word第18時(shí)二次數(shù)◆識(shí)解①一般地，如果y=ax+bx+c（a，b是數(shù)且≠0么y叫做的次函數(shù)，它是關(guān)于自變量二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判函數(shù)是不是二次函數(shù)重要依據(jù)．②當(dāng)b=c=0時(shí)二次函數(shù)y=ax是簡(jiǎn)的次函數(shù)．③二次函數(shù)y=ax+bx+c，b是常數(shù)a）的三種表達(dá)形式分別為一般式：y=ax+bx+c，常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)y=a（x－h(huán)

+k，常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解式；交點(diǎn)式（x－x常要知道圖像與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x能求出此解析式；對(duì)于y=ax+bx+c而言，其bac2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－，于（x－h(huán)）+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為h由2a于二次函數(shù)的圖為拋物線因此關(guān)鍵要住拋物線的三要素口向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)．④二次函數(shù)y=ax+bx+c的對(duì)稱軸為x=－

b2a

4ac，最值為時(shí)最值，4k<0時(shí)最大值此知y=ax的點(diǎn)在坐標(biāo)原上，且y軸為對(duì)稱軸即x=0．⑤拋物線的平移要是移動(dòng)頂點(diǎn)的位置，將

沿著y軸（上“＋“－移（k>0單位得到函數(shù)y=ax±k將y=ax

沿著x－（h>0）個(gè)單位得到y(tǒng)=a（x±h．?在平之前先將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)，再來平移，若沿y軸平移則直接在析式的常數(shù)項(xiàng)后進(jìn)行加減（上下減x軸移則直接在含x括號(hào)內(nèi)進(jìn)行加減右減左加⑥在畫二次函數(shù)圖像拋物線的時(shí)候應(yīng)抓住以下點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，x軸的點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)．⑦拋物線y=ax+bx+c的像位置及性質(zhì)與a的作用的正負(fù)決定了開口方向，1/16

word當(dāng)a>0時(shí)口向上在對(duì)稱軸x=－

b2a

的左側(cè)隨x的增大而減小在稱軸x=

b2a的右側(cè)隨x的增大而增大時(shí)y有最小值為y=

4ac4

b4ac2頂－，）2a為最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)開口向下，在對(duì)稱軸－

b2

的左側(cè)，隨x增大而增大，在對(duì)稱軸x=－

b2a

的右側(cè)，隨的增而增大，此時(shí)y有大值為y=

4ac4

，頂點(diǎn)（－，4ac4

）為最高點(diǎn)．│大小決了開口的寬窄，│大，開口越小，像兩邊越靠近軸，│a│小，開越大?像兩邊越靠近x軸的號(hào)同決定了對(duì)稱軸的位置當(dāng)b=0時(shí)對(duì)稱軸x=0即稱軸為y軸當(dāng)a同時(shí)對(duì)稱軸x=－

b2

<0，即對(duì)稱軸在軸側(cè)，垂直于x軸負(fù)半軸，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸x=－

b2

>0，即對(duì)稱軸在y軸側(cè)，垂于x軸半軸c?的符號(hào)決了拋物線與y軸點(diǎn)的位置，c=0時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)c>0時(shí)，y軸交正軸c<0時(shí)，與y?軸交于負(fù)軸，以上a，bc的符與圖像的位置是共同作用的，也以互相推出．◆題析例1已：二次函數(shù)為y=x－x+m寫它的圖的開口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)）m何值時(shí)，頂點(diǎn)在x軸上方若拋物線與y軸于A過AAB∥x軸交拋物線于另一點(diǎn)B，S時(shí)，求此二次函數(shù)解析式．【分析用配方法可以達(dá)到目的）頂在x軸上方，即頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為正∥xA，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是相等的從而可求出m的值．【解答∵由已知y=x－x+m中，次項(xiàng)系數(shù)a=1>0，∴口向上，又∵y=x－x+

11）]－+m=－）+222/16

∴對(duì)稱軸是直線

11m，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，22（2∵頂點(diǎn)在x軸上，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)于，1∴m>4

44

>0∴m>

14

時(shí)，頂點(diǎn)在x上方．（3令x=0，則y=m即拋物線y=x－x+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是A，m軸∴B點(diǎn)的縱標(biāo)為m．當(dāng)x－x+m=m時(shí)解得x=0，x=1∴A（0，m（1，m）在eq\o\ac(△,Rt)中，AB=1，OA=│．

=

12

OA·AB=4．∴

12

│m│·1=4，故所求二次函數(shù)解析式為y=x－x－8【點(diǎn)評(píng)正理解并掌握二次函數(shù)中常數(shù)?的符號(hào)與函數(shù)性質(zhì)及位置的系是解答本題的關(guān)鍵處．例2（2006，某某市）已知m，n是方的兩實(shí)數(shù)根，且m<n拋物線y=+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，0（0，n圖示．（1求這個(gè)拋物線的解析式；（2設(shè)1）中的拋物線與x軸的另一點(diǎn)為C，物線的頂點(diǎn)為D，求出點(diǎn)C的標(biāo)和BCD的面積；3/16

（3是段OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)作PH⊥x軸，與物線交于H點(diǎn)若直線BC把△PCH成面積之比為2：3兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的標(biāo)．【分析解方程求出m，n的值用待定系數(shù)法求b，c的．（2過作x軸的垂線交x于點(diǎn)M，可求出DMC，梯形BDBO，△BOC的面積?用割補(bǔ)法可求出△BCD面積．（3與BC的交點(diǎn)設(shè)，則點(diǎn)E有兩種可能：①EH=

3EP，②EH=EP．2【解答解方程，得x=5=1由，有m=1，n=5所以點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為A（1，0，5（1（0，5的坐標(biāo)分別代入y=－x+bx+c，得c

解這個(gè)方程組，所以拋物線的解式為y=－x－4x+5．（2由y=－x－4x+5，，得x－4x+5=0解這個(gè)方程，得x=，x=1．所以點(diǎn)C的坐為（－5頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，得點(diǎn)（－2，9過D作軸的垂交x軸于M，如圖所．則S

1×9×－2）=．22S=

12

×2×（9+5）=14，4/16

wordS=

1×5×5=．2所以=S－S=14+eq\o\ac(△,S)（3設(shè)P的坐標(biāo)為（，0）

2725－=15．22因?yàn)榫€段BC過B，C點(diǎn)，所以BC所的直線方程為y=x+5那么PH與線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a+5拋物線y=－x+4x+5的點(diǎn)坐標(biāo)為H，－a－4a+5由題意，得EH=

32

EP，即3（－4a+5）－（a+5）=（a+523解這個(gè)方程，得－或a=－5舍去22②EH=EP得33（－4a+5）－（a+5）=（a+522解這個(gè)方程，得－或a=－5舍去33P點(diǎn)的標(biāo)為（－，0或（－，02例（2006棗關(guān)于x的二函數(shù)y=x－mx+

m

m與y=x－mx，2這兩個(gè)二次函數(shù)圖像中的一條與x軸于，B兩個(gè)同的點(diǎn)（1試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A兩；（2若A坐標(biāo)為（，0求點(diǎn)坐標(biāo)（3在2）條件下，對(duì)于經(jīng)過，B兩的二次函數(shù)，當(dāng)取值，y的值隨x值的增大而減?。俊窘獯饘?duì)于關(guān)于x的二次函數(shù)y=x－mx+5/16

2

．

由于b－4ac=－m）－4×1×

m

2

=－m所以此函數(shù)的圖與沒有交點(diǎn)．對(duì)于關(guān)于x的次函數(shù)y=x－mx－

m

2

．由于b－4ac=－m）－4×1×

m

2

=3m+4>0所以此函數(shù)的圖與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．故圖像經(jīng)過A，B兩的二次函數(shù)為y=x－mx－（2將A（－1，0）代y=x－mx．2

m

2

．得－

m

2

=0．整理，得m－2m=0解得m=0或m=2．當(dāng)m=0時(shí)，y=x－1．y=0，得x－1=0解這個(gè)方程，得x=，x=1．此時(shí)，點(diǎn)B的標(biāo)是B（1，0當(dāng)m=2時(shí)，y=x－2x－3令y=0，得x－2x－3=0．解這個(gè)方程，得x=1，x=3．此時(shí)，點(diǎn)B的標(biāo)是B（3，0（3當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)為y=x－1，此函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)值y隨x的增大而減小．當(dāng)m=2時(shí)，二次數(shù)為y=x－2x－3=（x－1）－4此函數(shù)的圖像開口向上，對(duì)稱軸6/16

為x=1所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨x的增大減?。军c(diǎn)評(píng)】本題是道關(guān)于二次函數(shù)與方程、不等有關(guān)知識(shí)的綜合題，但它仍然是映函數(shù)圖像上點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)解析式間的關(guān)系，住問題的實(shí)質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知，這類綜合題并不難決．◆化練一填題1，某右圖是二次函數(shù)y=ax+bx+c和次函數(shù)y=mx+n的圖像?觀圖像寫出時(shí)，的值X圍______2，某）已知拋物線y=a+bx+c經(jīng)過A（－2，7（6，7，－8則該拋物線上縱坐標(biāo)為－的另點(diǎn)的坐標(biāo)_______．3．已知二次函數(shù)y=－x+2x+c

的對(duì)稱軸和x相交于點(diǎn)m，0m的為_____．4，某）若二次函數(shù)y=x－4x+c的圖像與x沒有交點(diǎn)，其中c為數(shù)，則c=_______（只要求寫出一個(gè)5，某?。┮阎獟佄锞€y=ax+bx+c經(jīng)點(diǎn)1，2與（，4a+c?的值______．6．甲，乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)，毛飛行的水平距離與其距地面高度之間關(guān)系式為－

1s+s+如左圖所示，12?已知球網(wǎng)AB原點(diǎn)，乙（用線段表示）扣球的最大高度為

94

m，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫標(biāo)為m，若乙原地起跳因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則m的取值X圍______7/16

7，某）二次函數(shù)y=x－2x－3與兩交點(diǎn)之間的距離為______．8，某慶陽(yáng)）某某市“安居工程”新成的一批樓房都8層高?房子價(jià)格y（元/m）樓層數(shù)（樓）的變化而變化x=1，3，5，6，8知（，y）?都在一個(gè)二函數(shù)的圖像上（如上右圖6樓房的格_____元m．二選題9，某二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖所示?則下列關(guān)系不正確的是（）A．a(chǎn)<0BC．a(chǎn)+b+c<0．b第9題)第12題第題)10威已知次函數(shù)+bx+c的圖像過點(diǎn)（－1（8）也在二次函+bx+c的圖像上，則下列結(jié)論中正確的是）A．y<y

B<y<y

．y<y<y

．y<y<y11，某?。佄锞€y=ax+bx+c（a）的對(duì)稱軸是x=2且經(jīng)過點(diǎn)P（3，08/16

則a+b+c的值為）．－1．0C．112．圖所示，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是（）．y=x－x+2．y=－x+2C+x+2－x+x+213，某）拋物線y=－4x－5經(jīng)過移得到y(tǒng)=－2x，移方法是（）．向左平移1個(gè)位，再向下移個(gè)單位．向左平移1個(gè)位，再向上移個(gè)單位．向右平移1個(gè)位，再向下移個(gè)單位．向右平移1個(gè)位，再向上移個(gè)單位14，某市）已知二次數(shù)+bx+3，－1，y取得小，則這個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)（）．第一象限B．第二象限C．第三象．第四象限15，某）拋物線y=ax+2ax+a+2的部分圖像如圖所示，那么該拋物線在y右側(cè)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A

12

，0，0，0D）16某某）在同一直角標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+my=－mx+2x+2是常數(shù)，且m≠0的圖像可能是（）三解題17某某某某）如圖所，已知拋物線y=ax+4ax+t（a>0）交x軸A，B兩，交9/16

y軸于，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐為（，0（1求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2過點(diǎn)C作x軸的平行線拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，你判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的論；（3連接CA拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D當(dāng)∠APD=∠ACP時(shí)求拋物線的解析式．18，某）如圖所示，，n是程x

－6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m<n，拋物線y=－x的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（m，0，n（1求這個(gè)拋物線的解析式；（2設(shè)1）中物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D坐標(biāo)和△BCD的面積；（3是段OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x與物線交于點(diǎn)H若直線BC把△PCH分面積之比為2：3兩部分，請(qǐng)求出點(diǎn)P的標(biāo)．10/16

19，某市）某地計(jì)劃鑿一條單向行駛（從正中通過）的隧道其面是拋物線拱形ACB而且能通過最寬3m規(guī)定設(shè)計(jì)這條能使上述廂式貨車恰好完全通過的隧道，在紙上以直線AB為x，線段的垂直平分線為y軸?建立如圖所示的直角坐標(biāo)系求拋物線拱形的表達(dá)式，隧道跨度AB和高OC．20，某?。┮阎粋€(gè)次函數(shù)的圖像過如圖所示三點(diǎn)．（1求拋物線的對(duì)稱軸；（2平行于x軸的直線L的解式為y=

254

拋物線與x交于，B兩點(diǎn)?拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)P，BP的長(zhǎng)等于直線L與軸間距．求點(diǎn)P的坐．11/16

21，某?。┤鐖D5－76示，二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)其中A點(diǎn)標(biāo)為（－1，0C（0（1，8在拋物線上M為物線的頂點(diǎn)．（1求拋物線的解析式）△MCB的面積．22某某市）如圖所軸上一點(diǎn)（0）AC平行于軸交拋物線y=x

（x）點(diǎn)，交拋物線y=

12

x（x≥0）點(diǎn)C；過點(diǎn)作平于軸，交拋物線

于點(diǎn)D過點(diǎn)D作DE平行于軸，交拋物線y=

14

x

于點(diǎn)E（1求AB：BC（2判斷O，B，E三是否在同一直線上如果在，寫出直線解析式；如果不在，請(qǐng)說明理由．12/16

答1．≤x≤12，－8）3．14．答案不唯一（略）5．36．5<m<4+

7．48．C．B11．B12．D13．D14．B15．B．D17）稱軸是線x=2點(diǎn)坐標(biāo)為（－3）（2四邊形是平行四邊形（3∵ADEeq\o\ac(△,，)CDP∴

1=2∵eq\o\ac(△,，)ADE∽△PAE∴1

=

t3

·t∴t=

將B（，0代入y=ax得t=3a，a=13/16

33

∴拋物線解析式

3xx+2．18）y=－x（2）C（－5（－2，9）=15eq\o\ac(△,S)（3設(shè)P，0所在直線方程為y=x+5．∴PH直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a+5PH與拋物線y=－x－4x+5的點(diǎn)標(biāo)為H，－4a+5①若EH=

333EP．（－a－4a+5）－（a+5）=（a+5a=－或a=－5（舍）222222②若EH=EP則（－a－4a+5）－（a+5）=（a+5a=－或a=－5（）333∴P－

32，0或（－，02319．圖所示，由條件可得拋物線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)別為M（a設(shè)拋物線的表達(dá)為y=ax+c，則74a.22a,7解這個(gè)方程組，652∴y=－x，x=0時(shí)，y=，765∴C（0，．14

3，4（2，2當(dāng)y=0時(shí)，

265x+=0，得x=±．714∴A－

6565，0，02