2023屆高三年級模擬考試數學注意事項；1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號，座位號等相關信息填寫在答題卡指定區域內，并用2B鉛筆填涂相關信息.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）．A.{3} B.{1，3} C.{3，4} D.{1，3，4}【答案】B【解析】【分析】先求出集合的補集，再求【詳解】解：因為，，所以，因為，所以，故選：B.2.已知i為虛數單位，則復數（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據復數乘法的運算性質進行求解即可【詳解】，故選：C3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點D在線段BC上，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據確定，從而可得，從而用向量數量積的運算律即可求解.【詳解】設等腰△ABC在邊上的高為，因為，所以，所以,所以，所以.故選:B.4.古希臘亞歷山大時期的數學家帕普斯在《數學匯編》第3卷中記載著一個確定重心的定理：“如果同一平面內的一個閉合圖形的內部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉一周所得到的旋轉體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉所得周長的積”，即（表示平面圖形繞旋轉軸旋轉的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉軸旋轉一周的周長）.如圖直角梯形，已知，則重心到的距離為（）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根據題意，用式子分別表示出圓臺體積、梯形面積以及重心繞旋轉軸旋轉一周的周長，進而求解答案.【詳解】直角梯形繞旋轉一周所得的圓臺的體積為；梯形的面積，故記重心到的距離為，則，則，故選：A5.已知雙曲線的焦點關于漸近線的對稱點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據對稱性的性質及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，結合雙曲線的定義及雙曲線的離心率的公式即可求解.【詳解】關于漸近線的對稱點在雙曲線上，如圖所示，則.所以是的中位線，所以,.所以到漸近線的距離為，即，在中，，，所以，進而,所以離心率.故選：C.6.已知數列滿足，,則的前項積的最大值為（）A. B. C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】先通過遞推關系推出數列的周期為，然后個數為一組，分別計算的表達式后進行研究.【詳解】由可知，，，亦可得：，兩式相除得：，即，所以數列是以為周期的周期數列，由得：.記數列的前項積為，結合數列的周期性，當，則，記，為了讓越大，顯然需考慮為偶數，令，結合指數函數的單調性，則，即；類似的，.綜上所述，的前項積的最大值為.故選：C.7.若函數在其定義域內存在實數滿足，則稱函數為“局部奇函數”.知函數是定義在上的“局部奇函數”，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意得有解，即有解，利用換元法討論二次函數在給定區間有解即可.【詳解】根據“局部奇函數”定義知：有解，即方程有解，則即有解；設，則（當且僅當時取等號），方程等價于在時有解，時有解；在上單調遞增，，即實數的取值范圍為.故選D.8.如圖，在三棱錐中，平面，，，為線段的中點，分別為線段和線段上任意一點，則的最小值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用線面垂直的性質定理可得，又可得平面，所以.再根據三角形面積相等可得出的表達式即可確定其最小值。【詳解】根據題意平面可知，，又可得；由可知，，所以可得平面，即；在中，，，又，即所以，由得，所以，當且僅當時等號成立，即時，此時分別為線段和線段的中點，取得最小值；綜上可知，的最小值為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質，利用作差法和基本不等式逐項分析即得.【詳解】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，即，故B正確；對于C，因為，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：BD.10.已知函數滿足，其圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，且在上單調遞減，則（）A.B.函數的圖象關于對稱C.可以等于5D.的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】對于A，先由推得是的一個周期，再利用輔助角公式化簡，從而得到，由此得解；對于B，利用代入檢驗法即可；對于C，利用正弦函數的單調性，結合數軸法得到關于的不等式組，結合與即可得到的一個取值為，由此判斷即可；對于D，結合選項C中的結論，分析的取值范圍即可求得的最小值.【詳解】對于A，因為，所以，則是的一個周期，因為，所以是的最小正周期，故，則，又，故，故A錯誤；對于B，由選項A得，所以，故是的一個對稱中心，故B正確；對于C，的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，則，因為在上單調遞減，所以，解得，當時，，因為，所以，故C正確；對于D，因為，所以，則，又，故，當時，，可知，故D正確.故選：BCD.11.已知O為坐標原點，點F為拋物線的焦點，點，直線：交拋物線C于A，B兩點（不與P點重合），則以下說法正確的是（）A. B.存在實數，使得C.若，則 D.若直線PA與PB的傾斜角互補，則【答案】CD【解析】【分析】根據拋物線和直線方程可知直線過拋物線焦點，利用焦半徑公式可知可判斷A錯誤；聯立直線和拋物線方程利用向量數量積公式可知，恒成立，所以B錯誤；根據可知A，B兩點的縱坐標關系，解得其交點坐標代入直線方程可得，即C正確；由直線PA與PB的傾斜角互補，可知，利用韋達定理聯立方程即可求出，即D正確.【詳解】由題意可知，拋物線焦點為，準線方程為，直線恒過，如下圖所示：設，作垂直于準線，垂足為，根據拋物線定義可知，，易知，所以，但當時，此時與坐標原點重合，直線與拋物線僅有一個交點，因此，所以，即A錯誤；聯立直線和拋物線方程得；所以，，此時，所以，即，所以不存在實數，使得，故B錯誤；若AF＝2FB，由幾何關系可得，結合，可得或，即或，將點坐標代入直線方程可得，所以C正確；若直線PA與PB的傾斜角互補，則，即，整理得，代入，解得或，當時，直線過點，A與P點重合，不符合題意，所以；即D正確.故選：CD12.已知定義在上的函數的圖像連續不間斷，當時，，且當時，，則下列說法正確的是（）A.B.在上單調遞增C.若，則D.若是在區間內的兩個零點，且，則【答案】ABD【解析】【分析】A選項通過賦值法令可以解決，B選項對兩邊同時求導，結合以及函數圖像連續不斷的性質進行判斷，C選項分和的大小關系，分情況進行討論，D選項先說明，在結合題目條件說明另一個不等號是否成立的問題.【詳解】對于A，在中令，則，所以，故A正確；對于，當時，，對兩邊求導，則，所以時，，故，而時，即在上單調遞增，注意到圖像連續不間斷，故也有在上單調遞增，故B正確；對于C，由B知，在上單調遞增，，故當時，，即在上單調遞減.由知不可能均大于等于1，否則，則，這與條件矛盾，舍去.①若，則，滿足條件，此時，；，②若，則，由，取，則，則所以，而，所以，即，故C錯誤；對于D，由在上單調遞增，上單調遞減，知，注意到，根據零點存在定理，所以，若，根據C選項，則，則，由，，根據余弦函數單調性，，與矛盾，舍去.所以，在時，中，令，而由，由，在上單調遞減，所以，所以，于是，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓，若過定點有且僅有一條直線被圓截得弦長為2，則可以是__________．（只需要寫出其中一個值，若寫出多個答案，則按第一個答案計分.）【答案】或（寫出其中之一即可）【解析】【分析】根據直線和圓的位置關系可得，當弦長為直徑時或者弦長最短時滿足題意，利用弦長公式即可計算得出的值.【詳解】根據直線和圓的位置關系可知，若過定點有且僅有一條直線被圓截得弦長為2，則該弦長為直徑或者此時弦長最短；當該弦長為直徑時，即，得；當該弦長最短時如下圖所示：此時，弦長，所以，半徑；故答案為：1或（寫出其中之一即可）14.已知在四面體中，，則該四面體外接球的表面積為__________.【答案】##【解析】【分析】先判斷出V在平面的射影為三角形的外心,求出四面體外接球的半徑，即可求出四面體外接球的表面積.【詳解】在平面的射影為三角形的外心.又，所以由正弦定理得：三角形的外接圓的半徑；設四面體外接球的半徑為.解得：.所以外接球的表面積為.故答案為：.15.已知函數，若函數的圖象經過四個象限，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】易得直線過定點，函數過四個象限等價于與在軸的左右兩邊有異號交點，根據導數的幾何意義求函數的切線方程，求出切點，結合圖象即可得出答案.【詳解】解：直線過定點，函數過四個象限等價于與在軸的左右兩邊有異號交點，過作的切線，設切點為，，切線方程為，切線過，解得或（舍去），此時，當時，，線段所在直線斜率為1；當時，，射線所在直線斜率為，與軸交于，由圖象知滿足題意的的范圍是：.故答案為：.16.已知數列滿足，記（其中表示不大于的最大整數，比如），則__________.（參考數據：）【答案】6064【解析】【分析】設，由導數確定函數單調性，然后確定的值，再求和．【詳解】設，則，時,,時,,所以在單調遞增，在單調遞減，又，所以存在使得，即，且當時，，所以當時，，，又，所以，綜上，，所以.故答案為：6064.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知正項數列的前n項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用計算整理，可得，再利用等差數列的通項公式得答案；（2）將變形得，利用裂項相消法可得，進一步觀察可得證明結論.【小問1詳解】①，當時，②，①-②得，整理得，，，又當時，，解得，數列是以2為首項，2為公差的等差數列，；【小問2詳解】由（1）得，，，即.18.在①，②，③，．這三個條件中任進一個，補充在下面問題中并作答．已知中，內角所對的邊分別為，且________．（1）求的值;（2）若，求的周長與面積．【答案】（1）（2）周長為11，面積為【解析】【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角及誘導公式求出，再求出，由正切的二倍角公式即可求出的值；若選②，由誘導公式化簡，再結合三角函數的平方和，可求出，，再由正切的二倍角公式可求出的值；若選③，由余弦的二倍角公式代入化簡求出，再求出，由正切的二倍角公式可求出的值；（2）由，求出，由正弦定理求出，最后根據三角形的面積公式和周長即可得出答案.【小問1詳解】若選①:由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，則，則，故．若選②:由，化簡得，代入中，整理得，即，因為，所以，所以，則，故．若選③:因為，所以，即，則．因為，所以，則，故．【小問2詳解】因為，且，所以．由（1）得，則，由正弦定理得，則．故的周長為，的面積為．19.由中央電視臺綜合頻道（CCTV-1）和唯眾傳媒聯合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課．每期節目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現實的討論和心靈的滋養，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到了青年觀眾的喜愛．為了了解觀眾對節目的喜愛程度，電視臺隨機調查了A，B兩個地區的100名觀眾，得到如下所示的2×2列聯表．非常喜歡喜歡合計A3015Bxy合計已知在被調查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾來自B地區且喜愛程度為“非常喜歡”的概率為0．35．（1）現從100名觀眾中根據喜愛程度用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調查，則應抽取喜愛程度為“非常喜歡”的A，B地區的人數各是多少？（2）完成上述表格，并根據表格判斷是否有95%的把握認為觀眾的喜愛程度與所在地區有關系．（3）若以抽樣調查的頻率為概率，從A地區隨機抽取3人，設抽到喜愛程度為“非常喜歡”的觀眾的人數為X，求X的分布列和期望．附：，，0．050．0100．0013．8416．63510．828【答案】（1）從A地抽取6人，從B地抽取7人.（2）沒有95%的把握認為觀眾的喜愛程度與所在地區有關系.（3）分布列見解析，期望為2.【解析】【分析】（1）求出x的值，由分層抽樣在各層的抽樣比相同可得結果.（2）補全列聯表，再根據獨立性檢驗求解即可.（3）由題意知，進而根據二項分布求解即可.【小問1詳解】由題意得，解得，所以應從A地抽取（人），從B地抽取（人）．【小問2詳解】完成表格如下：非常喜歡喜歡合計A301545B352055合計6535100零假設為：觀眾的喜愛程度與所在地區無關.，所以沒有95%的把握認為觀眾的喜愛程度與所在地區有關系．【小問3詳解】從A地區隨機抽取1人，抽到的觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率為，從A地區隨機抽取3人，則，X的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，．所以X的分布列為X0123P方法1：．方法2：.20.如圖，在幾何體中，四邊形為矩形，，，，.（1）證明：；（2）若面面，且直線BE與平面所成角的正弦值為，求此時矩形的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)根據線面垂直的的判定定理證明線面垂直，進而可得線線垂直；(2)由面面垂直可得線面垂直，從而可建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算表示線面夾角的正弦值，即可求出長度，從而可求解矩形的面積.【小問1詳解】證明：由題意得，四邊形為直角梯形，又，，易知，，所以，所以.又因為，，平面，所以平面，平面，所以.【小問2詳解】因為平面平面且交線為，,平面，所以平面.以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DF為z軸建立如圖所示坐標系，設，，，，，，所以，設平面的法向量，，，則，得，設則，所以.設直線與平面所成角為，則.解得，所以.所以.21.已知橢圓，斜率為的直線與橢圓只有一個公共點（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于兩點，點在直線上，且軸，求直線在軸上的截距.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據點在橢圓上可得，又因為直線與橢圓只有一個交點，可得判別式等于零得到方程即可求解；(2)設出直線的方程，利用韋達定理，再表示出在軸上的截距關于坐標的等量關系，即可求解.【小問1詳解】依題意，直線的方程為，即，由，消去得.由于直線與橢圓只有一個