匠心文檔，專屬精選。課時作業14導數在函數中的應用一、選擇題(每題5分，共40分)1．(2014·長春名校聯考)已知定義在R上的函數f(x)，其導函數f′(x)的大體圖像以以下圖，則以下表達正確的選項是( )A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)分析：依題意得，當x∈(－∞，c)時，f′(x)>0；當x∈(c，e)時，f′(x)<0；當x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0.所以，函數f(x)在(－∞，c)上是增函數，在(c，e)上是減函數，在(e，＋∞)上是增函數，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，選C.答案：C．·西安模擬若函數＝kkh(x)2(2014)2xx3則實數k的取值范圍是()A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]2＋k分析：由條件得h′(x)＝2＋k2＝2x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，xx即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。答案：A3．(2014·福建，8)設函數f(x)的定義域為R，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點，以下結論必定正確的選項是( )A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的極小值點C．－x0是－f(x)的極小值點D．－x0是－f(－x)的極小值點分析：∵y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖像關于原點對稱，∴－x0是－f(－x)的極小值點．答案：D．(2014·青島模擬函數f(x)＝3－3x2＋2在區間[－1,1]上的最大4)x值是()A．－2B．0C．2D．4分析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.f(x)在[－1,0)上是增函數，f(x)在(0,1]上是減函數．f(x)max＝f(x)極大值＝f(0)＝2.答案：C15．(2014·長春市調研)若a>2，則函數f(x)＝3x3－ax2＋1在(0,2)內零點的個數為()A．3B．2C．1D．0分析：依題意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)8時恒為負，即f(x)在(0,2)內單調遞減，又f(0)＝1>0，f(2)＝3－4a＋1<0，匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選。所以f(x)在(0,2)內只有一個零點，應選C.答案：C6．定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函數f(x)在區間(0，＋∞)上的圖像以以下圖，則不等式f(x)f′(x)>0的解集是( )A．(－∞，0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)分析：f(x)圖像如圖①當x>0，f′(x)>0，若f(x)·f′(x)>0，則只要f(x)>0，由圖得x∈(1，＋∞)．②當x<0，f′(x)<0，若f(x)·f′(x)>0，則只要f(x)<0，由圖得x∈(－1,0)．綜上，x∈(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：B．·陜西寶雞一模，9)已知函數f(x)＝3－ax－1，若f(x)在(－7(2014x1,1)上單調遞減，則a的取值范圍為()A．a≥3B．a>3匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。C．a≤3D．a<3分析：∵f′(x)＝3x2－a，又f(x)在(－1,1)上單調遞減，∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x2<3，∴a≥3.經考據當a＝3時，f(x)在(－1,1)上單調遞減．答案：A8．(2013·浙江，8)已知e為自然對數的底數，設函數f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則( )A．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值B．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值C．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值D．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值分析：①當k＝1時，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此時f′(x)＝ex(x－1)(ex－1)＝ex·x－1，∴A、B項均錯．②當k＝2時，f(x)＝(ex－1)(x－1)2此時f′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零點介于0,1之間，不如設為x0，則有x(－∞，x0)00,1(1，＋∞)x(x1)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大↘極小↗值值故f(x)在x＝1處獲得極小值．答案：C二、填空題(每題5分，共15分)9．(2014·深圳調研)設函數f(x)＝lnx－1ax2－bx，若x＝1是f(x)的2匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選。極大值點，則a的取值范圍為________．分析：f(x)的定義域為(0，＋∞)，1f′(x)＝x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1－ax＋a－1＝－ax＋1x－1.xx①若a≥0，當0<x<1時，f′(x)>0，此時f(x)單調遞加；當x>1時，f′(x)<0，此時f(x)單調遞減；所以x＝1是f(x)的極大值點．1②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－a.1由于x＝1是f(x)的極大值點，所以－a>1，解得－1<a<0.綜合①②得a的取值范圍是a>－1.答案：(－1，＋∞)10．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使體積最大，則其高為________．分析：設圓錐的體積為Vcm3，高為hcm，則V＝13π(400－h2)h＝1π(400h－h3)，31∴V′＝3π(400－3h2)，3由V′＝0，得h＝3.203所以當h＝3cm時，V最大．匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選。20答案：33cm11．已知函數f(x)＝alnx＋x在區間[2,3]上單調遞加，則實數a的取值范圍是________．a分析：∵f(x)＝alnx＋x，∴f′(x)＝x＋1.又∵f(x)在[2,3]上單調遞加，a∴x＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)三、解答題(共3小題，每題15分，共45分．解答寫出必需的文字說明，證明過程或演算步驟)12．(2014·孝感統考)已知a∈R，函數f(x)＝1x3＋a＋1x2＋(4a＋1221)x.(1)假如函數g(x)＝f′(x)是偶函數，求f(x)的極大值和極小值；(2)假如函數f(x)是(－∞，＋∞)上的單調函數，求a的取值范圍．1解：由題易知f′(x)＝4x2＋(a＋1)x＋4a＋1，(1)∵f′(x)是偶函數，∴a＝－1.此時f(x)＝121x3－3x，f′(x)＝14x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±23，當x變化時，f(x)與f′(x)的變化狀況以下表：x(－∞，－－23(－23，23)23(23，＋∞)23)f′(x)＋0－0＋f(x)單調遞加極大值單調遞減極小單調遞加匠心教育文檔系列6匠心文檔，專屬精選。值由上表知f(x)的極大值為f(－23)＝43；f(x)的極小值為f(23)＝－43.(2)∵f(x)是(－∞，＋∞)上的單調函數，f′(x)＝14x2＋(a＋1)x＋4a＋1≥0恒成立，1∴一元二次方程4x2＋(a＋1)x＋4a＋1＝0的根的鑒識式1＝2－2a≤0，＝(a＋1)2－4··＋1)4(4aa解得0≤a≤2，即a的取值范圍是{a|0≤a≤2}．ex13．設f(x)＝1＋ax2，此中a為正實數．4(1)當a＝3時，求f(x)的極值點；(2)若f(x)為R上的單調函數，求a的取值范圍．解：對f(x)求導得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax①.1＋ax(1)當＝4時，令f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0，a31解得x1＝2，x2＝2.聯合①，可知111333x(－∞，2)2(2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大↘極小↗值值31所以，x1＝2是極小值點，x2＝2是極大值點．匠心教育文檔系列7匠心文檔，專屬精選。(2)若f(x)為R上的單調函數，則f′(x)在R上不變號，聯合①與條件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由于a>0，所以0<a≤1.a14．(2014·北京東城區模擬)已知a∈R，函數f(x)＝x＋lnx－1.(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)求f(x)在區間(0，e]上的最小值．1解：(1)當a＝1時，f(x)＝x＋lnx－1，x∈(0，＋∞)，1x－1f′(x)＝－x2＋x＝x2，x∈(0，＋∞)．1∴f′(2)＝4.1即曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為4.1又f(2)＝ln2－2，11∴曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y－(ln2－2)＝4(x－2)，即x－4y＋4ln2－4＝0.(2)∵f(x)＝a＋lnx－1，∴f′(x)＝－a2＋1＝x－ax2.xxx令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在區間(0，e]上單調遞加，此時函數f(x)無最小值．②若0<a<e，當x∈(0，a)時，f′(x)<0，函數f(x)在區間(0，a)上單調遞減，當x∈(a，e]時，f′(x)>0，函數f(x)在區間(a，e]上單調遞加，∴當x