第15頁(yè)/共15頁(yè)2022北京房山實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)一、單選題1．若集合，，則（

）A． B．或C． D．或2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．3．已知數(shù)列滿足為其前n項(xiàng)和.若，則（

）A．20 B．30 C．31 D．624．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示，則與分別等于（

）A．1， B．1， C．2， D．2，6．在中，，若，則的大小是（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t“，”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為9．已知若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．10．已知函數(shù)，在下列結(jié)論中：①是的一個(gè)周期；②在上單調(diào)遞減；③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．復(fù)數(shù)的虛部是___________.12．已知，則________.13．已知函數(shù)，若對(duì)任意都有（c為常數(shù)），則常數(shù)m的一個(gè)取值為_(kāi)________．14．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，則的面積為_(kāi)____________．15．設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則______.三、解答題16．函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）寫(xiě)出的最小正周期及圖中、的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.17．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．18．在中，，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)的值；(2)角的大小和的面積.條件①：；條件②：.19．已知函數(shù)．從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．(1)求的解析式；(2)設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．20．已知：函數(shù).（1）求；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．在無(wú)窮數(shù)列中，，對(duì)于任意，都有，.設(shè)，記使得成立的的最大值為.（1）設(shè)數(shù)列為1，3，5，7，，寫(xiě)出，，的值；（2）若為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列；（3）設(shè)，，求的值.（用表示）

參考答案1．B【解析】先利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵或，，∴或，故選：B.2．D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)奇偶性的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上不單調(diào)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋裕瘮?shù)為偶函數(shù)，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于C選項(xiàng)，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋裕瘮?shù)為奇函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋裕瘮?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上為增函數(shù).故選：D.3．C【分析】先利用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式得到公比和首項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋詾榈缺葦?shù)列，且，又，所以，則.故選：C.4．A【解析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的概念可得出，然后利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)榻且詾槭歼叄医K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，則.故選：A.【點(diǎn)睛】當(dāng)以為始邊，已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則，.5．D【分析】根據(jù)函數(shù)周期求出，根據(jù)特殊值計(jì)算的值．【詳解】解：由圖象可知的周期為，，解得．由圖象可知，即，，．，又，．故選：D．6．C【分析】由正弦定理邊角互化，以及結(jié)合余弦定理，即可判斷的形狀，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ砜芍矗茫允堑冗吶切危?故選：C7．B【分析】分充分性和必要性進(jìn)行討論：充分性：取特殊函數(shù)進(jìn)行判斷；必要性：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，直接證明.【詳解】充分性：取函數(shù)符合條件，但不是偶函數(shù)，所以充分性不滿足.必要性：函數(shù)為偶函數(shù)，則有，所以恒成立，所以必要性滿足.選B.8．D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.9．D【詳解】試題分析：∵函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，∴與只有一個(gè)交點(diǎn)，圖象如圖所示，∴k的取值范圍是．考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題．10．C【分析】利用判定①錯(cuò)誤；利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定②正確；通過(guò)證明判定③正確；通過(guò)證明判定④正確.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)椋圆皇堑囊粋€(gè)周期，即①錯(cuò)誤；對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，，，所以，，，則，即，所以在上單調(diào)遞減，即②正確；對(duì)于③：因?yàn)椋遥裕吹膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，即③正確；對(duì)于④：因?yàn)椋遥裕吹膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故④正確；即正確結(jié)論個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：C.11．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部是.故答案為：.12．-3.【分析】由兩角差的正切公式展開(kāi)，解關(guān)于的方程．【詳解】因?yàn)椋裕军c(diǎn)睛】本題考查兩角差正切公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，注意公式的特點(diǎn)：分子是減號(hào)，分母是加號(hào)．13．（答案不唯一，只要是即可）【分析】先根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求出都可滿足條件.【詳解】函數(shù)中心對(duì)稱點(diǎn)都在x軸上，所以，所以對(duì)任意恒成立，，所以，故利用誘導(dǎo)公式得都可滿足條件.故答案為：（答案不唯一，只要是即可）【點(diǎn)睛】正弦函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，周期性，單調(diào)性及誘導(dǎo)公式等等是我們必備的基礎(chǔ)知識(shí)，做題時(shí)經(jīng)常用到.14．##【分析】由題意，得，計(jì)算，，再利用三角形的面積公式代入計(jì)算即可.【詳解】由題意，可得，，，所以故答案為：15．；【詳解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.16．（1），，；（2）最大值0，最小值.【詳解】試題分析：（1）由圖可得出該三角函數(shù)的周期，從而求出；（2）把看作一個(gè)整體，從而求出最大值與最小值.（1）由題意知：的最小正周期為，令y=3，則，解得，所以，.（2）因?yàn)椋裕谑钱?dāng)，即時(shí)，取得最大值0；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.考點(diǎn)：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求三角函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，考查同學(xué)們分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.17．（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)椋瑒t，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.18．(1)(2)，【分析】（1）若選①，則直接利用余弦定理可求得，若選②，先由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后由正弦定理可求出，（2）若選①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面積公式可求出其面積，若選②，由于，利用兩角和的余弦公式展開(kāi)計(jì)算可求出角，利用面積公式可求出其面積，（1）選擇條件①因?yàn)椋捎嘞叶ɡ恚茫?jiǎn)得，解得或（舍）.所以；選擇條件②因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕烧叶ɡ淼茫茫獾茫唬?）選擇條件①因?yàn)椋?由正弦定理，得，所以，因?yàn)椋裕詾殇J角，所以，所以，選擇條件②由（1）知，，又因?yàn)椋谥校砸驗(yàn)樗裕?9．(1)；(2)【分析】（1）先由降冪公式得，故為奇函數(shù)，排除條件②，若選①③，不唯一，不合題意；若選①④由及周期解出即可；若選③④由最大值及周期解出即可；（2）先由倍角公式及輔助角公式求出，再令解出單調(diào)區(qū)間，最后寫(xiě)出在上的單調(diào)遞增區(qū)間即可.（1），易知為奇函數(shù)，故條件②不成立，舍去.若選①③，則且，故，，解得，故不唯一，不合題意；若選①④，且，故，解得，，存在且唯一，故；若選③④，則且，故，解得，，故，存在且唯一，故；（2），令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.20．（1）0；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入求的值；（2）首先設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)，（3）首先不等式等價(jià)于對(duì)恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化為求實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】

（1）；（2）令，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則所以在單調(diào)遞減，即，所以所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.（3）原題等價(jià)于對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則.易知，即在單調(diào)遞增，所以，所以，故在單調(diào)遞減，所以.

綜上所述，的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法：1.討論最值，先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出含參函數(shù)的最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式求參數(shù)的取值范圍；2.分離參數(shù)：先分離參數(shù)變量，再構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，從而求出參數(shù)的取值范圍.21．（1），，；（2）；（3）．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)使得成立的的最大值為，，則，，則，，則，這樣就寫(xiě)出，，的值；（2）若為等差數(shù)列，先判斷，再證明，即可求出所有可能的數(shù)列；（3）確定，，依此類推，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出，從而求出的值．試題解析：（1），，.（2）