，DF=-AD=-r,AF=2^2DF=-r,

333

在Rt△DBF中，BF=^DF=[T,AB=AF-BF=^-r=8,

12V2436V2

r=-----,APn=3or=------.

77

③當DQ=DE時，如圖4,連接QK,連接QE交AD于I,作QG1KE于點G,

則乙GQE=4IKE=乙4,

在Rt△QGE中，設GE=2x,

則QE=3GE=6x,IE=3x,QG=2立GE=4&x,

則KG=KE-EG=7x,tan“KG=—=—=

KG7x7

???乙BDF=乙QKE,

nr,4V2n?16V2AD7.D?8V2.16-72o7V2

AtanzFDF=tanZ-QKE，BF=——DF=---r,48=A/+BF=——rH-----r=8,r=——

7213216

7V2

4P=3r

2

綜上所述：4P的長為6或等或邛.

5.【答案】

(1)3.6

(2)如圖，若。。與BE相切，

???2A0=AE=3.6.

???AO=m=1.8；

若O0與BP相切于點H,連接0H,

:.OH1BC,且ABLBC,

???OH〃AB,

COHs△CAB,

:.—=—,即一=------,

ABAC610

八

.**OA4=771=—15，

4

如圖，若。。與EP相切于點H,連接OH,

???OH1PE,

???點P是Rt△CEB斜邊BC的中點，

.?.PE=PC=PB,

???(PCE=乙PEC,

???乙PCE=乙PEC=乙OEH,且乙OHE=乙ABC=90°,

???△HEOs△BCA,

EOHO

——=~~,

ACAB

3.6-OAAO

106

八

???OA4=m=2—7.

20

(3)①如圖，過點H作HMLAC于點M,作HN1BE于點E.

???BF=BH.

???乙BHF=LBFH=乙AFE,

???LEAF+LAFE=90°,乙BHF+乙BAH=90°,

LEAF=Z.HAB,且HMLAC,HBA.AB,

??.MH=HB,

??,S〉ABC=IXTICxMHABxBH=^x6x8,

???10MH+6MH=48,

:.MH=BH=3=BF,

???NH1BE,BELAC,

??.NH//AC,

:ABNHsABEC,

J.NH=BH,

ECBC

?N??H一=3)

6.48

:.NH=y,

ASAD=-xBFxNH=-x—x3=—.

△小F〃H2255

②胃

【解析】

(1)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,

AC=7AB2+BC?=10,

11

vS〉ABC=xBC=-xACxBE,

.?.BE=6x2=4.8,

io

AE=7AB2-BE2=3.6,CE=AC-CE=6.4.

⑶②如圖，連接OF,過點G作GMICO于M.

tan/HFB=3,且/.AFE=乙BFH,

Ap

.??tan乙HFB=tanZ.BFH=—=3,

??_AE_3.6_6

*'?Dr=---=—=一，

335

在Rt△EFO中，OF2=OE?+EF2,

??.0尸2=管—0尸)2+||,

??.OF=2,

???AG=20F=4,

??.CG=AC-AG=6,

???乙GMC=Z-ADC=90°,Z.ACD=乙GCM,

???△CMGs△CDA,

:.—CG=-M-G=-C-M,

ACADCD

6MGMC

:.=----=11.

1086

???MG=y,MC=y,

???DM=DC-MC=y,

???DG=7DM2+MG2=型.

6.【答案】

(1)如圖1中，連接AE.

在由△DPE中，

DE=5,DP=AD-AP=4,

???PE=V52+42=V41,

在Rt△ADE中，4E=>JAD2+DE2=575,

???Z.PAF=90",

PF是。。的直徑，

二.4PEF=Z.ADF=90°,

???/.DAE=Z.PFE,

???△ADEs△FEP,

...變=竺，

PEPF

「V41-PF，

???PF=V205,

在Rt△PAF中，AF=y/PF2-PA2=<205-36=13.

(2)①tan/PFE的值不變.

理由：如圖1中，

,:乙PFE=Z.DAE,

AD2

②如圖2中，當O。經過4。時，點P與O重合，此時m=10.

如圖3中，當。。經過A,B時，

在Rt△BCE中，BE=>JEC2+CB2=10企，

???tanzPFE=

2

??.PE=5VL

PD=y/PE2-DE2=5,

m=PA=5.

如圖4中，當。。經過AC時，作FM1DC交DC的延長線于M.

根據對稱性可知，DE=CM=BF=5,

在Rt△EFM中，EF=V152+102=5舊，

PE=-EF=—,

22

PD=y/PE2-DE2=―,

2

m=AD-PD=

2

綜上所述，m=10或5或|時，矩形ABCD恰好有2個頂點落在。。上.

（3）10-5V3或10-24U或g或10+3V5.

【解析】

⑶如圖5中，

當EC=CH時，根據對稱性可知：PE=CH=EC=10,PD=V102-52=5V3,

???m=10—5V3.

如圖6中，當EC=EH=10時，

在Rt△AEH中，AH=yjAE2+EH2=J（5V5）2+102=5^13,易知PF=AH=5^13,

PE-.EF-.PF=1:2:倔

???PE=V65,

在Rt△PDE中，DP=765-25=2V10,

???PA=AD-PD=10-2V10.

如圖7中，當HC=HE時，延長FH交CO于M,

則EM=CM=BF=5,HM=—,

3

.-.m=PA=HF=10--=—.

33

如圖8中，當EH=EC時，

PF=AH=y/EH2+AE2=J102+（5V10）2=5V14,

???PE:EF:PF=1:2：V5,

PE=V70,

在Rt△PDE中，PD=V70-25=3瓜

???m=PA=AD+PD=10+3V5,

綜上所述，滿足條件的m的值為10-58或10-2同或g或10+3的.

圖7

7.【答案】

(1)；四邊形BCED內接于。。，

???Z-AEC=乙DBC,

又???DBLAB,

乙ABC+乙DBC=90°,

又???/,ACB=90°,

???在Rt△ABC中，乙CAB+乙ABC=90°,

???Z.DBC=Z.CAB,

???乙CAB=Z.AEC.

(2)①如圖1延長AC交BD于點F,延長EC交AB于點G.

???在Rt△ABC中，AB=5,BC=3,

由勾股定理得，AC=4,

又VBC1AF,AB1BF,4AFB=4BFC,

???Rt△AFBsRt△BFC,

BCAC

???BC2=CFAC,

即9=CF-4,解得，CF=2,

4

又???EC//BD,

???CG1AB,

AAB-CG=AC?BC,

即5CG=4x3,解得，CG=苓，

又v在RtAACG中，AG=>JAC2-CG2,

又vEC//DB,

???乙AEC=Z.ADB,

由(1)得，/.CAB=/.AEC,

Z.ADB=Z.CAB,

又vz_ACB=4DBA=90°,

???Rt△ABCsRt△DBA,

BC_AB

"AB-AD1

即解得AD=^-,

5AD3

又?:EG〃BD,

AGAE

—=---f

ABAD

16AE

即M=五，

53

解得AE=^.

②當△80C是直角三角形時，如圖2所示，

?:4BCD=90°,

8。為。。直徑，

又-??Z.ACB=90°,

■■A,C,D三點共線，

即BC1AD時垂足為C,此時C點與E點重合.

又/.DAB=Z.BAC,/.ACB=ABD=90°,

???Rt△ACBsRt△ABD,

tAC_AB

??布―加

即W解得AD=片，

5AD4

又v在Rt△ABD中，BD=y/AD2-AB2,

⑶啜

【解析】

⑶如圖3,

由8,C,E都在O0±,且8C=CE=?,

BC=CE,

???乙ADC=乙BDC,

g[JDC平分區ADB,

過C作CM1BD,CN1AD,CH1AB垂足分別為M,N,H.

■：在Rt△ACB中AB=5,BC=V5,

AC=2遍，

又???在Rt△ACB中CH1AB,

AB-CH=ACBC,

即5CH=2V5xV5,

解得，CH=2,

MB=2,

又vDC平分Z.ADB,

CM=CN,

又v在Rt△CHB中BC=5,CH=2,

HB=1,

???CM=CN=1,

又???在4DCN與aDCM中，

ZNDC=乙MDC,

Z.DNC=乙DMC,

DC=DC,

???ADCN與ADCMIAAS),

DN=DM,

設DN=DM=x,

則BO=x+2,4。=x+g,

在RtAABD中，

2

由AB2+BD2=AD2得，25+0+2)2=(x+g),

解得，%=萼，

BD=BM+MD=2+

33

又由(1)得“AB=乙4EC,且乙ENC=/.ACB,

???△ENCs△ACB,

NCAC2V5c

—=—=—=2,

ENBC5

???NE=2,

又v在Rt△CAN中，CN=1,AC=2瓜

???AN=>]AC2-CN2=^20-1=V19,

???AE=AN+NE=V19+2,

又"SNCD=\BD-CM,S^ACE=\AE-CN,CM=CN,

V19+8._

.SABCD_￡￡__8g-9

?'SAACE~AE~2+^19---5一，

的S&BCD_8氏-9

S"CE5'

8.【答案】

(1),??四邊形ABCD為矩形，

???AB//CD,

???乙PAO=Z.QCO,

???。為對角線AC的中點，

:.AO=CO,

在ZMP。和&COQ中，

Z.PAO=Z.QCO,

AO=CO,

Z.AOP=乙COQ,

APO^△COQ.

(2)①■■■AP=5,AB=8,

???DC=AB=8,CQ=AB=5,

???DQ—3,

-AB//DQ,

???△APEs△DQE,

AP_AEprn5_4D+DE_%+DE

'DQ~DEf'3-DE-DE

3

???DE=-x；

2

②當＞DQM為直角三角形時，存在2種情況：

i)當Z,DQM=90°時，如圖2,則LCQM=90°,

連接Q'M,QQ\QQ1與CM交于H,

?:Q,Q'關于CE對稱，

??.QQ'1CE,QH=Q'H,

???CQ'=MQL

??.CH=MH,

??.四邊形QCQ'M是菱形，

V匕CQM=90°,

???菱形QCQ'M是正方形，

??.LQCM=45°,

CD=DE=8=-xx=—,即BC=—；

2f33

ii)當4QOM=90。時，如圖3,此時M與E重合，連接Q'M,QQ\

同理得：四邊形QCQ'M是菱形，

QE=CQ=5,DQ=3,

.-.DE=4=-x,x=~,即BC=-.

233

綜上所述，當4DQM為直角三角形時，滿足條件的BC的值是/或,

⑶。Q'的半徑為y.

【解析】

(3)如圖4,同理可得四邊形QCQ'E是菱形，

PE//CQ',乙CEO=LCEQ',

???AC是0Q，的切線，

.--AC1CQ',

AC1PE,

■■■AO=OC,

AE-CE,

???Z.AEO=(CEO,

???Z.AEO=乙CEO=LCEQ',

-AE是OQ'的切線，

???LAEQ'=90°,

??.Z.AE0=(CEO=LCEQ'=30°,

???/.ACD=30°,

Rt△ACD中，AB=CD=8,cos30°=—,

V3816V3

0C=隨，

3

：.CQ=CQ'=y,即oQ'的半徑為y.

9.【答案】

(1)vCDLAB.

:.Z.BHC=90°,

:?4C+乙ABC=90°,

vZ-FBC=乙ABC,Z.F=Z-C,

:?4F+KFBC=90°,

???乙BEF=90°,

???DF1BC.

(2)連接OC.

vOC=OB,

AZ-OCB=Z.0BC=4D,

vCD1AB,

Z-CHO=90°,CH=DH,

???Z.CED=乙BEF=90°,

HE^-CD=CH=DH,

2

???Z-D=乙HED,

??.Z,OCB=乙HED,

???EM1EH,

???乙HEN=Z-HED+乙DEN=90°,

???乙DEN+乙BEN=乙BED=90°,

???乙HED=乙BEN,

???乙OCB=乙BEN,

??.UC//EM,

???乙COH=乙HNE,

在△COH與△HNE中，

(乙COH=乙HNE,

Z-CHO=乙HEN=90°,

CH=HE,

COHQ△HNE(AAS),

??.CO=NH,

NH=-AB.

2

⑶連接OM,過點M作MP1AB于點P.

???乙HEN=乙HEG+乙GEN=90°,乙。+乙DGH=90°,乙D=乙HEG,

???乙GEN=(DGH,

???乙DGH=(EGN,

???乙GEN=乙EGN,

???EN=GN,

???△COH^△HNE,

.?.OH=NE=GN,

HG=OH+OG=GN+OG=ON=6,

vDG=6>/3,Z.DHG=90°,

...HE=CH=DH=yjDG2-HG2=J(6⑹2-6?=