廣西壯族自治區(qū)玉林市陸川實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知共有項(xiàng)的數(shù)列，，定義向量、，若，則滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為

（

）

A.2

B.

C.

D.

參考答案：C2.已知z=ai（a∈R），（1+z）（1+i）是實(shí)數(shù)，則|z+2|=（）A． B． C．3 D．5參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由虛部為0求得a值，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【解答】解：∵z=ai（a∈R），且（1+z）（1+i）是實(shí)數(shù)，∴（1+ai）（1+i）=（1﹣a）+（1+a）i是實(shí)數(shù)，則a=﹣1，∴|z+2|=|2﹣i|=．故選：B．3.若x，y滿足，則z=y﹣2x的最大值為（）A．8 B．4 C．1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=y﹣2x為y=2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=2x+z過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為z=0﹣2×（﹣2）=4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的體積為．直徑為4的球的體積為，則（

）A. B.

C.

D.參考答案：Ｂ

略5.從拋物線圖象上一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，則的面積為（

）

A．10

B．8

C．6

D．4

【解析】參考答案：A如圖所示，根據(jù)拋物線定義，知，，根據(jù)勾股定理，，因此的面積為，故選擇A。6.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上一點(diǎn)滿足軸．若，則該雙曲線的離心率為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B，故．7.等差數(shù)列中，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.函數(shù)為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)的值可以是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D9.已知A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B10.在中，“”是“為鈍角三角形”的（

）A．充分必要條件

B．必要不充分條件

C．充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A試題分析：由題設(shè)條件可知中必有一個(gè)是負(fù)數(shù),即三個(gè)內(nèi)角中必有一個(gè)是鈍角,所以是鈍角三角形,是充分條件;反之,若三角形是鈍角三角形,則的積必為負(fù)數(shù),即是必要條件,應(yīng)選答案A.考點(diǎn)：解三角形．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以解三角形的問(wèn)題的形式為背景，考查的是充分必要條件的有關(guān)知識(shí)及推理判斷的能力.解答好本題的關(guān)鍵是搞清楚鈍角三角形的概念是什么?其外延是什么?其實(shí)鈍角三角形的概念是有一個(gè)內(nèi)角是鈍角即可了.解答這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中常常會(huì)出現(xiàn)三個(gè)內(nèi)角都是鈍角的錯(cuò)誤,將銳角三角形的概念和鈍角三角形的概念混淆在一起,從而誤判得出不正確的答案.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列滿足，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式_________．參考答案：略12.已知，若存在，滿足,則稱是的一個(gè)“友好”三角形.

(i)在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（請(qǐng)寫出符合要求的條件的序號(hào)）①；②；③.

(ii)若存在“友好”三角形，且，則另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為___.參考答案：②；【考點(diǎn)】解斜三角形【試題解析】(i)對(duì)①：因?yàn)樗寓俨淮嬖凇坝押谩比切危?/p>

對(duì)②：若，

同理：故②存在“友好”三角形；

對(duì)③：若滿足，則或，都不能構(gòu)成三角形，故③不存在“友好”三角形。

(ii)若存在“友好”三角形，且，或，

分析知。又所以有，

解得：．13.將4名新來(lái)的同學(xué)分配到A、B、C三個(gè)班級(jí)中，每個(gè)班級(jí)至少安排1名學(xué)生，其中甲同學(xué)不能分配到A班，那么不同的分配方案方法種數(shù)為______________（用數(shù)字作答）.參考答案：24略14.

.參考答案：15.如圖是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖．公司在年初分配給A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40、45、54、61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行．那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動(dòng)件次(n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為

.參考答案：16略16.若向量相互垂直，則點(diǎn)（2，3）到點(diǎn)（x,y）的距離的最小值為

.（原創(chuàng)）參考答案：略17.已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為

.參考答案：?2為實(shí)數(shù)，則.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如圖1）．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖2），連接AC，AB，設(shè)M是AB的中點(diǎn)．（1）求證：BC⊥平面AEC；（2）判斷直線EM是否平行于平面ACD，并說(shuō)明理由．參考答案：（1）證明：在圖1中，過(guò)C作CF⊥EB∵DE⊥EB，∴四邊形CDEF是矩形，∵CD=1，∴EF=1．∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．連接CE，則CE=CB=，∵EB=2，∴∠BCE=90°，∴BC⊥CE．

在圖2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE．∵BC?平面BCDE，∴AE⊥BC．

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．

（2）解：用反證法．假設(shè)EM∥平面ACD．

∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，與平面AEB∥平面ACD矛盾．∴假設(shè)不成立，∴EM與平面ACD不平行．略19.在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E、F分別為BC、AP中點(diǎn).（1）求證：EF∥平面PCD；（2）若，求三棱錐的體積.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）取中點(diǎn)，連接．推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面；．

（2）推導(dǎo)出，，從而平面，進(jìn)而平面平面，平面，推導(dǎo)出，從而平面

平面，得點(diǎn)點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.，由此能求出三棱錐P-DEF的體積．【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接.在△中，有

分別為、中點(diǎn)

在矩形中，為中點(diǎn)

四邊形是平行四邊形

而平面，平面

平面

（2）解：

四邊形是矩形

，

平面平面,平面平面=，平面

平面

平面平面，平面

，滿足

平面

平面

點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.而

三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題20.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定G10G11解析：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．

…………5分（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．設(shè)P(0，0，2a)（a＞0），則E(1，–1，a)，=(2，2，0)，＝(0，0，2a)，=(1，–1，a)．取m=(1，–1，0)，則m·=m·=0，m為面PAC的法向量．設(shè)n=(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·=n·=0，即，取x=a，y=–a，z=–2，則n=(a，–a，–2)，依題意，|cos<m，n>|===，則a=2．

…………10分于是n=(2，–2，–2)，=(2，2，–4)．設(shè)直線PA與平面EAC所成角為?，則sin?=|cos<，n>|==，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．

…………13分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）證明平面EAC⊥平面PBC，只需證明AC⊥平面PBC，即證AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，可求a的值，從而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．21.（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)???（1）求函數(shù)；???（2）若存在常數(shù)k和b,使得函數(shù)對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)分別滿足則稱直線的“隔離直線”．試問(wèn):函數(shù)是否存在“隔離直線”?若存在,求出“隔離直線”方程,不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解；（1）當(dāng),易得,且為最小值．………4分（2）由1）知當(dāng)時(shí),若存在“隔離直線”,則存在常數(shù),使得恒成立因此若存在的“隔離直線”，則該直線必過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)設(shè)該直線為由恒成立，得…8分以下證明令，容易得當(dāng)時(shí)有為0．從而,即恒成立．故函數(shù)和存在唯一的“隔離直線”．………………12分22.（本小題滿分12分)已知函數(shù)，其中為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的值；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，判斷方程是否有實(shí)根？若無(wú)實(shí)根請(qǐng)說(shuō)明理由，若有實(shí)根請(qǐng)給出根的

個(gè)數(shù)．參考答案：(I)；(II)；（III）無(wú)實(shí)根，理由見解析．試題分析：(I)當(dāng)時(shí)，求，求出，