第一章函數與極限§1.1映射與函數一、集合1.集合概念集合(簡稱集):集合是指具有某種特定性質的事物的總體.用AB,M等表示.元素:組成集合的事物稱為集合的元素.a是集合M的元素表示為a?M.集合的表示:【列舉法】把集合的全體元素一一列舉出來.例如A={a,b,c,d,e,f,g}.【描述法】若集合M是由元素具有某種性質P的元素x的全體所組成,則M可表示為M={x|x具有性質P}.例如M={(x,y)|x,y為實數,x2+y2=1}.幾個數集:N表示所有自然數構成的集合,稱為自然數集.N={0,1,2,×××,n,×××}.N+={1,2,×××,n,×××}.R表示所有實數構成的集合,稱為實數集.Z表示所有整數構成的集合,稱為整數集.Z={×××,-n,×××,-2,-1,0,1,2,×××,n,×××}.Q表示所有有理數構成的集合,稱為有理數集.子集:若x?A,則必有x?B,則稱A是B的子集,記為AìB或BéA.如果集合A與集合B互為子集,AìB且BìA,則稱集合A與集合B相等,記作A=B.若AìB且A1B,則稱A是B的真子集,記作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合稱為空集,記作?.規定空集是任何集合的子集.2.集合的運算設A、B是兩個集合,由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡稱并),記作AèB,即AèB={x|x?A或x?B}.設A、B是兩個集合,由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡稱交),記作A?B,即A?B={x|x?A且x?B}.設A、B是兩個集合,由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差),記作A\B,即A\B={x|x?A且x?B}.如果我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進行,所研究的其他集合A都是I的子集.此時,我們稱集合I為全集或基本集.稱I\A為A的余集或補集,記作AC.集合運算的法則:設A、B、C為任意三個集合,則【交換律】AèB=BèA,A?B=B?A;【結合律】(AèB)èC=Aè(BèC),(A?B)?C=A?(B?C);【分配律】(AèB)?C=(A?C)è(B?C),(A?B)èC=(AèC)?(BèC);【對偶律】(AèB)C=AC?BC,(A?B)C=ACèBC.(AèB)C=AC?BC的證明:x?(AèB)C?x?AèB?x?A且x?B?x?AC且x?BC?x?AC?BC,所以(AèB)C=AC?BC.直積(笛卡兒乘積):設A、B是任意兩個集合,在集合A中任意取一個元素x,在集合B中任意取一個元素y,組成一個有序對(x,y),把這樣的有序對作為新元素,它們全體組成的集合稱為集合A與集合B的直積,記為A′B,即A′B={(x,y)|x?A且y?B}.例如,R′R={(x,y)|x?R且y?R}即為xOy面上全體點的集合,R′R常記作R2.3.區間和鄰域有限區間:設ab,稱數集{x|axb}為開區間,記為(a,b),即(a,b)={x|axb}.類似地有[a,b]={x|a￡x￡b}稱為閉區間,[a,b)={x|a￡xb}、(a,b]={x|ax￡b}稱為半開區間.其中a和b稱為區間(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端點,b-a稱為區間的長度.無限區間:[a,+￥)={x|a￡x},(-￥,b)={x|xb},(-￥,+￥)={x||x|+￥}.區間在數軸上的表示:鄰域:以點a為中心的任何開區間稱為點a的鄰域,記作U(a).設d是一正數,則稱開區間(a-d,a+d)為點a的d鄰域,記作U(a,d),即U(a,d)={x|a-dxa+d}={x||x-a|d}.其中點a稱為鄰域的中心,d稱為鄰域的半徑.去心鄰域(a,d):二、映射1.映射的概念定義設X、Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應,則稱f為從X到Y的映射,記作f:X?Y,其中y稱為元素x(在映射f下)的像,并記作f(x),即y=f(x),而元素x稱為元素y(在映射f下)的一個原像;集合X稱為映射f的定義域,記作Df,即Df=X;X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域,記為Rf,或f(X),即Rf=f(X)={f(x)|x?X}.需要注意的問題:(1)構成一個映射必須具備以下三個要素:集合X,即定義域Df=X;集合Y,即值域的范圍:RfìY;對應法則f,使對每個x?X,有唯一確定的y=f(x)與之對應.(2)對每個x?X,元素x的像y是唯一的;而對每個y?Rf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一個子集,即RfìY,不一定Rf=Y.例1設f:R?R,對每個x?R,f(x)=x2.顯然,f是一個映射,f的定義域Df=R,值域Rf={y|y30},它是R的一個真子集.對于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2兩個.例2設X={(x,y)|x2+y2=1},Y={(x,0)||x|￡1},f:X?Y,對每個(x,y)?X,有唯一確定的(x,0)?Y與之對應.顯然f是一個映射,f的定義域Df=X,值域Rf=Y.在幾何上,這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區間[-1,1]上.(3)f:?[-1,1],對每個x?,f(x)=sinx.f是一個映射,定義域Df=,值域Rf=[-1,1].滿射、單射和雙射:設f是從集合X到集合Y的映射,若Rf=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,則稱f為X到Y上的映射或滿射;若對X中任意兩個不同元素x11x2,它們的像f(x1)1f(x2),則稱f為X到Y的單射;若映射f既是單射,又是滿射,則稱f為一一映射(或雙射).上述三例各是什么映射？2.逆映射與復合映射設f是X到Y的單射,則由定義,對每個y?Rf,有唯一的x?X,適合f(x)=y,于是,我們可定義一個從Rf到X的新映射g,即g:Rf?X,對每個y?Rf,規定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.這個映射g稱為f的逆映射,記作f-1,其定義域,值域.按上述定義,只有單射才存在逆映射.上述三例中哪個映射存在逆映射？設有兩個映射g:X?Y1,f:Y2?Z其中Y1ìY2.則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應法則,它將每個x?X映射成f[g(x)]?Z.顯然,這個對應法則確定了一個從X到Z的映射,這個映射稱為映射g和f構成的復合映射,記作,即:X?Z,,x?X.應注意的問題:映射g和f構成復合映射的條件是:g的值域Rg必須包含在f的定義域內,RgìDf.否則,不能構成復合映射.由此可以知道,映射g和f的復合是有順序的,fog有意義并不表示gof也有意義.即使fog與gof都有意義,復映射fog與gof也未必相同.例4設有映射g:R?[-1,1],對每個x?R,g(x)=sinx,映射f:[-1,1]?[0,1],對每個u?[-1,1],.則映射g和f構成復映射fog:R?[0,1],對每個x?R,有.三、函數1.函數概念定義設數集DìR,則稱映射f:D?R為定義在D上的函數,通常簡記為y=f(x),x?D,其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域,記作Df,即Df=D.應注意的問題:記號f和f(x)的含義是有區別的,前者表示自變量x和因變量y之間的對應法則,而后者表示與自變量x對應的函數值.但為了敘述方便,習慣上常用記號“f(x),x?D”或“y=f(x),x?D”來表示定義在D上的函數,這時應理解為由它所確定的函數f.函數符號:函數y=f(x)中表示對應關系的記號f也可改用其它字母,例如“F”,“j”等.此時函數就記作y=j(x),y=F(x).函數的兩要素:函數是從實數集到實數集的映射,其值域總在R內,因此構成函數的要素是定義域Df及對應法則f.如果兩個函數的定義域相同,對應法則也相同,那么這兩個函數就是相同的,否則就是不同的.函數的定義域:函數的定義域通常按以下兩種情形來確定:一種是對有實際背景的函數,根據實際背景中變量的實際意義確定.例如,在自由落體運動中,設物體下落的時間為t,下落的距離為s,開始下落的時刻t=0,落地的時刻t=T,則s與t之間的函數關系是,t?[0,T].這個函數的定義域就是區間[0,T];另一種是對抽象地用算式表達的函數,通常約定這種函數的定義域是使得算式有意義的一切實數組成的集合,這種定義域稱為函數的自然定義域.在這種約定之下,一般的用算式表達的函數可用“y=f(x)”表達,而不必再表出Df.例如,函數的定義域是閉區間[-1,1],函數的定義域是開區間(-1,1).求定義域舉例:求函數的定義域.要使函數有意義,必須x10,且x2-430.解不等式得|x|32.所以函數的定義域為D={x||x|32},或D=(-￥,2]è[2,+￥]).單值函數與多值函數:在函數的定義中，對每個x?D,對應的函數值y總是唯一的,這樣定義的函數稱為單值函數.如果給定一個對應法則,按這個法則,對每個x?D,總有確定的y值與之對應,但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數.例如,設變量x和y之間的對應法則由方程x2+y2=r2給出.顯然,對每個x?[-r,r]，由方程x2+y2=r2,可確定出對應的y值,當x=r或x=-r時,對應y=0一個值;當x取(-r,r)內任一個值時,對應的y有兩個值.所以這方程確定了一個多值函數.對于多值函數,往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數,這樣得到的單值函數稱為多值函數的單值分支.例如,在由方程x2+y2=r2給出的對應法則中,附加“y30”的條件,即以“x2+y2=r2且y30”作為對應法則,就可得到一個單值分支;附加“y￡0”的條件,即以“x2+y2=r2且y￡0”作為對應法則,就可得到另一個單值分支表示函數的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法),這在中學里大家已經熟悉.其中,用圖形法表示函數是基于函數圖形的概念,即坐標平面上的點集{P(x,y)|y=f(x),x?D}稱為函數y=f(x),x?D的圖形.圖中的Rf表示函數y=f(x)的值域.函數的例子:例5函數y=2.其定義域為D=(-￥,+￥),值域為Rf={2}圖形為一條平行于x軸的直線例6.函數.稱為絕對值函數.其定義域為D=(-￥,+￥),值域為Rf=[0,+￥).例7.函數.稱為符號函數.其定義域為D=(-￥,+￥),值域為Rf={-1,0,1}.例8設x為任上實數.不超過x的最大整數稱為x的整數部分,記作[x].函數y=[x]稱為取整函數.其定義域為D=(-￥,+￥),值域為Rf=Z.,,[p]=3,[-1]=-1,[-3.5]=-4.分段函數:在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數.例9.函數.這是一個分段函數,其定義域為D=[0,1]è(0,+￥)=[0,+￥).當0￡x￡1時,;當x>1時,y=1+x.例如;;f(3)=1+3=4.2.函數的幾種特性(1)函數的有界性設函數f(x)的定義域為D,數集XìD.如果存在數K1,使對任一x?X,有f(x)￡K1,則稱函數f(x)在X上有上界,而稱K1為函數f(x)在X上的一個上界.圖形特點是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方.如果存在數K2,使對任一x?X,有f(x)3K2,則稱函數f(x)在X上有下界,而稱K2為函數f(x)在X上的一個下界.圖形特點是,函數y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方.如果存在正數M,使對任一x?X,有|f(x)|￡M,則稱函數f(x)在X上有界;如果這樣的M不存在,則稱函數f(x)在X上無界.圖形特點是,函數y=f(x)的圖形在直線y=-M和y=M的之間.函數f(x)無界,就是說對任何M,總存在x1?X,使|f(x)|>M.例如(1)f(x)=sinx在(-￥,+￥)上是有界的:|sinx|￡1.(2)函數在開區間(0,1)內是無上界的.或者說它在(0,1)內有下界,無上界.這是因為,對于任一M>1,總有x1:,使,所以函數無上界.函數在(1,2)內是有界的.(2)函數的單調性設函數y=f(x)的定義域為D,區間IìD.如果對于區間I上任意兩點x1及x2,當x1<x2時,恒有f(x1)<f(x2),則稱函數f(x)在區間I上是單調增加的.如果對于區間I上任意兩點x1及x2,當x1<x2時,恒有f(x1)>f(x2),則稱函數f(x)在區間I上是單調減少的.單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數.函數單調性舉例:函數y=x2在區間(-￥,0]上是單調增加的,在區間[0,+￥)上是單調減少的,在（-￥,+￥）上不是單調的.(3)函數的奇偶性設函數f(x)的定義域D關于原點對稱(即若x?D,則-x?D).如果對于任一x?D,有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數.如果對于任一x?D,有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數.偶函數的圖形關于y軸對稱,奇函數的圖形關于原點對稱,奇偶函數舉例:y=x2,y=cosx都是偶函數.y=x3,y=sinx都是奇函數,y=sinx+cosx是非奇非偶函數.(4)函數的周期性設函數f(x)的定義域為D.如果存在一個正數l,使得對于任一x?D有(x±l)?D,且f(x+l)=f(x)則稱f(x)為周期函數,l稱為f(x)的周期.周期函數的圖形特點:在函數的定義域內,每個長度為l的區間上,函數的圖形有相同的形狀.3．反函數與復合函數反函數:設函數f:D?f(D)是單射,則它存在逆映射f-1:f(D)?D,稱此映射f-1為函數f的反函數按此定義,對每個y?f(D),有唯一的x?D,使得f(x)=y,于是有f-1(y)=x.這就是說,反函數f-1的對應法則是完全由函數f的對應法則所確定的.例如,函數y=x3,x?R是單射,所以它的反函數存在,其反函數為,y?R.由于習慣上自變量用x表示,因變量用因變量用表示,于是y=x3,x?R的反函數通常寫作,x?R.一般地,y=f(x),x?D的反函數記成y=f-1(x),x?f(D).若f是定義在D上的單調函數,則f:D?f(D)是單射,于是f的反函數f-1必定存在,而且容易證明f-1也是f(D)上的單調函數.相對于反函數y=f-1(x)來說,原來的函數y=f(x)稱為直接函數.把函數y=f(x)和它的反函數y=f-1(x)的圖形畫在同一坐標平面上,這兩個圖形關于直線y=x是對稱的.這是因為如果P(a,b)是y=f(x)圖形上的點,則有b=f(a).按反函數的定義,有a=f-1(b),故Q(b,a)是y=f-1(x)圖形上的點;反之,若Q(b,a)是y=f-1(x)圖形上的點,則P(a,b)是y=f(x)圖形上的點.而P(a,b)與Q(b,a)是關于直線y=x對稱的.復合函數:復合函數是復合映射的一種特例,按照通常函數的記號,復合函數的概念可如下表述.設函數y=f(u)的定義域為D1,函數u=g(x)在D上有定義且g(D)ìD1,則由下式確定的函數y=f[g(x)],x?D稱為由函數u=g(x)和函數y=f(u)構成的復合函數,它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數g與函數f構成的復合函數通常記為,即()=f[g(x)].與復合映射一樣,g與f構成的復合函數的條件是:是函數g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內,即g(D)ìDf.否則,不能構成復合函數.例如,y=f(u)=arcsinu,的定義域為[-1,1],在上有定義,且g(D)ì[-1,1],則g與f可構成復合函數,x?D;但函數y=arcsinu和函數u=2+x2不能構成復合函數,這是因為對任x?R,u=2+x2均不在y=arcsinu的定義域[-1,1]內.多個函數的復合:4.函數的運算設函數f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,D=D1?D21?,則我們可以定義這兩個函數的下列運算:和(差)f±g:(f±g)(x)=f(x)±g(x),x?D;積f×g:(f×g)(x)=f(x)×g(x),x?D;商:,x?D\{x|g(x)=0}.例11設函數f(x)的定義域為(-l,l),證明必存在(-l,l)上的偶函數g(x)及奇函數h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).分析如果f(x)=g(x)+h(x),則f(-x)=g(x)-h(x),于是,.證作,,則f(x)=g(x)+h(x),且,.5.初等函數基本初等函數:冪函數:y=xm(m?R是常數);指數函數:y=ax(a>0且a11);對數函數:y=logax(a>0且a11,特別當a=e時,記為y=lnx);三角函數:y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx;反三角函數:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.初等函數:由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.例如,y=sin2x,等都是初等函數.雙曲函數:雙曲正弦:;雙曲余弦:;雙曲正切:.雙曲函數的性質:sh(x+y)=shx×chy±chx×shy;ch(x±y)=chx×chy±shx×shy.ch2x-sh2x=1;sh2x=2shx×chx;ch2x=ch2x+sh2x.下面證明sh(x+y)=shx×chychx×shy:.反雙曲函數:雙曲函數y=shx,y=chx(x30),y=thx的反函數依次為反雙曲正弦:y=arshx;反雙曲余弦:y=archx;反雙曲正切:y=arthx.反雙曲函數的表示達式:y=arshx是x=shy的反函數,因此,從中解出y來便是arshx.令u=ey,則由上式有u2-2xu-1=0.這是關于u的一個二次方程,它的根為.因為u=ey>0,故上式根號前應取正號,于是.由于y=lnu,故得.函數y=arshx的定義域為(-￥,+￥),它是奇函數,在區間(-￥,+￥)內為單調增加的.類似地可得,.§1.3數列的極限一個實際問題:如可用漸近的方程法求圓的面積？設有一圓,首先作內接正四邊形,它的面積記為A1；再作內接正八邊形,它的面積記為A2；再作內接正十六邊形,它的面積記為A3；如此下去,每次邊數加倍,一般把內接正8×2n-1邊形的面積記為An.這樣就得到一系列內接正多邊形的面積:A1,A2,A3,×××,An,×設想n無限增大（記為n,讀作n趨于窮大）,即內接正多邊形的邊數無限增加,在這個過程中,內接正多邊形無限接近于圓,同時An也無限接近于某一確定的數值,這個確定的數值就理解為圓的面積.這個確定的數值在數學上稱為上面有次序的數（數列）A1,A2,A3,×××,An,×××當數列的概念:如果按照某一法則,使得對任何一個正整數n有一個確定的數xn,則得到一列有次序的數 x1,x2,x3,×××,xn,×××這一列有次序的數就叫做數列,記為{xn},其中第n項xn叫做數列的一般項. 數列的例子:{}:,,,×××,;{2n:2,4,8,×××,2n,×××;{}:,,,×××,,×××;{(-1)n+1:1,-1,1,×××,(-1)n+1,×××;{}:2,,,×××,,×××.它們的一般項依次為,2n,,(-1)n+1,.數列的幾何意義:數列{xn}可以看作數軸上的一個動點,它依次取數軸上的點x1,x2,x3,×××,xn,×××.數列與函數:數列{xn}可以看作自變量為正整數n的函數:xn=f(n),它的定義域是全體正整數.數列的極限:數列的極限的通俗定義:對于數列{xn},如果當n無限增大時,數列的一般項xn無限地接近于某一確定的數值a,則稱常數a是數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂a.記為.如果數列沒有極限,就說數列是發散的.例如,,;而{2n},{(-1)n+1},是發散的.對無限接近的刻劃:xn無限接近于a等價于|xn-a|無限接近于0,分析:當n無限增大時,xn無限接近于a?當n無限增大時,|xn-a|無限接近于0?當n無限增在大時,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.?當n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數.因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數,則當n無限增大時xn無限接近于常數a.考查數列{}:2,,,×××,,×××因為所以當n越來越大時越來越小從而xn就越來越接近于1因為只要n足夠大|xn1|可以小于任意給定的正數所以說當n無限增大時xn無限接近于1例如給定要使只要n100給定要使只要n10000不論給定的正數多么小要使只要極限的精確定義:定義如果數列{xn}與常a有下列關系:對于任意給定的正數不論它多么小,總存在正整數N,使得對于n>N時的一切xn,不等式|xn-a|<都成立,則稱常數a是數列{xn}的極限,或者稱數列{xn}收斂于a,記為或xna(n).如果數列沒有極限,就說數列是發散的.0,NN+,當nN時,有|xn-a|.數列極限的幾何解釋:例題:例1.證明.分析:|xn-1|=.對于>0,要使|xn-1|<,只要,即.證明:因為0,N+,當nN時,有|xn-1|=,所以.例2.證明.分析:|xn-0|.對于>0,要使|xn-0|<,只要,即.證明:因為>0,N+,當n>N時,有|xn-0|=,所以.例3.設|q|<1,證明等比數列1,q,q2,×××,qn-1,×××的極限是0.分析:對于任意給定的>0,要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<,只要n>log|q|+1就可以了,故可取N=[log|q|+1]。證明:因為對于任意給定的>0,存在N=[log|q|+1],當nN時,有|qn-1-0|=|q|n-1<,所以.收斂數列的性質:定理1(極限的唯一性)數列{xn}不能收斂于兩個不同的極限.證明:假設同時有及,且a<b.按極限的定義,對于>0,存在充分大的正整數N,使當n>N時,同時有|xn-a|<及|xn-b|<,因此同時有及,這是不可能的.所以只能有a=b.數列的有界性:對于數列xn}，如果存在著正數M，使得對一切xn都滿足不等式|xn|￡M,則稱數列{xn}是有界的;如果這樣的正數M不存在，就說數列{xn}是無界的定理2(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂,那么數列{xn}一定有界.證明:設數列{xn}收斂,且收斂于a,根據數列極限的定義,對于=1,存在正整數N,使對于n>N時的一切xn,不等式|xn-a|<=1都成立.于是當n>N時,|xn|=|(xn-a)+a|￡|xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max{|x1|,|x2|,×××,|xN|,1+|a|},那么數列{xn}中的一切xn都滿足不等式|xn|￡M.這就證明了數列{xn}是有界的.定理3收斂數列的保號性)如果數列{xn}收斂于a,且a0(或a0),那么存在正整數N,當nN時,有xn0(或xn0).證就a0的情形證明.由數列極限的定義,對,NN+,當nN時,有,從而.推論如果數列{xn}從某項起有xn0(或xn0),且數列{xn}收斂于a,那么a0(或a0).證明就xn0情形證明.設數列{xn}從N1項起,即當nN1時有xn0.現在用反證法證明,或a0,則由定理3知,N2N+,當nN2時,有xn0.取N=max{N1,N2},當nN時,按假定有xn0,按定理3有xn0,這引起矛盾.所以必有a0.子數列:在數列{xn}中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列中的先后次序,這樣得到的一個數列稱為原數列{xn}的子數列.例如,數列{xn}:1,-1,1,-1,×××,(-1)n+1×××的一子數列為{x2n}:-1,-1,-1,×××,(-1)2n+1×××.定理3(收斂數列與其子數列間的關系)如果數列{xn}收斂于a,那么它的任一子數列也收斂,且極限也是a.證明:設數列是數列{xn}的任一子數列.因為數列{xn}收斂于a,所以>0,NN+,當n>N時,有|xn-a|<.取K=N,則當k>K時,nkk>K=N.于是|-a|<.這就證明了.討論:1.對于某一正數0,如果存在正整數N,使得當nN時,有|xn-a|0.是否有xna(n).2.如果數列{xn}收斂,那么數列{xn}一定有界.發散的數列是否一定無界?有界的數列是否收斂?3.數列的子數列如果發散,原數列是否發散?數列的兩個子數列收斂,但其極限不同,原數列的收斂性如何?發散的數列的子數列都發散嗎？4．如何判斷數列1,-1,1,-1,,(-1)N+1,是發散的？§1.4函數的極限一、函數極限的定義函數的自變量有幾種不同的變化趨勢x無限接近x0xx0x從x0的左側(即小于x0)無限接近x0xx0-x從x0的右側(即大于x0)無限接近x0xx0+x的絕對值|x|無限增大xx小于零且絕對值|x|無限增大x-x大于零且絕對值|x|無限增大x+1．自變量趨于有限值時函數的極限通俗定義如果當x無限接近于x0,函數f(x)的值無限接近于常數A,則稱當x趨于x0時,f(x)以A為極限.記作f(x)A或f(x)A(當x).分析:在xx0的過程中,f(x)無限接近于A就是|f(x)-A|能任意小,或者說,在x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|d,d為某一正數)時,|f(x)-A|可以小于任意給定的(小的)正數e,即f(x)-A|e.反之,對于任意給定的正數e,如果x與x0接近到一定程度(比如|x-x0|d,d為某一正數)就有|f(x)-A|e,則能保證當xx0時,f(x)無限接近于A.定義1設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義.如果存在常數A對于任意給定的正數e(不論它多么小),總存在正數d,使得當x滿足不等式0<|x-x0|d時,對應的函數值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|e,那么常數A就叫做函數f(x)當xx0時的極限,記為或f(x)A(當xx0).定義的簡單表述00當0|xx0|時|f(x)-A|e函數極限的幾何意義:例1.證明.證明這里|f(x)-A||c-c|0,因為0可任取d0,當0|x-x0|d時,有|f(x)-A||c-c|0e所以.例2.證明.分析|f(x)-A||x-x0|.因此0要使|f(x)-A|e,只要x-x0|e證明因為e0,de,當0|x-x0|d時,有|f(x)-A||x-x0|e,所以.例3.證明.分析|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|.e0,要使|f(x)-A|e,只要.證明因為e0,/2,當0|x-1|d時,有|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e,所以.例4.證明.分析注意函數在x=1是沒有定義的,但這與函數在該點是否有極限并無關系.當x1時,|f(x)-A||x-1|.e0,要使|f(x)-A|e,只要|x-1|e.證明因為e0,de,當0|x-1|d時,有|f(x)-A||x-1|e,所以.單側極限若當x?x0-時,f(x)無限接近于某常數A,則常數A叫做函數f(x)當x?x0時的左極限,記為或f()A;yyx111yx+1x若當x?x0+時,f(x)無限接近于某常數A,則常數A叫做函數f(x)當x?x0yyx111yx+1x討論:1.左右極限的e--d定義如何敘述?2.當x?x0時函數f(x)的左右極限與當x?x0時函數f(x)的極限之間的關系怎樣?提示:左極限的e--d定義：?"e>0,$d>0,"x:x0-d<x<x0,有|f(x)-A|<e.?"e>0,$d>0,"x:x0<x<x0+d,有|f(x)-A|<e.?且.例5函數當x?0時的極限不存在.這是因為,,,2．自變量趨于無窮大時函數的極限設f(x)當|x|大于某一正數時有定義.如果存在常數A對于任意給定的正數e,總存在著正數X,使得當x滿足不等式|x|>X時,對應的函數數值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e,則常數A叫做函數f(x)當x時的極限,記為或f(x)A(x).0X0當|x|X時有|f(x)A|類似地可定義和.結論且.極限的定義的幾何意義yyf(x)AAXOXxyA例6.證明.分析:."e>0,要使|f(x)-A|<e,只要.證明:因為"e>0,$,當|x|>X時,有,所以.直線y=0是函數的水平漸近線.一般地,如果,則直線y=c稱為函數y=f(x)的圖形的水平漸近線.二、函數極限的性質定理1(函數極限的唯一性)如果極限存在,那么這極限唯一.定理2(函數極限的局部有界性)如果f(x)A(xx0),那么存在常數M>0和d,使得當0<|x-x0|<d時,有|f(x)|￡M.證明因為f(x)A(xx0),所以對于10當0<|x-x0|<d時,有|f(x)A|1于是|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|這就證明了在x0的去心鄰域{x|0<|x-x0|<d}內f(x)是有界的定理3(函數極限的局部保號性)如果f(x)A(xx0),而且A>0(或A<0),那么存在常數d>0,使當0<|x-x0|<d時,有f(x)>0(或f(x)<0).證明就A0的情形證明因為所以對于,d0,當0<|x-x0|<d時,有0定理3￠如果f(x)A(xx0)(A10),那么存在點x0的某一去心鄰域,在該鄰域內,有.推論如果在x0的某一去心鄰域內f(x)30(或f(x)￡0),而且f(x)A(xx0),那么A30(或A￡0).證明:設f(x)30.假設上述論斷不成立,即設A<0,那么由定理1就有x0的某一去心鄰域,在該鄰域內f(x)<0,這與f(x)30的假定矛盾.所以A30.定理4(函數極限與數列極限的關系)如果當xx0時f(x)的極限存在,{xn}為f(x)的定義域內任一收斂于x0的數列,且滿足xn1x0(n?N+),那么相應的函數值數列{f(xn)}必收斂,且證明設f(x)A(xx0)則00當0<|x-x0|<d時,有|f(x)A|又因為xnx0(n)故對0NN當nN時有|xnx0|由假設xn1x0(n?N+)故當nN時0|xnx0|從而|f(xn)A|即§1.5無窮小與無窮大一、無窮小如果函數f(x)當xx0(或x)時的極限為零,那么稱函數f(x)為當xx0(或x)時的無窮小.特別地以零為極限的數列{xn}稱為n時的無窮小例如,因為,所以函數為當x時的無窮小.因為,所以函數為x-1當x1時的無窮小.因為,所以數列{}為當n時的無窮小.討論:很小很小的數是否是無窮小？0是否為無窮小？提示無窮小是這樣的函數在xx0(或x)的過程中極限為零很小很小的數只要它不是零作為常數函數在自變量的任何變化過程中其極限就是這個常數本身不會為零無窮小與函數極限的關系:定理1在自變量的同一變化過程xx0(或x)中,函數f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+a其中a是無窮小.證明:設,0,d0使當0<|x-x0|<d時,有|f(x)-A|<.令a=f(x)-A,則a是xx0時的無窮小,且f(x)=A+a.這就證明了f(x)等于它的極限A與一個無窮小a之和.反之,設f(x)=A+a,其中A是常數,a是xx0時的無窮小,于是|f(x)-A|=|a|.因a是xx0時的無窮小,0,d0使當0<|x-x0|<d,有|a|<或|f(x)-A|這就證明了A是f(x)當xx0時的極限.簡要證明令a=f(x)-A,則|f(x)-A|=|a|.如果0,d0使當0<|x-x0|<d,有f(x)-A|就有|a|<反之如果0,d0使當0<|x-x0|<d,有|a|<就有f(x)-A|這就證明了如果A是f(x)當xx0時的極限則a是xx0時的無窮小如果a是xx0時的無窮小則A是f(x)當xx0時的極限類似地可證明x時的情形.例如,因為,而,所以.二、無窮大如果當x?x0(或x?￥)時,對應的函數值的絕對值|f(x)|無限增大,就稱函數f(x)為當x?x0(或x?￥)時的無窮大記為(或).應注意的問題:當x?x0(或x?￥)時為無窮大的函數f(x),按函數極限定義來說,極限是不存在的.但為了便于敘述函數的這一性態,我們也說“函數的極限是無窮大”,并記作(或).討論:無窮大的精確定義如何敘述？很大很大的數是否是無窮大?提示:?"M>0,$d>0,當0<|x-|<d時,有|f(x)|>M.正無窮大與負無窮大:,.例2證明.證因為M0當0|x-1|d時有所以.提示要使只要鉛直漸近線:如果,則稱直線是函數y=f(x)的圖形的鉛直漸近線.例如,直線x=1是函數的圖形的鉛直漸近線.定理2(無窮大與無窮小之間的關系)在自變量的同一變化過程中,如果f(x)為無窮大,則為無窮小;反之,如果f(x)為無窮小,且f(x)10,則為無窮大.簡要證明:如果,且f(x)0那么對于,$d>0,當0<|x-|<d時有,由于當0<|x-|<d時f(x)0從而所以為xx0時的無窮大.如果,那么對于,$d>0,當0<|x-|<d時有,即所以為xx0時的無窮小.簡要證明:如果f(x)0(xx0)且f(x)0則0,$d>0,當0<|x-x0|<d時有|f(x)|即,所以f(x)(xx0).如果f(x)(xx0),則M0,$d>0,當0<|x-x0|<d時有|f(x)|M即所以f(x)0(xx0).§1.6極限運算法則定理1有限個無窮小的和也是無窮小.例如,當x?0時,x與sinx都是無窮小,x+sinx也是無窮小.簡要證明:設a及b是當x?x0時的兩個無窮小,則"e>0,$d1>0及d2>0,使當0<|x-x0|<d1時,有|a|<e;當0<|x-x0|<d2時,有|b|<e.取d=min{d1,d2},則當0<|x-x0|<d時,有|a+b|￡|a|+|b|<2e.這說明a+b也是無窮小.證明:考慮兩個無窮小的和.設a及b是當x?x0時的兩個無窮小,而g=a+b.任意給定的e>0.因為a是當x?x0時的無窮小,對于>0存在著d1>0,當0<|x-x0|<d1時,不等式|a|<成立.因為b是當x?x0時的無窮小,對于>0存在著d2>0,當0<|x-x0|<d2時,不等式|b|<成立.取d=min{d1,d2},則當0<|x-x0|<d時,|a|<及|b|<同時成立,從而|g|=|a+b|￡|a|+|b|<+=e.這就證時了g也是當x?x0時的無窮小.定理2有界函數與無窮小的乘積是無窮小.簡要證明:設函數u在x0的某一去心鄰域{x|0<|x-x0|<d1}內有界,即$M>0,使當0<|x-x0|<d1時,有|u|￡M.又設a是當x?x0時的無窮小,即"e>0.存在d2>0,使當0<|x-x0|<d時,有|a|<e.取d=min{d1,d2},則當0<|x-x0|<d時,有|u×a|<Me.這說明u×a也是無窮小.例如,當x?￥時,是無窮小,arctanx是有界函數,所以arctanx也是無窮小.推論1常數與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.定理3如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;(2)limf(x)×g(x)=limf(x)×limg(x)=A×B;(3)(B10).證明(1):因為limf(x)=A,limg(x)=B,根據極限與無窮小的關系,有f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a及b為無窮小.于是f(x)±g(x)=(A+a)±(B+b)=(A±B)+(a±b),即f(x)±g(x)可表示為常數(A±B)與無窮小(a±b)之和.因此lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.推論1如果limf(x)存在,而c為常數,則lim[cf(x)]=climf(x).推論2如果limf(x)存在,而n是正整數,則lim[f(x)]n=[limf(x)]n.定理4設有數列{xn}和{yn}.如果,,那么(1);(2);(3)當(n=1,2,×××)且B10時,.定理5如果(x)3(x),而lim(x)=a,limy(x)=b,那么a3b.例1.求.解:.討論:若,則提示:=a0x0n+a1x0n-1+×××+an=P(x0).若,則.例2.求.解:.提問:如下寫法是否正確？..例3.求.解:.例4.求.解:,根據無窮大與無窮小的關系得=￥.提問:如下寫法是否正確？.討論:有理函數的極限提示當時,.當且時,.當Q(x0)=P(x0)=0時,先將分子分母的公因式(x-x0)約去.例5求.解:先用x3去除分子及分母,然后取極限:.例6求.解:先用x3去除分子及分母,然后取極限:.例7.求.解:因為,所以.討論:有理函數的極限提示例8.求.解:當x?￥時,分子及分母的極限都不存在,故關于商的極限的運算法則不能應用.因為,是無窮小與有界函數的乘積,所以.定理8(復合函數的極限運算法則)設函數y=f[g(x)]是由函數y=f(u)與函數u=g(x)復合而成,f[g(x)]在點x0的某去心鄰域內有定義,若,,且在x0的某去心鄰域內g(x)1u0,則.定理8(復合函數的極限運算法則)設函數y=f[g(x)]是由函數y=f(u)與函數u=g(x)復合而成,f[g(x)]在點x0的某去心鄰域內有定義.若g(x)?u0(x?x0),f(u)?A(u?u0),且在x0的某去心鄰域內g(x)1u0,則.簡要證明設在{x|0|xx0|0}內g(x)1u0要證00當0|xx0|時有|f[g(x)]A|因為f(u)?A(u?u0),所以00當0|uu0|時有|f(u)A|又g(x)?u0(x?x0),所以對上述010當0|xx0|1時有|g(x)u0|取min{01}則當0|xx0|時0<|g(x)u0|從而|f[g(x)]A||f(u)A|注:把定理中換成或,而把換成可類似結果.把定理中g(x)?u0(x?x0)換成g(x)?￥(x?x0)或g(x)?￥(x?￥),而把f(u)?A(u?u0)換成f(u)?A(u?￥)可類似結果.例如例9求.解是由與復合而成的.因為所以.§1.6極限運算法則定理1有限個無窮小的和也是無窮小.例如,當x?0時,x與sinx都是無窮小,x+sinx也是無窮小.簡要證明:設a及b是當x?x0時的兩個無窮小,則"e>0,$d1>0及d2>0,使當0<|x-x0|<d1時,有|a|<e;當0<|x-x0|<d2時,有|b|<e.取d=min{d1,d2},則當0<|x-x0|<d時,有|a+b|￡|a|+|b|<2e.這說明a+b也是無窮小.證明:考慮兩個無窮小的和.設a及b是當x?x0時的兩個無窮小,而g=a+b.任意給定的e>0.因為a是當x?x0時的無窮小,對于>0存在著d1>0,當0<|x-x0|<d1時,不等式|a|<成立.因為b是當x?x0時的無窮小,對于>0存在著d2>0,當0<|x-x0|<d2時,不等式|b|<成立.取d=min{d1,d2},則當0<|x-x0|<d時,|a|<及|b|<同時成立,從而|g|=|a+b|￡|a|+|b|<+=e.這就證時了g也是當x?x0時的無窮小.定理2有界函數與無窮小的乘積是無窮小.簡要證明:設函數u在x0的某一去心鄰域{x|0<|x-x0|<d1}內有界,即$M>0,使當0<|x-x0|<d1時,有|u|￡M.又設a是當x?x0時的無窮小,即"e>0.存在d2>0,使當0<|x-x0|<d時,有|a|<e.取d=min{d1,d2},則當0<|x-x0|<d時,有|u×a|<Me.這說明u×a也是無窮小.例如,當x?￥時,是無窮小,arctanx是有界函數,所以arctanx也是無窮小.推論1常數與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.定理3如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;(2)limf(x)×g(x)=limf(x)×limg(x)=A×B;(3)(B10).證明(1):因為limf(x)=A,limg(x)=B,根據極限與無窮小的關系,有f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a及b為無窮小.于是f(x)±g(x)=(A+a)±(B+b)=(A±B)+(a±b),即f(x)±g(x)可表示為常數(A±B)與無窮小(a±b)之和.因此lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.推論1如果limf(x)存在,而c為常數,則lim[cf(x)]=climf(x).推論2如果limf(x)存在,而n是正整數,則lim[f(x)]n=[limf(x)]n.定理4設有數列{xn}和{yn}.如果,,那么(1);(2);(3)當(n=1,2,×××)且B10時,.定理5如果(x)3(x),而lim(x)=a,limy(x)=b,那么a3b.例1.求.解:.討論:若,則提示:=a0x0n+a1x0n-1+×××+an=P(x0).若,則.例2.求.解:.提問:如下寫法是否正確？..例3.求.解:.例4.求.解:,根據無窮大與無窮小的關系得=￥.提問:如下寫法是否正確？.討論:有理函數的極限提示當時,.當且時,.當Q(x0)=P(x0)=0時,先將分子分母的公因式(x-x0)約去.例5求.解:先用x3去除分子及分母,然后取極限:.例6求.解:先用x3去除分子及分母,然后取極限:.例7.求.解:因為,所以.討論:有理函數的極限提示例8.求.解:當x?￥時,分子及分母的極限都不存在,故關于商的極限的運算法則不能應用.因為,是無窮小與有界函數的乘積,所以.定理8(復合函數的極限運算法則)設函數y=f[g(x)]是由函數y=f(u)與函數u=g(x)復合而成,f[g(x)]在點x0的某去心鄰域內有定義,若,,且在x0的某去心鄰域內g(x)1u0,則.定理8(復合函數的極限運算法則)設函數y=f[g(x)]是由函數y=f(u)與函數u=g(x)復合而成,f[g(x)]在點x0的某去心鄰域內有定義.若g(x)?u0(x?x0),f(u)?A(u?u0),且在x0的某去心鄰域內g(x)1u0,則.簡要證明設在{x|0|xx0|0}內g(x)1u0要證00當0|xx0|時有|f[g(x)]A|因為f(u)?A(u?u0),所以00當0|uu0|時有|f(u)A|又g(x)?u0(x?x0),所以對上述010當0|xx0|1時有|g(x)u0|取min{01}則當0|xx0|時0<|g(x)u0|從而|f[g(x)]A||f(u)A|注:把定理中換成或,而把換成可類似結果.把定理中g(x)?u0(x?x0)換成g(x)?￥(x?x0)或g(x)?￥(x?￥),而把f(u)?A(u?u0)換成f(u)?A(u?￥)可類似結果.例如例9求.解是由與復合而成的.因為所以.§1.7無窮小的比較觀察兩個無窮小比值的極限:,,.兩個無窮小比值的極限的各種不同情況,反映了不同的無窮小趨于零的“快慢”程度.在x?0的過程中,x2?0比3x?0“快些”,反過來3x?0比x2?0“慢些”,而sinx?0與x?0“快慢相仿”.下面,我們就無窮小之比的極限存在或為無窮大時,來說明兩個無窮小之間的比較.定義:設及都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小.如果,就說是比高階的無窮小,記為o().如果,就說是比低階的無窮小.如果,就說與是同階無窮小.如果,k>0,就說是關于的k階無窮小.如果,就說與是等價無窮小,記為~.下面舉一些例子:例1.因為,所以當x?0時,3x2是比x高階的無窮小,即3x2o(x)(x?0).例2.因為,所以當n?￥時,是比低階的無窮小.例3.因為,所以當x?3時,x29與x3是同階無窮小.例4.因為,所以當x?0時,1cosx是關于x的二階無窮小.例5.因為,所以當x?0時,sinx與x是等價無窮小,即sinx~x(x?0).關于等價無窮小的有關定理:定理1與是等價無窮小的充分必要條件為o().證明必要性設~,則,因此o(),即o().充分性設o(),則,因此~.簡要證明這是因為,,當且僅當,o()當且僅當~,o()當且僅當~.例6.因為當x?0時sinx~x,tanx~x,1cosx~,所以當x?0時,有sinxxo(x),tanxxo(x),1cosx.定理2設~￠,~￠,且存在,則.證明.定理2表明,求兩個無窮小之比的極限時,分子及分母都可用等價無窮小來代替.因此,如果用來代替的無窮小選取得適當,則可使計算簡化.例.求.解當x?0時,tan2x~2x,sin5x~5x,所以.例.求.解當x?0時sinx~x,無窮小x33x與它本身顯然是等價的,所以.§1.8函數的連續性與間斷點一、函數的連續性變量的增量:設變量u從它的一個初值u1變到終值u2,終值與初值的差u2u1就叫做變量u的增量,記作u,即uu2u1.設函數yf(x)在點x0的某一個鄰域內是有定義的.當自變量x在這鄰域內從x0變到x0x時,函數y相應地從f(x0)變到f(x0x),因此函數y的對應增量為yf(x0x)f(x0).函數連續的定義設函數yf(x)在點x0的某一個鄰域內有定義,如果當自變量的增量xxx0趨于零時,對應的函數的增量yf(x0x)f(x0)也趨于零,即或,那么就稱函數yf(x)在點x0處連續.注①②設xx0+x,則當x0時,xx0,因此.函數連續的等價定義2:設函數yf(x)在點x0的某一個鄰域內有定義,如果對于任意給定義的正數,總存在著正數,使得對于適合不等式|xx0|<的一切x,對應的函數值f(x)都滿足不等式|f(x)f(x0)|<,那么就稱函數yf(x)在點x0處連續.左右連續性:如果,則稱yf(x)在點處左連續.如果,則稱yf(x)在點處右連續.左右連續與連續的關系:函數yf(x)在點x0處連續?函數yf(x)在點x0處左連續且右連續.函數在區間上的連續性:在區間上每一點都連續的函數,叫做在該區間上的連續函數,或者說函數在該區間上連續.如果區間包括端點,那么函數在右端點連續是指左連續,在左端點連續是指右連續.連續函數舉例:1.如果f(x)是多項式函數,則函數f(x)在區間(￥,￥)內是連續的.這是因為,f(x)在(￥,￥)內任意一點x0處有定義,且2.函數在區間[0,￥)內是連續的.3.函數ysinx在區間(￥,￥)內是連續的.證明設x為區間(￥,￥)內任意一點.則有ysin(xx)sinx,因為當x0時,y是無窮小與有界函數的乘積,所以.這就證明了函數ysinx在區間(￥,￥)內任意一點x都是連續的．4.函數ycosx在區間(￥,￥)內是連續的.二、函數的間斷點間斷定義:設函數f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義.在此前提下,如果函數f(x)有下列三種情形之一:(1)在x0沒有定義;(2)雖然在x0有定義,但f(x)不存在;(3)雖然在x0有定義且f(x)存在,但f(x)1f(x0);則函數f(x)在點x0為不連續,而點x0稱為函數f(x)的不連續點或間斷點.例1.正切函數ytanx在處沒有定義,所以點是函數tanx的間斷點.因為,故稱為函數tanx的無窮間斷點.例2.函數在點x0沒有定義,所以點x0是函數的間斷點.當x?0時,函數值在1與1之間變動無限多次,所以點x0稱為函數的振蕩間斷點.例3.函數在x1沒有定義,所以點x1是函數的間斷點.因為,如果補充定義:令x1時y2,則所給函數在x1成為連續.所以x1稱為該函數的可去間斷點.例4.設函數.因為,,,所以x1是函數f(x)的間斷點.如果改變函數f(x)在x1處的定義:令f(1)1,則函數f(x)在x1成為連續,所以x1也稱為該函數的可去間斷點.例5.設函數.因為,,所以極限不存在,x=0是函數f(x)的間斷點.因函數f(x)的圖形在x0處產生跳躍現象,我們稱x0為函數f(x)的跳躍間斷點.間斷點的類型:通常把間斷點分成兩類:如果x0是函數f(x)的間斷點,但左極限f(x00)及右極限f(x00)都存在,那么x0稱為函數f(x)的第一類間斷點.不是第一類間斷點的任何間斷點,稱為第二類間斷點.在第一類間斷點中,左、右極限相等者稱為可去間斷點,不相等者稱為跳躍間斷點.無窮間斷點和振蕩間斷點顯然是第二間斷點.§1.9連續函數的運算與初等函數的連續性一、連續函數的和、積及商的連續性定理1設函數f(x)和g(x)在點x0連續,則函數