第20章軸對稱一、選擇題（共13小題）1．正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1A． B． C． D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=（）A．5 B． C． D．63．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB．若BE=2，則AE的長為（）A． B．1 C． D．24．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD．若BD=1，則AC的長是（）A．2 B．2 C．4 D．45．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，CD=3，則BC的長為（）A．6 B．6 C．9 D．36．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm7．如圖，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足為D，CD=1，則AB的長為（）A．2 B． C． D．8．將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60°時，如圖2，AC=（）A． B．2 C． D．29．一圓錐體形狀的水晶飾品，母線長是10cm，底面圓的直徑是5cm，點A為圓錐底面圓周上一點，從A點開始繞圓錐側面纏一圈彩帶回到A點，則彩帶最少用多少厘米（接口處重合部分忽略不計）（）A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm10．將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上．另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長為（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm11．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm12．如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（）A．3 B．4 C．5 D．613．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于點D，E為AB上一點，連接DE，則下列說法錯誤的是（）A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED二、填空題14．由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是cm．15．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點O，點E在DC邊的延長線上．若∠CAE=15°，則AE=．16．在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，則BC=．17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于點D，若CD=1，則BD=．18．在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠AOB=60°，AC=10，則AB=．19．如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發，經過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為．20．如圖，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于點C．若OC=2，則PC的長是．

第20章軸對稱參考答案與試題解析一、選擇題（共13小題）1．正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1A． B． C． D．【考點】等邊三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【分析】依題意畫出圖形，過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，構造出邊長為1的小正三角形△AA1D；由AC1=2，AD=1，得點D為AC1中點，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=；最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得結果．【解答】解：依題意畫出圖形，如下圖所示：過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，易知△AA1D是邊長為1的等邊三角形．又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，∴點D為AC1的中點，∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=；同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=，∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=×32﹣3×=．故選B．【點評】本題考查等邊三角形的判定與性質，難度不大．本題入口較寬，解題方法多種多樣，同學們可以嘗試不同的解題方法．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=（）A．5 B． C． D．6【考點】等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】計算題；壓軸題．【分析】連結CD，直角三角形斜邊上的中線性質得到CD=DA=DB，利用半徑相等得到CD=CB=DB，可判斷△CDB為等邊三角形，則∠B=60°，所以∠A=30°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系先計算出BC，再計算AC．【解答】解：連結CD，如圖，∵∠C=90°，D為AB的中點，∴CD=DA=DB，而CD=CB，∴CD=CB=DB，∴△CDB為等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB=×10=5，∴AC=BC=5．故選C．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質：三邊都相等的三角形為等邊三角形；等邊三角形的三個內角都等于60°．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．3．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB．若BE=2，則AE的長為（）A． B．1 C． D．2【考點】含30度角的直角三角形；角平分線的性質；線段垂直平分線的性質．【分析】先根據線段垂直平分線的性質得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分線定義得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形內角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE=CE=1．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故選B．【點評】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，角平分線定義，三角形內角和定理，求出∠A=90°是解答此題的關鍵．4．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD．若BD=1，則AC的長是（）A．2 B．2 C．4 D．4【考點】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質；勾股定理．【分析】求出∠ACB，根據線段垂直平分線的性質求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根據含30°角的直角三角形性質求出AC即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵DE垂直平分斜邊AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，∴CD=2BD=2，由勾股定理得：BC==，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=，∴AC=2BC=2，故選A．【點評】本題考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，解此題的關鍵是求出BC的長，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，CD=3，則BC的長為（）A．6 B．6 C．9 D．3【考點】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質．【分析】根據線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，則AD為∠BAC的角平分線，由角平分線的性質得DE=CD=3，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BD=2DE，得結果．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD為∠BAC的角平分線，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，∴BC=9，故選C．【點評】本題主要考查了垂直平分線的性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟記各性質是解題的關鍵．6．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm【考點】平面展開-最短路徑問題．【分析】將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖：∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B===13（Cm）．故選：A．【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創造性思維能力．7．如圖，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足為D，CD=1，則AB的長為（）A．2 B． C． D．【考點】含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，繼而可得出AB．【解答】解：在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，則AD=CD=1，在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，則BD=，故AB=AD+BD=+1．故選D．【點評】本題考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性質，要求我們熟練掌握這兩種特殊直角三角形的性質．8．將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60°時，如圖2，AC=（）A． B．2 C． D．2【考點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理的應用；正方形的性質．【分析】圖1中根據勾股定理即可求得正方形的邊長，圖2根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可求得．【解答】解：如圖1，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四邊形ABCD是正方形，連接AC，則AB2+BC2=AC2，∴AB=BC===，如圖2，∠B=60°，連接AC，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=BC=．【點評】本題考查了正方形的性質，勾股定理以及等邊三角形的判定和性質，利用勾股定理得出正方形的邊長是關鍵．9．一圓錐體形狀的水晶飾品，母線長是10cm，底面圓的直徑是5cm，點A為圓錐底面圓周上一點，從A點開始繞圓錐側面纏一圈彩帶回到A點，則彩帶最少用多少厘米（接口處重合部分忽略不計）（）A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm【考點】平面展開-最短路徑問題；圓錐的計算．【專題】計算題．【分析】利用圓錐側面展開圖的弧長等于底面圓的周長，進而得出扇形圓心角的度數，再利用勾股定理求出AA′的長．【解答】解：由兩點間直線距離最短可知，圓錐側面展開圖AA′最短，由題意可得出：OA=OA′=10cm，==5π，解得：n=90°，∴∠AOA′=90°，∴AA′==10（cm），故選：B．【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，得出∠AOA′的度數是解題關鍵．10．將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上．另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長為（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm【考點】含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】過另一個頂點C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半，可求出有45°角的三角板的直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊．【解答】解：過點C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6，∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，∴BC=6，故選：D．【點評】此題考查的知識點是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關鍵是先求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊．11．（2014?黔南州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點】含30度角的直角三角形．【專題】常規題型．【分析】根據在直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE=2ED，求出ED，再根據角平分線到兩邊的距離相等得出ED=CE，即可得出CE的值．【解答】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm，∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm；故選：C．【點評】此題考查了含30°角的直角三角形，用到的知識點是在直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半和角平分線的基本性質，關鍵是求出ED=CE．12．如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質．【專題】計算題．【分析】過P作PD⊥OB，交OB于點D，在直角三角形POD中，利用銳角三角函數定義求出OD的長，再由PM=PN，利用三線合一得到D為MN中點，根據MN求出MD的長，由OD﹣MD即可求出OM的長．【解答】解：過P作PD⊥OB，交OB于點D，在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故選：C．【點評】此題考查了含30度直角三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解本題的關鍵．13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于點D，E為AB上一點，連接DE，則下列說法錯誤的是（）A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED【考點】含30度角的直角三角形；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據三角形內角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，∴BD=2CD，根據已知不能推出CD=DE，即只有D錯誤，選項A、B、C的答案都正確；故選：D．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性質的應用，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．二、填空題14．由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是18c【考點】等邊三角形的判定與性質．【專題】應用題．【分析】根據有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=18cm，故答案為：18【點評】此題考查等邊三角形問題，關鍵是根據有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行分析．15．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點O，點E在DC邊的延長線上．若∠CAE=15°，則AE=8．【考點】含30度角的直角三角形；正方形的性質．【分析】先由正方形的性質可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根據平行線的性質及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°．然后在Rt△ADE中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到AE=2AD=8．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案為8．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．也考查了正方形的性質，平行線的性質．求出∠E=30°是解題的關鍵．16．在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，則BC=6．【考點】含30度角的直角三角形；勾股定理．【分析】由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的長．【解答】解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===6，故答案為：6．°【點評】此題考查了含30°直角三角形的性質，以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于點D，若CD=1，則BD=2．【考點】含30度角的直角三角形；角平分線的性質．【分析】根據角平分線性質求出∠BAD的度數，根據含30度角的直角三角形性質求出AD即可得BD．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，故答案為2．【點評】本題考查了對含30度角的直角三角形的性質和角平分線性質的應用，求出AD的長是解此題的關鍵．18．（2013?資陽）在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠AOB=60°，AC=10，則AB=5．【考點】含30度角的直角三角形；矩形的性質．【分析】根據矩形的性質，可以得到