數學概論點估計第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日第五章參數估計點估計方法估計量的評選標準區間估計5.2第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日5.1點估計

一、參數估計的概念

定義設X1，…，Xn是總體X的一個樣本，其分布函數為F(x;),。其中為未知參數,為參數空間,若統計量g(X1，…，Xn)可作為的一個估計,則稱其為的一個估計量，記為注：F(x;)也可用分布律或密度函數代替.第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日若x1，…，xn是樣本的一個觀測值。

由于g(x1，…，xn)

是實數域上的一個點，現用它來估計，故稱這種估計為點估計。點估計的經典方法是矩估計法與極大似然估計法。第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日二、矩估計法（簡稱“矩法”）關鍵點：1.用樣本矩作為總體同階矩的估計，即2.約定：若是未知參數的矩估計，則g()的矩估計為g()第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日例1：設X1，…，Xn為取自總體B(m,p),的樣本，其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估計。解:E(X)=mp,而為參數p的矩估計第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日EX：設X1，…，Xn為取自參數為的指數分布總體的樣本，求的矩估計。第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2.設總體X的概率密度為X1，…，Xn為樣本，求參數的矩估計。解:第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日而第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日例3：設X1，…，Xn為取自總體的樣本，求參數的矩估計。解:第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日解:由:第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日三、極大似然估計法1、極大似然思想

有兩個射手，一人的命中率為0.9,另一人的命中率為0.1,現在他們中的一個向目標射擊了一發，結果命中了，估計是誰射擊的？

一般說，事件A發生的概率與參數有關，取值不同，則P(A)也不同。因而應記事件A發生的概率為P(A|).若A發生了，則認為此時的值應是在中使P(A|)達到最大的那一個。這就是極大似然思想第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日1.設總體X為離散型隨機變量，它的分布律為現有樣本觀察值x1,x2,…xn,,其中xk取值于{ak,k=1,2…}問：根據極大似然思想，如何用x1,x2,…xn估計q?根據極大似然思想,值應是在中使P(A|)達到最大的那一個,也就是使樣本聯合分布律最大.第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日2.設總體X為連續型隨機變量，概率密度f(x;q)現有樣本觀察值x1,x2,…xn,問：根據極大似然思想，如何用x1,x2,…xn估計q?根據極大似然思想,值應是在中使P(A|)達到最大的那一個,也就是使樣本聯合密度最大.第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日3、似然函數與極大似然估計為該總體的似然函數(p181)。定義：若有使得則稱為的極大似然估計.記為第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日3、求極大似然估計的步驟*(1)做似然函數(2)做對數似然函數第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日(3)列似然方程,令若該方程有解，則其解就是第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日例5.設X1，…，Xn為取自參數為的泊松分布總體的樣本，求的極大似然估計解:令第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日注1：若概率分布中含有多個未知參數，則可解方程組例6：設X1，…，Xn為取自總體的樣本，求參數的極大似然估計。解:第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日令第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日為的極大似然估計.注2：極大似然估計具有下述性質若是未知參數的極大似然估計，u()