廣西壯族自治區(qū)玉林市博白縣第三中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(

) A．64 B．72 C．80 D．112參考答案：B考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計算題．分析：由幾何體的三視圖可知，該幾何體下部為正方體，邊長為4，上部為三棱錐（以正方體上底面為底面），高為3．分別求體積，再相加即可解答： 解：由幾何體的三視圖可知，該幾何體下部為正方體，邊長為4，體積為43=64上部為三棱錐，以正方體上底面為底面，高為3．體積×故該幾何體的體積是64+8=72故選B點(diǎn)評：本題考查由三視圖求幾何體的體積，考查由三視圖還原幾何體直觀圖，考查與錐體積公式，本題是一個基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)（

）A． B．

C．

D．參考答案：C.故選C.3.已知，則的值是A. B. C. D.參考答案：C略4.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)y=2f（x）+f′（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．[，] B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的求解函數(shù)單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)y=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+）+2cos（2x+）=sin（2x++）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間為：[，]．故選：A．5.（5分）（2011?門頭溝區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）滿足：①?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②?x＞0，f（x）＞0，則（）A．f（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞減B．f（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增C．f（x）是奇函數(shù)且單調(diào)遞減D．f（x）是奇函數(shù)且單調(diào)遞增參考答案：D【考點(diǎn)】：函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】：計算題；壓軸題．【分析】：①先判斷f（x）奇偶性，即找出f（﹣x）與f（x）之間的關(guān)系，令y=﹣x，有f（0）=f（x）+f（﹣x），故問題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，可對x、y都賦值為0；②再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，任取x1＜x2，充分利用條件當(dāng)x＞0時，有f（x）＞0與f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定f（x2）＞f（x1）從而得出其單調(diào)性．解：顯然f（x）的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對稱．又∵函數(shù)對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．再令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)．任取x1＜x2，x2﹣x1＞0，則f（x2﹣x1）＞0∴f（x2）+f（﹣x1）＞0；對f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，再取y=﹣x得f（x）+f（﹣x）=0即f（﹣x）=﹣f（x），∴有f（x2）﹣f（x1）＞0∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在R上遞增．故選D．【點(diǎn)評】：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時常用的一種探究的方式，屬于中檔題．6.從1,2,3,4這四個數(shù)字中隨機(jī)選擇兩個不同的數(shù)字，則它們之和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】基本事件總數(shù)n6，它們之和為偶數(shù)包含的基本事件個數(shù)m2，由此能求出它們之和為偶數(shù)的概率．【詳解】從1，2，3，4這4個數(shù)字中隨機(jī)選擇兩個不同的數(shù)字，基本事件總數(shù)n6，它們之和為偶數(shù)包含的基本事件個數(shù)m2，∴它們之和為偶數(shù)的概率為p．故選：B．【點(diǎn)睛】本題概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可.7.若，則等于（

）A．－1

B．－2

C．－

D．參考答案：C8.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個單位，縱坐標(biāo)不變，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A9.已知集合，，則A.[0,7)

B.[0,1)

C.[0,1]

D.[－1,1]參考答案：D10.在平面上，已知⊥，||=||=1，=+，若||＜，則||的取值范圍是（） A． B． C． D． 參考答案：考點(diǎn)： 向量的模．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 根據(jù)⊥，=+，可知：四邊形AB1PB2是一個矩形．以AB1，AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b．點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P（a，b）．根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計算公式、不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：根據(jù)⊥，=+，可知：四邊形AB1PB2是一個矩形．以AB1，AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b．點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P（a，b）．∵||=||=1，∴，變形為．∵||＜，∴，∴1﹣x2+1﹣y2，∴．①∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2≤1．同理，x2≤1．∴x2+y2≤2．②由①②可知：．∵=，∴．故選：D．點(diǎn)評： 本題考查了向量的平行四邊形法則、矩形的定義、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計算公式、不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線，令g(x)=xf(x)，其中g(shù)'(x)是g（x）的導(dǎo)函數(shù)，則＝參考答案：0

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B11解析：∵直線L：y=kx+2是曲線y=f（x）在x=3處的切線，∴f（3）=1，又點(diǎn)（3，1）在直線L上，∴3k+2=1，從而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）則g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，故答案為0．【思路點(diǎn)撥】先從圖中求出切線過的點(diǎn)，再求出直線L的方程，利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，最后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念求出g′（3）的值．12.設(shè)為非空數(shù)集，若，都有，則稱為封閉集．下列命題

①實(shí)數(shù)集是封閉集；②全體虛數(shù)組成的集合是封閉集；③封閉集一定是無限集；④若為封閉集，則一定有；⑤若為封閉集，且滿足，則集合也是封閉集，其中真命題是．參考答案：①④略13.設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

▲

．參考答案：614.已知集合，，則_____________．參考答案：，，所以。15.在△ABC中，sin2C=sinAsinB+sin2B，a=2b，則角C=

.

參考答案：由正弦定理知，所以，所以.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．參考答案：417.下圖是一個物體的三視圖，根據(jù)圖中尺寸（單位：cm），計算它的體積為

cm3.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，，若與曲線分別交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，求的面積.參考答案：（Ⅰ）將C的參數(shù)方程化為普通方程為(x-3)2+(y-4)2=25，即x2+y2-6x-8y=0．……………2分∴C的極坐標(biāo)方程為．

…………………4分（Ⅱ）把代入，得，∴．……………6分把代入，得，∴．……………8分∴S△AOB．

……………………10分19.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為.依題意，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，得．解得，．所以．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）解：存在直線，使得成立.理由如下：由得．，化簡得．設(shè)，則，．若成立，即，等價于．所以．，，,化簡得，．將代入中，，解得，．又由，，從而，或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．略20.在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且

成等差數(shù)列.（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求的范圍.參考答案：（Ⅰ），∴，∴，∴

…………6分（Ⅱ）=，∴，∴

.………..12分略21.從某學(xué)校的男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.（I）求第七組的頻率；（II）估計該校的800名男生的身高的中位數(shù)以及身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；（III）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為，事件.

參考答案：（Ⅰ）0.06（Ⅱ）144人（Ⅲ）（Ⅰ）第六組的頻率為＝0.08，

所以第七組的頻率為1-0.08-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06；

（Ⅱ）身高在第一組[155，160）的頻率為0.008×5=0.04，

身高在第二組[160，165）的頻率為0.016×5=0.08，

身高在第三組[165，170）的頻率為0.04×5=0.2，

身高在第四組[170，175）的頻率為0.04×5=0.2，

由于0.04+0.08+0.2=0.32＜0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52＞0.5

估計這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為m，則170＜m＜175

由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5得m=174.5

所以可估計這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5

由直方圖得后三組頻率為0.06+0.08+0.008×5=0.18，

所以身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為0.18×800=144人．

（Ⅲ）第六組[180，185）的人數(shù)為4人，設(shè)為a，b，c，d，第八組[190，195]的人數(shù)為2人，設(shè)為A，B，

則有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15種情況，

因事件E={|x-y|≤5}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，

所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況，故P(E)＝．

由于|x-y|max=195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，P（F）=0

由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)＝P(E)+P(F)＝．

略22.（14分）已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，；（II）對于，已知，求證：，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)．參考答案：本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力．解析：解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)時，原不等式成立；當(dāng)時，左邊，右邊，因?yàn)椋宰筮呌疫?，原不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，，，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時，不等式也成立．綜合（?。áⅲ┲瑢σ磺姓麛?shù)，不等式都成立．（Ⅱ）證：當(dāng)時，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時，，．即．即當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)．故只需要討論的情形：當(dāng)時，，等式不成立；當(dāng)時，，等式成立；當(dāng)時，，等式成立；當(dāng)時，為偶數(shù)，