學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法（1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系．d<r?相交；d＝r?相切;d〉r?相離．（2)代數(shù)法:eq\o(→,\s\up7（判別式)，\s\do5（Δ＝b2－4ac））eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(〉0?相交；，＝0?相切；，<0?相離。)）2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:（x－a1）2＋(y－b1）2＝req\o\al（2，1)（r1>0），圓O2：（x－a2）2＋(y－b2）2＝req\o\al(2,2）(r2〉0）。方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法:聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況相離d〉r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝｜r1－r2|（r1≠r2）一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<｜r1－r2|（r1≠r2）無(wú)解【知識(shí)拓展】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a）2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0）的圓的切線方程為（x0－a)(x－a)＋（y0－b）(y－b)＝r2.(3）過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0）作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論（1）兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條;②內(nèi)切：1條；③相交:2條；④外切：3條；⑤相離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同）相減便可得公共弦所在直線的方程．【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×"）（1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切．(×）(2）如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．（×）(3）從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(×)(4）過(guò)圓O:x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0）的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2。（√)（5）過(guò)圓O:x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P（x0，y0）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則O,P,A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√）1．(教材改編）圓（x－1）2＋(y＋2）2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交但直線不過(guò)圓心C．相交過(guò)圓心 D．相離答案B解析由題意知圓心（1,－2)到直線2x＋y－5＝0的距離d＝eq\f（|2×1－2－5｜,\r(22＋1)）＝eq\r(5）<eq\r(6)且2×1＋（－2)－5≠0,所以直線與圓相交但不過(guò)圓心．2．（2016·全國(guó)甲卷）圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1,則a等于()A．－eq\f(4，3）B．－eq\f(3，4)C。eq\r（3)D．2答案A解析由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標(biāo)為(1，4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f（｜1×a＋4－1｜,\r（1＋a2）)＝1，解之得a＝－eq\f（4，3)。3．（2016·西安模擬)若直線x－y＋1＝0與圓（x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．［－3,－1］ B．［－1，3]C．[－3,1] D．（－∞,－3］∪[1，＋∞)答案C解析由題意，可得圓的圓心為（a，0)，半徑為eq\r(2)，所以eq\f(｜a－0＋1｜，\r（12＋－12))≤eq\r(2），即｜a＋1|≤2,解得－3≤a≤1。4．圓C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0與圓C2：(x－2)2＋y2＝1的位置關(guān)系是________．答案內(nèi)含解析圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝36，其圓心坐標(biāo)為C1(－1，3）,半徑r1＝6；圓C2的圓心坐標(biāo)為C2(2,0),半徑r2＝1。｜C1C2|＝eq\r(2＋12＋32）＝3eq\r(2）。∵3eq\r(2）〈5＝r1－r2，∴圓C2在圓C1的內(nèi)部．5．已知圓C1：（x－a)2＋（y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋（y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為_(kāi)_______．答案eq\f(9，4)解析由兩圓外切可得圓心(a，－2），（－b，－2)之間的距離等于兩圓半徑之和,即（a＋b）2＝(2＋1)2,即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào),即ab的最大值是eq\f(9,4）.題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1（1）已知點(diǎn)M(a，b）在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定（2)(2016·江西吉安月考)圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0（t∈R）的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能答案（1）B(2)C解析（1)因?yàn)镸（a,b）在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|，\r(a2＋b2)）＝eq\f(1，\r（a2＋b2)）〈1。所以直線與圓相交．(2)直線2tx－y－2－2t＝0恒過(guò)點(diǎn)（1,－2），∵12＋(－2)2－2×1＋4×（－2)＝－5〈0，∴點(diǎn)（1，－2）在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)．直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故選C。思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系．（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．（3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題．過(guò)點(diǎn)A（eq\r(3），1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是（）A．［－1,1] B．[0，eq\r（3)]C．[0,1］ D．[－eq\r（3)，eq\r（3）]答案B解析設(shè)直線l的方程為y－1＝k（x－eq\r（3）)，則圓心到直線l的距離d＝eq\f（｜\r（3）k－1|，\r(1＋k2）），因?yàn)橹本€l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn),所以d≤1，即eq\f(｜\r(3)k－1|，\r（1＋k2））≤1，得0≤k≤eq\r（3)。題型二圓與圓的位置關(guān)系例2(1)（2016·山東）已知圓M：x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2eq\r(2)，則圓M與圓N:(x－1）2＋（y－1）2＝1的位置關(guān)系是(）A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離（2）(2017·重慶月考）如果圓C:x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________________．答案(1）B(2)（－2eq\r（2），0）∪（0,2eq\r(2）)解析（1)∵圓M：x2＋（y－a)2＝a2(a>0），∴圓心坐標(biāo)為M（0，a)，半徑r1為a，圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f（｜a|,\r(2)),由幾何知識(shí)得eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(|a｜，\r(2)）））2＋（eq\r(2））2＝a2，解得a＝2。∴M(0，2），r1＝2.又圓N的圓心坐標(biāo)N（1,1），半徑r2＝1，∴|MN|＝eq\r(1－02＋1－22）＝eq\r(2），r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴兩圓相交，故選B。（2）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a)2＋（y－a）2＝4，圓心坐標(biāo)為(a,a），半徑為2.依題意得0〈eq\r（a2＋a2）<2＋2,∴0<｜a｜<2eq\r(2）.∴a∈（－2eq\r（2)，0）∪(0，2eq\r（2)）．思維升華判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法,其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2,｜r1－r2｜；(3）比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫(xiě)出結(jié)論．已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0。（1)m取何值時(shí)兩圓外切；（2）m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切;（3）求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3）2＝11，(x－5)2＋(y－6）2＝61－m,圓心分別為M(1,3），N(5,6)，半徑分別為eq\r(11）和eq\r（61－m）。(1）當(dāng)兩圓外切時(shí)，eq\r（5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r（61－m),解得m＝25＋10eq\r(11)。（2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),因?yàn)槎▓A的半徑eq\r（11)小于兩圓圓心間距離5，故只有eq\r（61－m)－eq\r(11)＝5,解得m＝25－10eq\r(11）.(3）兩圓的公共弦所在直線方程為（x2＋y2－2x－6y－1）－（x2＋y2－10x－12y＋45)＝0,即4x＋3y－23＝0，所以公共弦長(zhǎng)為2eq\r(\r（11）2－\f(｜4×1＋3×3－23｜,\r（42＋32)）2)＝2eq\r（7).題型三直線與圓的綜合問(wèn)題命題點(diǎn)1求弦長(zhǎng)問(wèn)題例3（2016·全國(guó)丙卷）已知直線l:mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若｜AB｜＝2eq\r(3），則｜CD|＝________.答案4解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R＝2eq\r(3），｜AB｜＝2eq\r（3)，所以｜OM｜＝3,解得m＝－eq\f（\r（3)，3），由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－\r（3）y＋6＝0,，x2＋y2＝12,））解得A(－3，eq\r(3))，B(0,2eq\r(3）），則AC的直線方程為y－eq\r（3)＝－eq\r(3)(x＋3),BD的直線方程為y－2eq\r(3)＝－eq\r（3)x，令y＝0，解得C(－2,0),D(2,0)，所以|CD|＝4。命題點(diǎn)2直線與圓相交求參數(shù)范圍例4（2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知過(guò)點(diǎn)A（0,1）且斜率為k的直線l與圓C：（x－2）2＋（y－3）2＝1交于M，N兩點(diǎn)．（1）求k的取值范圍；（2）若eq\o（OM,\s\up6(→））·eq\o(ON，\s\up6(→))＝12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN｜。解(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn),所以eq\f（|2k－3＋1|，\r(1＋k2））<1。解得eq\f(4－\r(7）,3)〈k<eq\f(4＋\r（7）,3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(4－\r（7),3)，\f(4＋\r（7)，3)）).(2)設(shè)M（x1，y1），N（x2,y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋（y－3）2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f（41＋k，1＋k2），x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM，\s\up6（→）)·eq\o(ON，\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k（x1＋x2)＋1＝eq\f（4k1＋k,1＋k2）＋8。由題設(shè)可得eq\f（4k1＋k，1＋k2）＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程為y＝x＋1。故圓心C在l上，所以｜MN｜＝2.命題點(diǎn)3直線與圓相切的問(wèn)題例5已知圓C:（x－1)2＋(y＋2）2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程．(1）與直線l1：x＋y－4＝0平行；（2）與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3）過(guò)切點(diǎn)A（4,－1)．解（1）設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0，則eq\f（｜1－2＋b｜，\r(2））＝eq\r（10)，∴b＝1±2eq\r（5)，∴切線方程為x＋y＋1±2eq\r（5)＝0。（2)設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0,則eq\f（|2－2＋m|,\r(5)）＝eq\r（10），∴m＝±5eq\r(2)，∴切線方程為2x＋y±5eq\r（2)＝0。（3)∵kAC＝eq\f（－2＋1，1－4)＝eq\f（1,3），∴過(guò)切點(diǎn)A（4，－1)的切線斜率為－3，∴過(guò)切點(diǎn)A(4,－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0。思維升華直線與圓綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．（2)圓的切線問(wèn)題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問(wèn)題．（1）(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)過(guò)三點(diǎn)A（1，3），B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則｜MN｜等于(）A．2eq\r（6)B．8C．4eq\r(6）D．10（2）若直線xcosθ＋ysinθ－1＝0與圓(x－1）2＋(y－sinθ)2＝eq\f(1,16）相切,且θ為銳角,則該直線的斜率是（)A．－eq\f(\r（3），3)B．－eq\r（3)C。eq\f（\r（3），3）D.eq\r(3）答案(1)C(2）A解析（1)由已知,得eq\o（AB,\s\up6（→））＝(3,－1），eq\o(BC,\s\up6(→））＝（－3,－9),則eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1）×(－9）＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→)）⊥eq\o（BC,\s\up6(→)），即AB⊥BC，故過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為（x－1)2＋（y＋2）2＝25,令x＝0，得（y＋2）2＝24，解得y1＝－2－2eq\r（6)，y2＝－2＋2eq\r（6），所以|MN|＝｜y1－y2｜＝4eq\r（6），選C.(2）依題意，得圓心到直線的距離等于半徑,即|cosθ＋sin2θ－1|＝eq\f(1，4），|cosθ－cos2θ｜＝eq\f(1，4)，所以cosθ－cos2θ＝eq\f（1，4）或cosθ－cos2θ＝－eq\f（1，4）（不符合題意，舍去）．由cosθ－cos2θ＝eq\f(1,4)，得cosθ＝eq\f(1,2），又θ為銳角,所以sinθ＝eq\f（\r（3），2）,故該直線的斜率是－eq\f（cosθ,sinθ)＝－eq\f(\r(3),3)，故選A。7．高考中與圓交匯問(wèn)題的求解考點(diǎn)分析與圓有關(guān)的最值問(wèn)題及直線與圓相結(jié)合的題目是近年來(lái)高考高頻小考點(diǎn)．與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類(lèi)問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化；直線與圓的綜合問(wèn)題主要包括弦長(zhǎng)問(wèn)題，切線問(wèn)題及組成圖形面積問(wèn)題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì)．一、與圓有關(guān)的最值問(wèn)題典例1（1）(2015·湖南)已知點(diǎn)A，B,C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC。若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0)，則｜eq\o(PA，\s\up6（→)）＋eq\o(PB，\s\up6(→））＋eq\o(PC，\s\up6(→))|的最大值為（)A．6B．7C．8D．9(2）過(guò)點(diǎn)（eq\r（2)，0）引直線l與曲線y＝eq\r(1－x2）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于（）A。eq\f(\r(3),3)B．－eq\f（\r（3),3)C．±eq\f（\r（3），3)D．－eq\r(3）解析(1)∵A,B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC,∴AC為圓的直徑，故eq\o（PA,\s\up6（→))＋eq\o(PC,\s\up6（→）)＝2eq\o（PO,\s\up6(→))＝(－4,0)，設(shè)B(x,y)，則x2＋y2＝1且x∈［－1，1］,eq\o（PB,\s\up6（→))＝(x－2，y)，∴eq\o（PA,\s\up6(→)）＋eq\o（PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC，\s\up6（→））＝(x－6，y）．故｜eq\o（PA,\s\up6(→))＋eq\o（PB,\s\up6(→)）＋eq\o(PC,\s\up6(→)）|＝eq\r(－12x＋37），∴當(dāng)x＝－1時(shí)有最大值eq\r(49）＝7,故選B。（2）∵S△AOB＝eq\f(1,2）｜OA||OB｜sin∠AOB＝eq\f（1，2)sin∠AOB≤eq\f（1,2).當(dāng)∠AOB＝eq\f（π，2）時(shí)，△AOB的面積最大．此時(shí)O到AB的距離d＝eq\f（\r（2）,2）。設(shè)AB方程為y＝k(x－eq\r(2))(k〈0)，即kx－y－eq\r(2）k＝0.由d＝eq\f（｜\r(2)k｜,\r(k2＋1））＝eq\f（\r(2)，2)得k＝－eq\f（\r（3)，3）。（也可k＝－tan∠OPH＝－eq\f（\r(3),3）)．答案(1)B(2）B二、直線與圓的綜合問(wèn)題典例2（1)（2015·重慶)已知直線l:x＋ay－1＝0（a∈R）是圓C:x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)軸,過(guò)點(diǎn)A（－4，a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B，則｜AB|等于(）A．2B．4eq\r（2）C．6D．2eq\r（10）(2)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為（)A。eq\f（4,5)π B。eq\f(3,4）πC．（6－2eq\r（5))π D。eq\f(5，4）π解析（1)由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)軸,∴圓心C(2，1）在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0,∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴｜AC｜2＝36＋4＝40.又r＝2，∴｜AB|2＝40－4＝36.∴|AB｜＝6.(2）∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)O在圓C上．設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，∴點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2x＋y－4＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，∴當(dāng)且僅當(dāng)O，C,D共線時(shí)，圓的直徑最小為｜OD|。又｜OD｜＝eq\f（|2×0＋0－4｜,\r(5))＝eq\f（4，\r（5）),∴圓C的最小半徑為eq\f(2，\r(5）),∴圓C面積的最小值為π(eq\f(2,\r(5)））2＝eq\f(4,5)π.答案（1）C(2)A1．（2015·廣東)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是(）A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r(5）＝0或2x＋y－eq\r（5）＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0答案A解析設(shè)所求直線方程為2x＋y＋c＝0，依題意有eq\f（｜0＋0＋c|,\r（22＋12)）＝eq\r(5)，解得c＝±5，所以所求直線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故選A.2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切,則m等于(）A．21B．19C．9D．－11答案C解析圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－3）2＋（y－4)2＝25－m.又圓C1:x2＋y2＝1，∴｜C1C2|＝5.又∵兩圓外切，∴5＝1＋eq\r（25－m)，解得m＝9。3．（2016·南昌二模)若圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2:x2＋y2＋2by＋b2－1＝0（b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為（)A。eq\r(2）B．2C．4D．2eq\r（2）答案B解析圓C1:x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R）．化為（x－a）2＋y2＝9，圓心坐標(biāo)為(a，0)，半徑為3.圓C2:x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化為x2＋（y＋b）2＝1,圓心坐標(biāo)為（0，－b)，半徑為1，∵圓C1:x2＋y2－2ax＋a2－9＝0（a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0（b∈R）內(nèi)切，∴eq\r(a2＋b2）＝3－1，即a2＋b2＝4,ab≤eq\f（1,2)（a2＋b2）＝2.∴ab的最大值為2。4．（2016·泰安模擬)過(guò)點(diǎn)P(3,1）作圓C:(x－1）2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（)A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0答案A解析如圖所示，由題意知:AB⊥PC，kPC＝eq\f(1,2），∴kAB＝－2，∴直線AB的方程為y－1＝－2（x－1)，即2x＋y－3＝0.5．若直線l：y＝kx＋1(k<0）與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，則直線l與圓D：（x－2）2＋y2＝3的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切C．相離 D．不確定答案A解析因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋2)2＋（y－1)2＝2，所以其圓心坐標(biāo)為(－2,1），半徑為eq\r（2)。因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以eq\f(｜－2k－1＋1｜,\r（k2＋1))＝eq\r(2）,解得k＝±1,因?yàn)閗〈0,所以k＝－1,所以直線l的方程為x＋y－1＝0。圓心D（2,0）到直線l的距離d＝eq\f（｜2＋0－1｜，\r（2))＝eq\f（\r(2),2)<eq\r(3)，所以直線l與圓D相交．6．(2016·岳陽(yáng)一模)已知圓C：x2＋（y－3)2＝4，過(guò)A（－1，0）的直線l與圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，若｜PQ｜＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0答案B解析當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－1，符合題意;當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，由｜PQ|＝2eq\r（3）,得圓心C到直線l的距離d＝eq\f（｜－k＋3｜,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，此時(shí)直線l的方程為y＝eq\f(4，3）(x＋1)．故所求直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.7．(2016·全國(guó)乙卷）設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn),若|AB|＝2eq\r(3),則圓C的面積為_(kāi)_______．答案4π解析圓C:x2＋y2－2ay－2＝0,即C：x2＋(y－a）2＝a2＋2，圓心為C(0,a)，C到直線y＝x＋2a的距離d＝eq\f(｜0－a＋2a|，\r（2）)＝eq\f（|a｜，\r（2)).又由｜AB｜＝2eq\r（3）,得eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2\r（3),2)）)2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(｜a|，\r（2）））)2＝a2＋2，解得a2＝2,所以圓的面積為π（a2＋2)＝4π。8．（2016·天津四校聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)(1，eq\r（2)）的直線l將圓（x－2）2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝________.答案eq\f(\r(2）,2)解析∵（1－2)2＋（eq\r（2）)2＝3〈4,∴點(diǎn)(1，eq\r（2））在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部．當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，圓心(2，0）與點(diǎn)(1，eq\r(2)）的連線垂直于直線l。∵eq\f（\r（2）－0,1－2）＝－eq\r(2)，∴所求直線l的斜率k＝eq\f（\r（2）,2)。9．(2015·山東)過(guò)點(diǎn)P(1，eq\r(3))作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB，\s\up6（→））＝________.答案eq\f（3,2)解析由題意，圓心為O（0，0)，半徑為1.如圖所示，∵P(1,eq\r（3)），∴PB⊥x軸，|PA|＝｜PB｜＝eq\r(3).∴△POA為直角三角形，其中｜OA｜＝1,|AP|＝eq\r（3)，則｜OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°。∴eq\o（PA，\s\up6(→）)·eq\o（PB，\s\up6（→））＝|eq\o（PA，\s\up6(→））｜|eq\o(PB,\s\up6（→））｜·cos∠APB＝eq\r(3)×eq\r（3)×cos60°＝eq\f(3，2)。10．已知曲線C：x＝－eq\r（4－y2），直線l：x＝6，若對(duì)于點(diǎn)A(m，0），存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得eq\o（AP,\s\up6（→)）＋eq\o（AQ，\s\up6(→)）＝0，則m的取值范圍為_(kāi)_______．答案［2,3］解析曲線C:x＝－eq\r(4－y2)是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓,并且xP∈［－2,0]，對(duì)于點(diǎn)A(m,0），存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得eq\o（AP,\s\up6(→）)＋eq\o（AQ,\s\up6（→)）＝0,說(shuō)明A是PQ的中點(diǎn),Q的橫坐標(biāo)x＝6，所以m＝eq\f（6＋xP，2)∈[2,3］．11．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過(guò)P作圓C的切線,設(shè)切點(diǎn)為M.（1)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到(1，3)處，求此時(shí)切線l的方程；（2）求滿足條件|PM|＝｜PO｜的點(diǎn)P的軌跡方程．解把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1）2＋(y－2）2＝4,∴圓心為C(－1，2)，半徑r＝2.（1）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿足條件．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，得l的方程為y－3＝k(x－1），即kx－y＋3－k＝0,則eq\f(|－k－2＋3－k｜,\r（1＋k2））＝2，解得k＝－eq\f（3,4）.∴l(xiāng)的方程為y－3＝－eq\f(3，4)（x－1),即3x＋4y－15＝0.綜上，滿足條件的切線l的方程為x＝1或3x＋4y－15＝0.（2)設(shè)P(x，y），則｜PM|2＝｜PC|2－｜MC｜2＝(x＋1)2＋（y－2）2－4，｜PO|2＝x2＋y2，∵｜PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0,∴點(diǎn)P的軌跡方程為2x－4y＋1＝0。12．圓O1的方程為x2＋（y＋