廣西壯族自治區南寧市四十三中學2021-2022學年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=，b=，且A=，則BC邊上的高為（）A．﹣1B．+1C．

D．參考答案：D【考點】：余弦定理．【專題】：解三角形．【分析】：由余弦定理求得c值，利用△ABC的面積公式，可求BC邊上的高．解：由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc?cosA，即3=2+c2﹣2c?，解得c=．由△ABC的面積等于bc?sinA=ah，（h為BC邊上的高）可得h=，故選：D．【點評】：本題主要考查余弦定理的應用，三角形的內角和公式，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．2.已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若則MUN=（

）

A．M

B．N

C．I

D．參考答案：A3.高為的四棱錐的底面是邊長為1的正方形，點、、、、均在半徑為1的同一球面上，則底面的中心與頂點之間的距離為

A．

B．

C．

D．參考答案：A本題主要考查球的性質、棱錐的性質、平面間的距離等基礎知識，以及考查轉化的思想、構造的思想，同時考查空間想象能力、邏輯思維能力、圖形的變換能力、創新解決問題的能力．難度較大．如圖所示，設球心為O，正方形的中心為O1，則OB＝1，O1B＝BD＝，所以點O到平面ABCD的距離OO1＝＝，因為四棱錐S－ABCD的底面的高為，可以想到四棱錐的頂點S是與平面ABCD平行且距離為的一個小圓的圓周上，同時這兩個小圓面與球心的距離均相等，因此它們是等圓周，故可取一個特殊點來解答，即過B作平面ABCD的垂線，與大圓的交點為S，則SO就是所求．易知SB＝，則SO＝＝＝．4.某單位有老、中、青職工430人，其中青年職工160人，中年職工是老職工的2倍，為了解職工身體狀況，現采用分層抽樣的方法進行調查，在抽出的樣本中有青年職工32人，則該樣本中老年職工人數為

A．9

B．18

C．27

D．36

參考答案：B略5.如圖，已知橢圓C1：+y2=1，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的長軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A、B兩點，且C1與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，則C2的離心率為（）A． B．5 C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】求出一條漸近線方程，聯立直線方程和圓的方程、橢圓方程，求得交點，再由兩點的距離公式，將|AB|=3|CD|，化簡整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的關系和離心率公式，即可得到結論．【解答】解：雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，以C1的長軸為直徑的圓的方程為x2+y2=11，聯立漸近線方程和圓的方程，可得交點A（，），B（﹣，﹣），聯立漸近線方程和橢圓C1：+y2=1，可得交點C（，），D（﹣，﹣），由于C1與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，則|AB|=3|CD|，即有=，化簡可得，b=2a，則c==a，則離心率為e==．故選A．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，考查直線與圓、橢圓的位置關系，考查離心率的求法，屬于基礎題．6.為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上A.所有點向右平移個單位長度B.所有點向下平移個單位長度C.所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）D.所有點的縱坐標縮短到原來的（橫坐標不變）參考答案：B略7.執行如右圖所示的程序框圖，則輸出的s的值是A．7

B．6

C．5

D．3參考答案：B8.設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，，若直線x＝上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是（

）

參考答案：D略9.已知函數f（x）＝2sin（－）·sin（＋）（x∈R），下面結論錯誤的是

（A）函數f（x）的最小正周期為2π

（B）函數f（x）在區間[0，]上是增函數

（C）函數f（x）的圖像關于直線x＝0對稱

（D）函數f（x）是奇函數參考答案：D略10.函數f(x)=2x(x＜0)，其值域為D，在區間(－1,2)上隨機取一個數x，則x∈D的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B函數的值域為，即，

則在區間上隨機取一個數的概率．

故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列五個命題：①函數f（x）=lnx﹣2+x在區間（1，e）上存在零點；②若f′（x0）=0，則函數y=f（x）在x=x0處取得極值；③“a=1”是“函數在定義域上是奇函數”的充分不必要條件．④函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（1﹣x）的圖象關于y軸對稱；⑤滿足條件AC=，AB=1的三角形△ABC有兩個．其中正確命題的是

．參考答案：①③④【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】探究型．【分析】①利用根的存在性定理進行判斷．②利用函數極值和導數之間的關系進行判斷．③利用函數的奇偶性性的定義和充分條件和必要條件進行判斷．④利用函數的對稱性進行判斷．④利用正弦定理或余弦定理進行判斷．【解答】解：①f（x）=lnx﹣2+x在區間[1，e]上單調遞增，且f（1）=1﹣2=﹣1＜0．f（e）=lne﹣2+e=e﹣2+1=e﹣1＞0，所以根據根的存在性定理可知在（1，e）上函數存在零點，所以①正確．②函數f（x）=x3的導數為f'（x）=3x2，因為f'（0）=0，但函數f（x）=x3單調遞增，沒有極值，所以②錯誤．③若函數在定義域上是奇函數，則f（﹣x）=﹣f（x），即，整理得，即a2e2x﹣1=e2x﹣a2，所以a2=1，解得a=1或a=﹣1，所以③“a=1”是“函數在定義域上是奇函數”的充分不必要條件．所以③正確．④設A（a，b）是y=f（1+x）上的任意一點，則滿足b=f（1+a），則點A（a，b）關于y軸對稱的點的坐標為（﹣a，b），在函數y=f（1﹣x）上，當x=﹣a時，y=f[1﹣（﹣a）]=f（1+a）=b，即（﹣a，b）在函數y=f（1﹣x）上，所以函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（1﹣x）的圖象關于y軸對稱，所以④正確．⑤由正弦定理得，即，解得sinC=，因為AC＞AB，所以B＞C，即C＜600，所以滿足條件的三角形只有一個，所以⑤錯誤．故正確的命題是①③④．故答案為：①③④．【點評】本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度較多．12.若函數f（x）=，則f（7）+f（log36）=

．參考答案：5【考點】函數的值．【分析】由已知條件利用分段函數性質直接求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（7）=log39=2，f（log36）=+1=，∴f（7）+f（log36）=2+3=5．故答案為：5．13.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和兩點A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上不存在點P，使得∠APB為直角，則實數m的取值范圍是．參考答案：（0，4）∪（6，+∞）【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設P（a，b）在圓C上，則=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即為|OP|的最值，可得結論．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設P（a，b）在圓C上，則=（a+m，b），=（a﹣m，b），若∠APB=90°，則⊥，∴?=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即為|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值為5﹣1=4，∴m的取值范圍是（0，4）∪（6，+∞）．故答案為：（0，4）∪（6，+∞）．14.命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”為假命題，則實數a的取值范圍為．參考答案：[﹣2，2]考點： 命題的真假判斷與應用；函數恒成立問題．

分析： 根據題意，原命題的否定“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”為真命題，也就是常見的“恒成立”問題，只需△≤0．解答： 解：原命題的否定為“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且為真命題，則開口向上的二次函數值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案為：[﹣2，2]點評： 存在性問題在解決問題時一般不好掌握，若考慮不周全、或稍有不慎就會出錯．所以，可以采用數學上正難則反的思想，去從它的反面即否命題去判定．注意“恒成立”條件的使用．15.設為數列的前項和，且，則

．參考答案：16.函數f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的實數，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則a+b+c+d的取值范圍為

．參考答案：（4，2017）【考點】分段函數的應用．【分析】作出函數f（x）的圖象，令直線y=t與f（x）的圖象交于四個點，其橫坐標由左到右依次為a，b，c，d，則由圖象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，即可求得a，d的范圍，從而得到a+b+c+d的范圍．【解答】解：作出函數f（x）的圖象，令直線y=t與f（x）的圖象交于四個點，其橫坐標由左到右依次為a，b，c，d則由圖象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，則得到﹣1＜a＜0，2＜d＜2016，則2＜a+d＜2015，即有4＜a+b+c+d＜2017，故答案為：（4，2017）．17.關于函數（R）的如下結論：①是奇函數；

②函數的值域為（－2,2）；③若，則一定有；

④函數在R上有三個零點．其中正確結論的序號有

．（請將你認為正確的結論的序號都填上）

參考答案：①②③略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分）已知函數的圖像與軸正半軸的交點為，=1，2，3，…．(1)

求數列的通項公式；(2)

令為正整數）,問是否存在非零整數,使得對任意正整數，都有？若存在,求出的值,若不存在,請說明理由．參考答案：（1）設，得。

所以…………4分（2），若存在，滿足恒成立即：，………………6分恒成立

……………………8分當為奇數時，………10分當為偶數時，…………………12分所以………………13分，故：………14分19.（12分）如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，是的中點.側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示.（Ⅰ）求出該幾何體的體積；（Ⅱ）求證：EM∥平面ABC；(Ⅲ)試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由.參考答案：解析：由題意，Ea⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,ae=2,dc=4,ab⊥ac,且AB=AC=2（Ⅰ）∵Ea⊥平面ABC，∴ea⊥ab,又ab⊥ac,

∴ab⊥平面acde

∴四棱錐b-acde的高h=ab=2，梯形acde的面積S=6∴，即所求幾何體的體積為4

………………４分（Ⅱ）證明：∵m為db的中點，取bc中點G，連接em,mG,aG，

∴mG∥DC，且

∴mG

ae，∴四邊形aGme為平行四邊形，

∴em∥aG,又AG平面ABC

∴EM∥平面ABC.……8分（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，em∥aG，又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點N,∴MN⊥平面BDE

點n即為所求的點∽

∴邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，有NM⊥平面BDE.解法2：以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0）

D（－2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），

（2，2，-4），（2，0，-2），

（0，0，-4），（1，1，-2）.

假設在DC邊上存在點N滿足題意，

∴邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，NM⊥平面BDE.………12分20.設橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且=．（1）求橢圓C的離心率；（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓C的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題．【分析】（1）設出Q點坐標，由F，A的坐標表示出，根據得出=0看，進而求得x0，設P（x1，y1）根據求得x1和y1的表達式，把點P的坐標代入橢圓方程進而求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．（2）根據（1）中a和c的關系可知F和Q的坐標，△AQF的外接圓圓心和半徑，進而根據求得a，進而根據a和b，c的關系求得b，則橢圓的方程可得．【解答】解：（1）設Q（x0，0），由F（﹣c，0）A（0，b）知∵，∴設P（x1，y1），得因為點P在橢圓上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2﹣c2）=3ac，2e2+3e﹣2=0，故橢圓的離心率e=．

（2）由（1）知，于是F（﹣a，0）Q，△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為【點評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提的是熟練掌握橢圓的基本性質．21.如圖所示，PA⊥平面ABCD，△ABC為等邊三角形，AP=AB，AC⊥CD，M為AC的中點．（Ⅰ）求證：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若直線PD與平面PAC所成角的正切值為，求二面角A﹣PD﹣M的正切值．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定．【專題】空間角．【分析】（Ⅰ）由已知