初三數學圓與相似的專項培優練習題及答案一、相1．如圖所示eq\o\ac(△,)ABC中，，BC，，CDE沿直線BC翻eq\o\ac(△,)，結AF交、、分別于、、．（）證：BE；（）證：．【答案】（）明：eq\o\ac(△,)ABC中AB=AC，BAC=90°，是BC的中點，AD=BD=CD，ACB=45°，eq\o\ac(△,)ADC中AD=DC，DEAC，AE=CECDE沿線BC翻折eq\o\ac(△,)CDF，CDF，CF=CE，ACB=45°，CF=AEACB=90°，eq\o\ac(△,)與ACF中

，（）ABE=，CAF=90°，，AGB=90°，BE（）明：作IC的中點，連接EM由（）DEC=CFD=90°

四形DECF是方形，DF，，EAH=HFD，AE=DF，eq\o\ac(△,)與FDH中FDH（），CAF=90°，，AGB=90°，BE，M是IC的點E是的點，AI，

，

，DI=IM，CD=DI+IM+MC=3DI，AD=3DI【解析】【分】（1）據翻折的性質和SAS證ACF利用全等三角形的性質得出ABE=，證明AGB=90°可證得結論。（）的點M，結合正方形的質，可證EAH=HFD，，用AAS證明eq\o\ac(△,)全，再利用全等三角形的性質和中位線的性質解答即可。2．如圖，拋物線﹣

+bx+c過A（0）（，）．（m，）線段OA上一個動點（點M與點A不合），過點M作垂直于x軸直線與直線AB和拋物線分別交于點、．

1212（）直線的解析式和拋物線的解析；（）果點P是MN的點，那么求此時點N的標；（）果以B，，為點的三角形eq\o\ac(△,與)APM相似，求點的坐標．【答案】（）：設直線AB的析式為，把（，），B（，）入得直AB的解析式為y=﹣；把（，），（，）入﹣，

，解得，+bx+c得，得拋線解析式為﹣x

2

+x+2（）：（0），MNx軸（，+m+2），（，﹣m+2），NP=﹣m，m+2，而NP=PM，﹣m+4m=﹣m+2，得m=3舍去）m，點標為（，）

12121212（）：（，）（，），（，m+2），AB==而NP=﹣，MNOB，

，，當

=

時，BPN△OBA則BPN△，

m（﹣

m：，整理得8m﹣，得m=0舍去）m=此時點的坐標為（，）；

，當

=

時，BPN△，BPN△，

：

（﹣

m）2，整理得2m﹣解得m=0（去），=，此時點的坐標為（，）；綜上所述，點M的標為（，）或（，）【解析】【分析】（）為拋物線和直線AB都過點（）、（）所以用待定系數法求兩個解析式即可；（）題意知是MN的點，所以PM=PN；而MNOA交拋物線與點N交直線于點，所以M、、的坐標相同且都是m,縱標分別可用1）相應的析式表示，即P（

）（m,

）與的長分別為相應兩點的縱坐標的絕對值，代入即的關于的程，解方程即可求解；（）為以，，為點的三角形eq\o\ac(△,)APM相似，eq\o\ac(△,)APM是角三角形，所以分兩種情況：當PBN=

時，則可得PBN，得相應的比例式，可求得的；當PNB=

時，則可eq\o\ac(△,)PNB，即得相應的比例式，可求得m的。3．如圖，在平面直角坐標系中，為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸點軸上，點坐標為2，），BC=6，點E是AB上一點AE=3EBP過DO

，

C

三

點，

拋

物

線

y=ax2+bx+c

過

點

D

，

B

，

C

三

點．（）直接寫點、的坐標B（________）D（）（）拋物線解析式；（）證：是P的切線；（）點為物線的頂點，請直接寫出平面上點N的標，使以點B，，，為頂點的四邊形為平行四邊形．【答案】（），；，（：2），B（-4,0），D(0,

);三點分別代入2+bx+c得，解得所拋物線的解式x2x+（）明：在eq\o\ac(△,Rt)中，CD=2OC=4，四形為行四邊形，AB=CD=4ABCD，A=，，AE=3BE，，

，四形是行四邊形，DCB=60°，COD，ADE=CDO，而ADE+ODE=90°

123123ODE=90°CDDE，DOC=90°，CD為P的直徑，ED是P的切線（）：點的坐標為（，

）、（，）、（，

）【解析】【解析】解：1）C點標為（，）,BC=6,OB=BC-OC=4,B（），，BCD=,,);D(0,（存在

x?x+=

(x+1)2M(?1,)，?4,0),D(0,)，如圖，當BM為行邊形的對角線時，點向左平移個單位再下平移

個單位得到B，則點M(?1,向左平移個位再向下平移個當DM為行四邊形BDMN的角時，

單位得到(?5,)；點向平移3個位再上移

個單位得到D則點M(?1,

)向平移4個位再向上平移

個單位得到(3,；當BD為行四邊形的角線時，點向平移個單位再向下平移

個單位得到D，則點B(向平移1個單位再向下平移

個單位得到N(?3,?)；

綜上所述以B,D,M,N為點的四形為平行四邊形點的標(，

或3,或?3,?

）【分析】（）據點的標，求出的度，進而求出OB的長度，得出B點坐標。根據正切函數的定義得出OD的度，從而得出D點坐標；（）待定系法，分別將：將2，）B（），D(0,);三分別代入y=ax+bx+c得得出關于a,b,c的元一次方程組，求解得出a,b,c的，從而得出解析式；（）根平行四邊形的性質得出AB=CD=4，，A=BCD=60°，根據AE=3BE，從而得出AE=3，據銳角三角函數的定義得出AE＝然根兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似得eq\o\ac(△,)COD，據相似三角形對應角相等得出ADE=CDO，根據等量代換得出，CDDE，據90°的圓周角所對的弦是直徑得出CD為P的直徑，從而得出結論；（）先求出物線的頂點M的坐標，然后按當為平行四邊形的對角線時；當DM為行四邊形BDMN的角線時；當BD為平行四邊形BDMN的角線時；三種情況，找到其他點的平移規律即可得出點坐標。4．如圖1，過原點O的拋物線（）與x軸于另一點A0）在第一象限內與直線y=x交點（，）（）這條拋線的表達式；（）第四象內的拋物線上有一點C，足以B，，為頂點的三角形的面積為2，點的標；（）圖2，點在這條拋物線上，，在）的條件下，是否存在點P，eq\o\ac(△,)△MOB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

1212【答案】（）：（，）直線y=x上，t=2，B2，）把、兩坐標代入拋物線解析式可得

，解得，拋線解析式為2﹣3x（）：如圖，過C作y軸，交軸點，OB于點，作BFCD于F，點是拋物線上第四象限的點，可C（，2﹣3t），則（，），（，）OE=t，﹣，CD=t﹣（2t﹣）﹣2，

eq\o\ac(△,)OBC

=CD?OE+CD?BF=（﹣

+4t）t+2﹣）﹣2t，OBC的面積為2﹣2+4t=2，得=1C1，1）（）：存在設交y軸于點N，圖2，

B（，），AOB=，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)NOB中（），（，）可直線解析式為，點標代入可得2=2k+，得k=，直的析式為y=x+，立直線和物線解析式可得，得或，M﹣，），C1，1）COA=，且B（2），

，OC=

，△，

==2POC=BOM，當點P在第一象限時，如圖，M作y軸點，作PHx軸點，

COA=BOG=45°，，且PHO=MGO，MOG△POH，M﹣，），

==2，MG=，MG=

，，

，（，）；當點P在第三象限時，如圖，M作y軸點，作PHy軸于點，同理可求得PH=MG=

，

，（﹣，）；綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標（，）或（﹣，）【解析】【分析】（）據已知拋物線在第一象限內與直線y=x交于點B（，）可求出點的坐標，再將點、的坐標分別代入，建立二元一次方程組，求出、

的值，即可求得答案。（）作CDy軸交x軸于點E，交于點D，作BFCD于F，知點、、、F的橫坐標相等，因此設設（，2﹣）則E（0）（，）（2,再表示出OE、、的，然后根據

eq\o\ac(△,)OBC

=2，建立關的方程，求出的值，即可得出點的坐標。（）據已知件易eq\o\ac(△,)AOB，可出的長，得出點N的標，再根據點B、的坐標求出直線BN的函數解析式，再將二次函數和直線BN聯立方程組，求出點M的坐標，求出、的長，再根eq\o\ac(△,)△MOB，得出，POC=BOM，然后分情況討論：當點在一象限時，如圖，過M作y軸于點，過P作x軸于點，eq\o\ac(△,)MOGPOH，出對應邊成比例，即可求出點P的坐標；當點P在第三象限時，如圖4，M作MG軸于點G，P作PHy軸點，理可得出點P的坐標，即可得出答案。5．（）題發現如①，正方形AEFG的邊分別在正方形ABCD的AB和上連接①寫線段CF與DG的數量關系；②寫直線CF與DG所夾銳角的度.（）展探究如圖，將正方形AEFG繞A逆針旋轉，在旋轉的過程中，（）的論是否仍然成立，請利用圖進說.（）題解決

如圖，eq\o\ac(△,)都等腰直角三角形DAE=90°，，為的點若D在直線BC上動，連接，則在點D的動過程中，線段OE的的最小值（直接寫出結果）【答案】（）（）：如圖

DG，①連AC在正方形中延長CF交DG與H點BCD=45,設，得AC=a=AD,同理在正方形AEFG中，FAG=45,AF=

AG,CAD=FAG,3

CAD-2=又DAG,=CF=DG;②eq\o\ac(△,)，

4=，ACD=6+7=135，

6=45，eq\o\ac(△,)中，CHD=180-135=45，

（）的結論然成立（）的小為

.

【解析】【解答】（）圖：由,可得BAD=CAE,又可eq\o\ac(△,)CAE,ACE=ABC=45,又

,

BCE=90即CEBC,根據點到直線的距離垂線段最短，CE時OE最短，此時OEC為腰直角三角形，OC=AC=2,由等腰直角三角形性質易得，OE=

，OE的小值為.【分析】（）易CF=

DG;

；連、在方形ABCD中，可得DAG

=,

CF=，CHD中CHD=180-135=45，（）的結論否仍然成立；3OECE時OE最，此時OE=CE,OEC為等腰直角三角形，可得OE的值.6．如圖，拋物線y=ax+bx+c過點、點（2，4）點B3﹣）與軸交于點C，線AB交軸于點，交軸于點E．（）拋物線函數表達式和頂點坐標；（）線x軸，垂足為點F，上一點，GBA△AOD，此時點的標；（）直線AF左側的拋物線上點M作線的垂線，垂足為點N，若BMN=OAF求直線BM的數表達式．【答案】（）解：將原點（）點A（﹣）點B（，），分別代入

y=ax，得

，解得

，y=x

-4x=

，頂為，）.（）：設直為y=kx+b，由點A（，），（，）得直AB為y=x-6.當時，，點（，）點（，），（）（，）

解得，

，，

，，，，AB=

，DF=AF又AFx軸AD0=，GBAAOD，解得

，，，FG=AF-AG=4-

，點G（，

）（）：如圖，

∠OAF，，∠AOF，設直線BM與交于點，ABH=，HAB=，

，則，得AH=，H（，）設直線BM為y=kx+b，將、的標代入得

，解得．直BM的析式為y=如圖，

；

BD=AD-AB=

．∠OAF，ODA，△AOD．

，即，解得．點的坐標為（，）設直線BM的析式為．將和的坐標代入得：直BM的析式為y=-3x+6綜上所述，直線的解析式為

，解得k=-3，．或y=-3x+6【解析】【分析】（）原點O（0,0）、點（，﹣）點（，3）分別代入y=ax，聯立方程組解答即可a,b,c的，得到二次函數解析式；將解析式配成頂點式，可得頂點；2）eq\o\ac(△,由)△AOD，可得，別求出AB，的長即可求出，由點A的標，即可求出點；）點M在線AF的左側，可發出垂足N可以在線段AB上也可以在的長線上，故有如圖和圖兩可能；設直線與直線AF的點為H，（）知，參加（）方法可求出點的坐標，從而求出直線BM的析.7．已知：如圖，在梯形ABCD中，，D90°＝＝，E在邊AD上不與點A重）＝，與角線相交于點F，設DE＝

BAFBAF（）含x的數式表示線段CF的；（）果eq\o\ac(△,)的周長記作

CAE

，的長記作C，＝，y關于的函數關系式，并寫出它的定義域；（）當ABE的切值是

時，求AB的長.【答案】（）：AD=CD.DAC=ACD=45°，，DAC=，ECA=ECA，

，在eq\o\ac(△,)CDE中根據勾股定理得CE=

，

，

，CF=

；（）：，CEB=，﹣CEB﹣CFE=180°﹣CAB，ABF=180°CAB﹣AFB，ECA=ABF，CAE=ABF=45°，△，（）：由（）知eq\o\ac(△,)CEA△，

（＜＜

，AB=x+2，的切值是，

，，x=，AB=x+2=.【解析】【分】（1）據等腰直角三角形的性質，求得，進而根據兩角對應相等的兩三角形相似，可得CEF△CAE，然后根據相似三角形的性質和勾股定理可求解；（）據相似三角形的判定與性質，由三角形的周長比可求解；3由（中的相似三角形的對應邊成比例，可求出AB的系，然后可ABE的正切值求.8．如圖，eq\o\ac(△,)ABC中=AC，以AB為直徑的O分別交BC，于D，，連結EB，交OD于．（）證BE．（）=

，，求的．（）eq\o\ac(△,)CDE的積eq\o\ac(△,)OBF面積的，求線段BC與AC長度之間的等量關系，并說明理由．【答案】（）明：連接，

OBFOBFOBFOBFCDE+S=8S，AB是直徑，AEB=ADB=90°，，CAD=BAD，，

，ODBE；（）：AEB=90°，，BD=CD，BC=2DE=2

，四形內于，BDE=180°，CDE+BDE=180°，CDE=BAC，C，△CAB，

，即，，AE=AC-CE=AB-CE=4（）：BD=CD，

eq\o\ac(△,)CDE

，BD=CD，OD，OBF△，

，

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

=4S，，=4S=6S，

eq\o\ac(△,)

CDE△CAB，

，

eq\o\ac(△,)OBFeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)OBFeq\o\ac(△,)CDEeq\o\ac(△,)CDE

，BD=CD，，

，即AC=BC【解析】【分析】（）接．據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的性質以及平行線的性質即可證明；（2先證CDE△CAB得，此求得CE的長，依據AE=AC-CE=AB-CE可答案；（3）BD=CD知

eq\o\ac(△,)CDE

，證OBFABE得，據此知=4S

，結

知=6S

，=8S，eq\o\ac(△,)CDE△CAB知

，據此得出，合BD=CD，AB=AC知，從而得出答案．二、圓綜合9．如圖，知扇形的徑為2，，B在弧MN上移動，聯結，作ODBM，足為點，為段上點，且，結BC并長交半徑OM點，設，COM的正切值為y.（）圖2，ABOM，求證：AM=AC；（）關于的數關系式，并寫出定義域；（）eq\o\ac(△,)為腰三角形時，求x的值【答案】證見析(2)

.(

02

);(3)

2

.【解析】分析：1）判斷出ABMDOM進而判斷eq\o\ac(△,)OAC，可得出結論；（）判斷出BDDM進而得出

DMME，進而得出AE（2判斷出BDAE

22OADMOEODOD

，即可得出結論；（）三種情利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結論．詳解：1）OD，OMODM．ABM+MDOMM，ABM=DOM．OAC=BAM，，，AC=AM．（）圖2，點D作DEAB，OM于點．OBOM，，BD=DM．DEAB，

DM，=EM=2，=（AEDEAB，

OA2DMOE

，

DMOAOE2

．（0＜x2）（）i）當OA時．

DM

1BMOCx2

．在eq\o\ac(△,)中，OD2DM2

2

．

1DMOD224

．解得x

14，或x2

（舍）．（）AC時則=．＞COBCOB=，＞AOC，此情況不存在．（）=CA時則COACAOα．＞，=90°﹣，α＞α，α＞，BOAα＞BOA此情況不存在．2即：eq\o\ac(△,)為腰三角形時x的為．點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，圓的有關性質，勾股定理，等腰三角形的性質，建立y關于x的數關系式是解答本題的關鍵．

10．圖為O的徑，弦CD/

，是延線上一點，

．O的線嗎？請說明理由；

求證：

2

．【答案】（）論：是

eO

的切線，理由見解析；（）證明見解.【解析】【分析】（）接，只要證明ODDE即；（）要證明

，

VCDBVDBE

即可解決問.【詳解】

解：結論：是的線．理由：連接．QADE，ADC，Q/，CDADAB，QOAOD，，ADOEDB，QAB是徑，ADB90o，ADBDEOD，

o

，是

eO

的切線．/AB

，ADCDAB，CDBDBE

，

????ACBDACBD

，，QDCB

，EDBDAB，

VDBE，DBBE

，BDAC

CD，．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、圓周角定理、切線的判定等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，準確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題.11．圖，四邊形ABCD內接O，角線AC為O的直徑，過點C作AC的線交的延長線于點，點為CE的點，連接，DF．（）證：DF是O的線；（）平ADC，

52，

DE1，的．【答案】見;【解析】分析：1）接利用直角三角形的性質得出DF=，再求FDO=FCO得出答案即可；（）先得出=BC即可得出它們的長，再利eq\o\ac(△,)～ACE，出AC=AD?，進而得出答案．詳解：1）接．=，OCD．AC為O的直徑，ADC=90°．點F為的點DF==EF，FDCFCD，=FCO．又ACCE，FDO，DFO的線．（）AC為O的徑，ADCABC．平分，=，=在eq\o\ac(△,)中，22BC=100．

，BC=AB=52．

又ACCE，ACE=90°，eq\o\ac(△,)，

=AC=AE．設DE為x，AD：DE：1，ADx，x，x?5x，=

5，=5．點睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質，正確得出A=AD?AE是解題的關鍵．12．圖，在

中，

BAC90

AB

2,

ADBC

，垂足為，A

的O分別與

AB,AC

交于點

F

，連接

EF,

．（）證：

；（）

與O相切時，求O的積．【答案】見;

2

.【解析】分析：1）等腰直角三角形的性質知、1=，=90°知EF是O的直徑，據此知4=90°，得，利用“ASA證明即可得；（）BC與O相時是徑，根據C、=公式可得答案．詳解：1）圖ABAC=90°，．

可，利用圓的面積又ADBC，AC，1=

BAC=45°，BD=，=90°．又BAC=90°，BDCDAD=．又EAF=90°，EF是O的徑EDF，2+4=90°．又3+，3．eq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,)CDF中．

2222CD

，ADE（）

（）BC與O相時是徑．在eq\o\ac(△,)ADC中=45°，=

，sinC=

AD2，AD=1，O的半徑為，O的面積為．AC4點睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、與圓有關的位置關系等知識點．13．圖．eq\o\ac(△,)中，C=90°=BC，cm，點在AB上，AP，E從點出沿段PA以2cm/s的度向點A運，同時點F從出沿線段以c的速度向點B運動，點到達點后刻以原速度沿線段向運動，在點E、運過程中，以EF為作正方形EFGH，它eq\o\ac(△,)在段的側，設點、F運動的時間為（）（0t＜）．（）點H落邊時，求的值；（）正方形EFGH與重部分的面積為．試S關于的函數表達式②點為圓心，

t為徑作C，與GH所的直線相切時，求此時S的．2【答案】（）或10s；2）①S=50240(1020)

；【解析】試題分析：1）圖1中，當t時，由題意AEEH=EF即﹣t=3t，=2；圖2中，當5＜＜20時，AE=，t﹣﹣（t﹣）t，=10（）四種切討論、如圖中，當＜≤2時重疊部分是正方形EFGH，=3t）

=9t2．、圖

4中當＜≤5時，重疊部分是五邊形．、如圖中，當5＜＜10時，重疊部分是五邊形EFGMN．、圖6中當10＜20時，重疊部分是正方形．別計算即可；②分種情形分別列出方程即可解決問題．試題解析：解：1）圖1中，當＜≤5時，由題意得：=EH，即10﹣t=3，=2如圖中當5＜＜20時AEHE，t10=10（t﹣）+，=10．綜上所述：=2s或10s時，點H落邊．（）如圖中，當＜≤2時重疊部分是正方形EFGHS（3t）=92如圖中當2＜≤5時，重疊部分是五邊形，=（t）﹣t+50t﹣．

（t﹣）=﹣

2222如圖中當5＜＜10時，重疊部分是五邊形EFGMN，=（﹣）﹣t+50t﹣．

（﹣t）=﹣如圖中當＜t＜時重疊部分是正方形EFGH，=（﹣）=﹣+400．22)綜上所述：=tt400?(1020)

．②如7中，當＜≤5時

t，解得t=，時S2當5＜＜20時，

t﹣=15，解得：=10此時S=100綜上所述：C與GH所在的線相切時，求此時S的為cm點睛：本題考查了圓綜合題、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、切線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．14．知A（），（）CBx軸點B連接畫圖操作：（）正半軸上求作點P使得（規作圖，保留作圖痕跡）理解應用：（）（）的條件下，①若

，求點P的標②當的標為拓展延伸：

時，APB最（）在直線y

x+4上在點P，使APB最，求點P的坐標

【答案】（）形見解析2（，，0）（，3）（）5）

5

，【解析】試題分析：1）AC為徑畫圓交y軸，連接、，即所求；（）由題意AC的點K（，）以為圓心AK為徑畫圓，交y軸和P，易知P（，）P（，）；②當K與y軸切時，的值最大，（）如圖3中當經過的與直線相切時，最．想辦法求出點坐標即可解決問題；試題解析：解：1）如所示；（）如圖中=ACB，=tan=

AB=．A（，）BC（，），AB，，（，），AC的中點（，）以為圓心AK為徑畫圓，交y軸于P和P，知P（，），（，）②當K與y軸切時，的值最大，此時AK=4AC，=

22=43，C（，43）（4，

），P（，

3）．故答案為：0，3．（）圖3中當經過的與直線相切時APB最．直