2020版高考數學二輪復習專題限時集訓9直線與圓理PAGE14-專題限時集訓(九)直線與圓[專題通關練](建議用時：30分鐘)1．(2022·江陰模擬)點P是直線x＋y－2＝0上的動點，點Q是圓x2＋y2＝1上的動點，那么線段PQ長的最小值為()A.eq\r(2)－1 B．1C.eq\r(2)＋1 D．2A[根據題意，圓x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，半徑r＝1，圓心(0,0)到直線x＋y－2＝0的距離d＝eq\f(|2|,\r(2))＝eq\r(2)，那么線段PQ長的最小值為eq\r(2)－1，應選A.]2．直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，那么“m＝2〞是“l1∥l2〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件C[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經驗證，當m＝－1時，直線l1與l2重合，不合題意．所以“m＝2〞是“l1∥l2〞的充要條件，應選C.]3．圓x2－4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條D[根據題意，圓x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圓心坐標為(2,0)，半徑為2；圓x2＋y2＋4x＋3＝0，即圓(x＋2)2＋y2＝1，其圓心坐標為(－2,0)，半徑為1；那么兩圓的圓心距為4，兩圓半徑和為3，因為4＞3，所以兩圓的位置關系是外離，故兩圓的公切線共4條．應選D.]4．直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，那么直線的傾斜角為()A.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6)或eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)A[由題意可知，圓心P(2,3)，半徑r＝2，∴圓心P到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，由d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝r2，可得eq\f(4k2,1＋k2)＋3＝4，解得k＝±eq\f(\r(3),3).設直線的傾斜角為α，那么tanα＝±eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).]5．在平面直角坐標系xOy中，以(－2,0)為圓心且與直線(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圓中，面積最大的圓的標準方程是()A．(x＋2)2＋y2＝16 B．(x＋2)2＋y2＝20C．(x＋2)2＋y2＝25 D．(x＋2)2＋y2＝36C[將直線(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0變形為(3x－2y)m＋(x＋y－5)＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝0，,x＋y－5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))即直線恒過定點M(2,3)．設圓心為P，即P(－2,0)，由題意可知，當圓的半徑r＝|MP|時，圓的面積最大，此時|MP|2＝r2＝25.即圓的標準方程為(x＋2)2＋y2＝25.]6．假設P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，那么直線AB的方程是________．x－y－3＝0[記題中圓的圓心為O，那么O(1,0)，因為P(2，－1)是弦AB的中點，所以直線AB與直線OP垂直，易知直線OP的斜率為－1，所以直線AB的斜率為1，故直線AB的方程為x－y－3＝0.]7．假設圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的長為2eq\r(2)，那么a＝________.eq\f(\r(10),2)[聯立兩圓方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0，))可得公共弦所在直線方程為ax＋2ay－5＝0，故圓心(0,0)到直線ax＋2ay－5＝0的距離為eq\f(|－5|,\r(a2＋4a2))＝eq\f(\r(5),a)(a>0)．故2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),a)))eq\s\up12(2))＝2eq\r(2)，解得a2＝eq\f(5,2)，因為a>0，所以a＝eq\f(\r(10),2).]8．設P為直線3x－4y＋11＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，那么四邊形PACB的面積的最小值為________．eq\r(3)[圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為C(1,1)，半徑為r＝1，根據對稱性可知，四邊形PACB的面積為2S△APC＝2×eq\f(1,2)|PA|r＝|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)，要使四邊形PACB的面積最小，那么只需|PC|最小，最小值為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離d＝eq\f(|3－4＋11|,\r(32＋－42))＝eq\f(10,5)＝2.所以四邊形PACB面積的最小值為eq\r(|PC|\o\al(2,min)－r2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3).][能力提升練](建議用時：20分鐘)9．實數x，y滿足x2＋y2＋2x＝0，那么eq\f(y,x－1)的取值范圍是()A．[－eq\r(3)，eq\r(3)] B．(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))C[設eq\f(y,x－1)＝t，，那么tx－y－t＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1有交點，∴圓心(－1,0)到直線tx－y－t＝0的距離d＝eq\f(|－t－t|,\r(t2＋1))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤t≤eq\f(\r(3),3).應選C.]10．(2022·贛州模擬)動直線y＝kx－1＋k(k∈R)與圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圓心為C)交于點A、B，那么弦AB最短時，△ABC的面積為()A．3 B．6C.eq\r(5) D．2eq\r(5)D[根據題意，圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，其圓心為(1，－2)，半徑r＝3.動直線y＝kx－1＋k，即y＋1＝k(x＋1)，恒過定點P(－1，－1)，又由(－1－1)2＋(－1＋2)2＜9，可知點P(－1，－1)在圓C的內部，動直線y＝kx－1＋k(k∈R)與圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圓心為C)交于點A、B，當P為AB的中點即CP與AB垂直時，弦AB最短，此時|CP|＝eq\r(5)，弦AB的長度為2×eq\r(r2－|CP|2)＝4，此時，△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×|CP|×|AB|＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).應選D.]11．假設圓C：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2m)))eq\s\up12(2)＝n的圓心為橢圓M：x2＋my2＝1的一個焦點，且圓C經過橢圓M的另一個焦點，那么圓C的標準方程為________．x2＋(y＋1)2＝4[∵圓C的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2m)))，∴eq\r(\f(1,m)－1)＝eq\f(1,2m)，解得m＝eq\f(1,2).又圓C經過M的另一個焦點，那么圓C經過點(0,1)，從而n＝4，故圓C的標準方程為x2＋(y＋1)2＝4.]12．(2022·九江二模)圓E經過M(－1,0)，N(0,1)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))三點．(1)求圓E的方程；(2)假設過點C(2,2)作圓E的兩條切線，切點分別是A，B，求直線AB的方程．[解](1)根據題意，設圓E的圓心E坐標為(a，b)，半徑為r，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12＋b2＝r2，,a2＋b－12＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，,r＝1，))那么圓E的方程為x2＋y2＝1.(2)根據題意，過點C(2,2)作圓E的兩條切線，切點分別是A，B，設以C為圓心，CA為半徑的圓為圓C，其半徑為R，那么有R＝|CA|＝eq\r(|OC|2－r2)＝eq\r(7)，那么圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝7，即x2＋y2－4x－4y＋1＝0，又由直線AB為圓E與圓C的公共弦所在的直線，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x2＋y2－4x－4y＋1＝0，))解得2x＋2y－1＝0，那么AB的方程為：2x＋2y－1＝0.題號內容押題依據1點到直線的距離公式，數形結合思想由動態的觀點，分析直線與圓的位置關系，并通過數形結合的思想及方程思想確定方程的具體位置，表達了高考的最新動向2直線與圓的位置關系，平面向量，軌跡問題，根與系數的關系用代數的方法研究直線與圓的位置關系可以巧妙的將函數與方程，根與系數的關系等知識交匯在一起，考查考生的運算能力和等價轉化能力【押題1】直線l：x－2y＋4＝0，圓C：(x－1)2＋(y＋5)2＝80，那么圓C上到l的距離為eq\r(5)的點一共有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個C[由圓C：(x－1)2＋(y＋5)2＝80，可得圓心C(1，－5)，半徑R＝4eq\r(5)，又圓心C(1，－5)到直線x－2y＋4＝0的距離d＝eq\f(|1－2×－5＋4|,\r(12＋－22))＝eq\f(15,\r(5))＝3eq\r(5)，如下圖，由圖象可知，點A，B，D到直線x－2y＋4＝0的距離都為eq\r(5)，所以圓C上到l的距離為eq\r(5)的點一共3個，應選C.]【押題2】圓C：(x－2)2＋(y－2)2＝16，點A(10,0)．(1)設點P是圓C上的一個動點，求AP的中點Q的軌跡方程；(2)直線l：kx－y－10k＝0與圓C交于M，N，求eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(AN,\s\up7(→))的值．[解](1)設Q(x，y)，P(x0，y0)，那么(x0－2)2＋(y0－2)2＝16，由x＝eq\f(x0＋10,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，解得x0＝2x－10，y0＝2y.代入圓的方程可得：(2x－10－2)2＋(2y－2)2＝16，即(x－6)2＋(y－1)2＝4.∴AP的中點Q的軌跡方程為：(x－6)2＋(y－1)2＝4.(2)直線l：kx－y－10k＝0與圓C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，把直線l的方程代入圓的方程可得：(x－2)2＋(kx－10k－2)2＝16，化為：(1＋k2)x2－(20k2＋4k＋4)x＋100k2＋40k－12＝0.Δ＞0.∴x1x2＝eq\f(100k2＋40k－12,1