八年級數學·下新課標[北師]第一章三角形的證明

學習新知檢測反饋2直角三角形（第1課時）編輯ppt1課堂講解直角三角形中角的關系直角三角形中邊角關系逆命題、逆定理2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升學習目標編輯ppt1知識點直角三角形中角的關系想一想(1) 直角三角形的兩個銳角有怎樣的關系？為什么？如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？導入新課編輯ppt定理直角三角形的兩個銳角互余.定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.感悟新知編輯ppt如圖，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于點D，AE為∠BAC的平分線，求∠DAE的度數．例編輯ppt由題意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.∵AE為∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.解：編輯ppt總

結

三角形中一個角的平分線和過這個角的頂點的高線的夾角等于另外兩個角差的絕對值的一半．編輯ppt1一個三角形三個內角的度數之比為1：2：3，則這個三角形一定是(

)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形B隨堂練習編輯ppt2小明把一副含45°，30°的直角三角尺如圖擺放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，則∠α＋∠β等于(

)A．180°B．210°C．360°D．270°B編輯ppt2知識點直角三角形中邊角關系勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于

斜邊的平方.ACB編輯ppt反過來，在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的辦法得出“這個三角形是直角三角形”的結論.下面我們證明這個結論.已知：如圖(1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求證：△ABC是直角三角形編輯ppt證明：如圖(2)，作Rt△A′B′C′

，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,則A′B′

2＋A′C′2

＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2

，∴BC2

＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌

△A′B′C′(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的對應角相等）.因此，△ABC是直角三角形.編輯ppt例A如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點C到AB的距離是(

)編輯ppt導引：方法一：∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.∴AB＝15.過點C作CD⊥AB于點D，設AD＝x，則BD＝15－x.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.∴92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.∴CD2＝92－5.42＝51.84.∴CD＝7.2＝

，即點C到AB的距離為.編輯ppt方法二：過點C作CD⊥AB于點D，則S△ABC＝

AC·BC＝

AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，∴CD＝

，即點C到AB的距離為

.編輯ppt總

結應用方程思想求線段的長很常見，而用面積法求線段的長更是簡化了計算步驟，使解題過程變得簡明易懂．編輯ppt1在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的長.因為∠A＝∠B＝45°，所以△ABC為等腰直角三角形．所以AC＝BC＝3.所以解：隨堂練習編輯ppt2已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC邊上的中線AD＝12cm.求證：AB＝AC.如圖，因為AD是BC邊上的中線，所以BD＝

BC＝×10

＝5(cm)．解：編輯ppt在△ABD中，因為AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，所以AB2＝AD2＋BD2.所以△ABD為直角三角形．所以AD⊥BC.在Rt△ADC中，AC＝

＝13(cm)，所以AB＝AC.編輯ppt3如圖，將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點A′與點A重合，點C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長為(

)A．3B．6C．3D.A編輯ppt4“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為(

)A．3B．4C．5D．6C編輯ppt5如圖是一棵美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則正方形E的面積是(

)A．13B．26C．47D．94C編輯ppt6我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是10尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞5周后其末端恰好到達點B處．則問題中葛藤的最短長度是________．25尺編輯ppt3知識點逆命題、逆定理觀察上面第一個定理和第二個定理，它們的條件和結論之間有怎樣的關系？第三個定理和第四個定理呢？與同伴交流.再觀察下面三組命題：（1）如果兩個角是對頂角，那么它們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定會發燒；如果小明發燒，那么他一定患了肺炎.編輯ppt（3）一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等.上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎？與同伴交流.編輯ppt1．在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱

為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆

命題．2．如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么

它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理

的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理．編輯ppt例判斷下列命題的真假，寫出逆命題，并判斷逆命題的真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果兩個數互為相反數，那么它們的和為零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.導引：根據題目要求，先判斷原命題的真假，再將原命題的題設和結論部分互換，寫出原命題的逆命題，最后判斷逆命題的真假．編輯ppt解：(1)原命題是真命題．逆命題為：如果兩條直線只有一個交點，那么它們相交．逆命題是真命題．(2)原命題是假命題．逆命題為：如果a2＞b2，那么a＞b.逆命題是假命題．(3)原命題是真命題．逆命題為：如果兩個數的和為

零，那么它們互為相反數．逆命題是真命題．(4)原命題是假命題．逆命題為：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命題是真命題．編輯ppt總

結寫出逆命題的關鍵是分清楚原命題的題設和結論，然后將它的題設和結論交換位置就得到這個命題的逆命題．判斷一個命題是真命題需要進行邏輯推理，判斷一個命題是假命題只需要舉出反例就可以了．編輯ppt總

結判斷一個定理是否有逆定理的方法：先把定理作為命題，寫出它的逆命題，然后判斷其逆命題是否正確，如果不正確，舉一個反例即可；如果是真命題，加以證明即可判斷原定理有逆定理．編輯ppt1說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，同旁內角互補；(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.(1)逆命題：多邊形是四邊形．原命題真，逆命題假．(2)逆命題：同旁內角互補，兩直線平行．原命題真，

逆命題真．(3)逆命題：如果

a＝0，b＝0，那么ab＝0.原命題假，

逆命題真．解：隨堂練習編輯ppt2下列說法正確的是(

)A．每個定理都有逆定理B．每個命題都有逆命題C．原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題D．真命題的逆命題是真命題B編輯ppt3已知下列命題：①若>1，則a>b；②若a＋b＝0，則|a|＝|b|；③等邊三角形的三個內角都相等；④底角相等的兩個等腰三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數是(

)A．1個B．2個C．3個D．4個A編輯ppt直角三角形角的關系：定理直角三角形的兩個銳角互余.定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.1知識小結課堂小結編輯ppt(2)勾股定理及其逆定理：勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.(3)互逆命題、互逆定理：編輯ppt一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為(

)A．5