13/132021北京重點校初三（上）期中數學匯編垂徑定理一、單選題1．（2021·北京四中九年級期中）已知⊙O，如圖，（1）作⊙O的直徑AB；（2）以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，交⊙O于C，D兩點；（3）連接CD交AB于點E，連接AC，BC．根據以上作圖過程及所作圖形，有下面三個推斷：①；②；③．其中正確的推斷的個數是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．（2021·北京一七一中九年級期中）如圖所示，已知⊙O中，半徑的長為5cm，測得圓周角∠ACB＝45°，則弦AB的長為（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm3．（2021·北京師大附中九年級期中）如圖所示，點C是⊙O上一動點，它從點A開始逆時針旋轉一周又回到點A，點C所走過的路程為x，BC的長為y，根據函數圖象所提供的信息，∠AOB的度數和點C運動到弧AB的中點時所對應的函數值分別是（）A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，2二、填空題

4．（2021·北京八中九年級期中）如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，則∠OBA的度數是__________5．（2021·北京師大附中九年級期中）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB于點C，交⊙O于點D，連接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么⊙O的半徑為_____．三、解答題6．（2021·北京·人大附中九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接BC，過O點作OD⊥BC于D點，交弧BC于E點，連接AE交BC于F點．（1）如圖1，求證：∠BAC＝2∠E；（2）如圖2，連接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的長．7．（2021·北京四中九年級期中）如圖，已知CD為⊙O的直徑，點A，B在⊙O上，AB⊥CD于點E，連接OB，CE=1，AB=10，求⊙O的半徑．8．（2021·北京師大附中九年級期中）如圖，點A、B、C是⊙O上的點，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E．（1）求證：∠BAD＝∠CAD；（2）若∠BAD＝30°，BC＝2，求⊙O的半徑．9．（2021·北京師大附中九年級期中）已知：如圖，AB是⊙O直徑，延長直徑AB到點C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于點E，OE＝1，∠BAD＝30°．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）連接并延長DO交于點G，連接GE，請補全圖形并求GE的長．10．（2021·北京·北師大實驗中學九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E．(1)求證:∠BCO＝∠D；(2)若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半徑．11．（2021·北京一七一中九年級期中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB＝10，EB＝2，求弦CD的長．

參考答案1．D【分析】①根據作圖過程可得AC=AD，②連接OC，根據作圖過程可證得△AOC為等邊三角形，由等邊三角形的性質即可判斷；③根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可判斷．【詳解】解：①∵以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，交⊙O于C，D兩點，∴AC=根據垂徑定理可知，AB⊥CE，CE=DE，∴①正確；②連接OC，∵AC=OA=OC，∴△AOC為直角三角形，∵AB⊥CE，∴AE=OE，∴BE=BO+OE=3AE，∴②正確；③∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE，∴③正確，故選：D．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質，理解基本作圖知識，熟練掌握各基本性質和綜合運用是解答的關鍵．2．A【分析】作，連接OB，根據圓周角定理和垂徑定理計算即可；【詳解】作，連接OB，∵∠ACB＝45°，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理和勾股定理，準確計算是解題的關鍵．3．D【分析】觀察圖象可得：y的最大值為4，即BC的最大值為4，當x＝0時，y＝2，即AB＝2，如圖，點C′是AB的中點，連接OC′交AB于點D，則OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函數定義可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．【詳解】解：由函數圖象可得：y的最大值為4，即BC的最大值為4，∴⊙O的直徑為4，OA＝OB＝2，觀察圖象，可得當x＝0時，y＝2，∴AB＝2，如圖，點C′是AB的中點，連接OC′交AB于點D，∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，∴sin∠BOC′＝＝，∴∠BOC′＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，∴△BOC′是等邊三角形，∴BC′＝OB＝2，即點C運動到弧AB的中點時所對應的函數值為2．故選：D【點睛】本題主要考查了垂徑定理，銳角三角函數，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．4．26°【分析】根據垂徑定理可得AC=BC，再根據圓周角定理及其推論求得∠BOC=2∠ADC，進而可求得∠【詳解】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，∴，∠BOC+∠OBA=90°，∴∠BOC=2∠ADC=64°，∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，故答案為：26°．【點睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理及其推論、直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理及其推論是解答的關鍵．5．5【分析】根據垂徑定理求出AC，根據勾股定理列式計算即可．【詳解】解答：解：設⊙O的半徑為R，則OC＝R﹣2，∵OD⊥AB，∴AC＝AB＝4，在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得，R＝5，故答案為：5．【點睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵．6．（1）見解析；（2）6【分析】（1）根據垂徑定理可知，EC=EB，進而可得，由可得，進而即可證明；（2）由是直徑，可得，根據，可得，進而可得，根據含30度角的直角三角形的性質即可求得，進而求得的長．【詳解】（1），，（2）是直徑又在中，【點睛】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓周角相等，垂直平分線的定理，等邊對等角，含30度角的直角三角形的性質，直徑所對的圓周角是直角，求得是解題的關鍵．7．13【分析】設OB=x，則OE=x-1，在直角三角形OBE中，根據勾股定理計算即可．【詳解】設OB=x，則OE=x-1，∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，AB=10，∴AE=EB=5，在直角三角形OBE中，根據勾股定理得：，解得x=13，故圓的半徑為13．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，靈活運用勾股定理是解題的關鍵．8．（1）見解析；（2）2．【分析】（1）先根據垂徑定理得到BD=（2）連接OB，如圖，利用垂徑定理得到BE＝CE＝，再利用圓周角定理得到∠BOE＝60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求OB的即可．【詳解】解答：（1）證明：∵BC⊥AD，∴BD∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：連接OB，如圖，∵BC⊥AD，∴BE＝CE＝BC＝×2＝，∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，在Rt△BOE中，∵OE＝BE＝×＝1，∴OB＝2OE＝2，即⊙O的半徑為2．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．9．（1）見解析；（2）圖見解析，．【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根據垂直的定義得到∠AED＝90°，根據直角三角形的性質得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根據等腰三角形的性質得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）連接FG，根據勾股定理得到DE＝＝＝，根據三角形中位線的性質得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝30°，∵DF⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，∴OE＝OD，∴OD＝2OE＝2，∴OA＝OD＝2，∵AB是⊙O直徑，∴AB＝2OD＝4，∵AB＝2BC，∴BC＝2，∴AE＝OA+OE＝3，∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，∴AE＝CE，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：連接FG，在Rt△DOE中，∵OD＝2，OE＝1∴DE＝＝＝，∵OE⊥DF，∴EF＝DE＝，∵OD＝OG，∴OE是△DFG的中位線，∴OE＝FG，∴FG＝2OE＝2，在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，∴GE＝＝＝．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形的中位線等，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形的中位線等知識是解題的關鍵．10．(1)見解析；(2)⊙O的半徑為cm【分析】（1）由等腰三角形的性質與圓周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；（2）由垂徑定理可求得CE與DE的長，然后證得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的對應邊成比例，求得AE的長，繼而求得直徑與半徑．(1)證明：∵OB=OC，∴∠BCO=∠B，∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；(2)解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×6=3，∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE=DE：BE，∴AE：3=3：8，解得：AE=，∴AB=AE+BE==，∴⊙O的半徑為(cm)．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．注意在同圓或等圓中，同