廣東省汕頭市潮陽金玉中學2023年高一數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對于任意兩個正整數，，定義某種運算“”如下：當，都為正偶數或正奇數時，；當，中一個為正偶數，另一個為正奇數時，，則在此定義下，集合中的元素個數是（

）．A．個 B．個 C．個 D．個參考答案：B，其中舍去，只有一個，其余的都有個，所以滿足條件的有：個．故選．2.△ABC中，A＝，BC＝，則△ABC的外接圓面積為（）A、

B、2C、3D、4參考答案：C試題分析：由正弦定理可得外接圓半徑滿足考點：正弦定理解三角形3.已知函數y=log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣1，0] B．[﹣2，﹣1] C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）參考答案：C【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】根據對數函數的性質以及一次函數的性質，分離參數a，求出a的范圍即可．【解答】解：若函數y=log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上單調遞減，則a＜0且ax﹣1≥0在（﹣2，﹣1）恒成立，即a≤在（﹣2，﹣1）恒成立，故a≤﹣1，故選：C．【點評】本題考查了對數函數的性質，考查函數的單調性問題，是一道基礎題．4.函數的零點一定位于區間(

)A．(1,2)

B．(2,3)

C．(3,4)

D．(4,5)參考答案：C5.（5分）若{1，a，}={0，a2，a+b}，則a2015+b2014的值為（） A． 1或﹣1 B． 0 C． 1 D． ﹣1參考答案：D考點： 集合的相等．專題： 集合．分析： 根據集合相等的條件求出a，b，然后利用指數冪的運算進行求值即可．解答： 根據集合相同的性質可知，a≠0，∴=0，解得b=0，當b=0時，集合分別為{1，a，0}和{0，a2，a}，∴此時有a2=1，解得a=1或a=﹣1，當a=1時，集合分別為{1，1，0}和{0，1，1}，不成立．當a=﹣1時，集合分別為{1，﹣1，0}和{0，1，﹣1}，滿足條件．∴a=﹣1，b=0，∴a2015+b2014=（﹣1）2015+02014=﹣1，故選：D．點評： 本題主要考查集合相等的應用，利用條件建立元素的關系是解決本題的關鍵，注意進行檢驗．6.設集合都是的含有兩個元素的子集，且滿足對任意的都有其中表示兩個數的較小者，則的最大值是（

）

A、10

B、11

C、12

D、13參考答案：B7.函數，若且，，互不相等，則的取值范圍是（

）． A． B． C． D．參考答案：B在坐標系中畫出的圖象如圖：不妨設，則，∴，，∴，故選．8.如圖，是全集，、是的子集，則陰影部分所表示的集合是A．

B．C． D．參考答案：A略9.下列函數中，具有性質“對任意的，函數滿足”的函數是（

）A．冪函數

B．對數函數

C．指數函數

D．余弦函數參考答案：B若，對任意的,，故選B.10.用數學歸納法證明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）時，從n=k（k∈N*）到n=k+1時左邊需增乘的代數式是（）A．2k+1 B．2（2k+1） C． D．參考答案：B【考點】RG：數學歸納法．【分析】分別寫出n=k和n=k+1時的式子左邊，兩式相比即可得出增乘的式子．【解答】解：n=k時，左邊=（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k），當n=k+1時，左邊=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2），∴需要增乘的式子為=2（2k+1）．故選：B．【點評】本題考查了數學歸納法，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將函數的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位，得到的圖象對應的函數為f（x），若f（x）為奇函數，則φ的最小值為．參考答案：【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得f（x）=sin（2x+2φ﹣），再根據正弦函數是奇函數，可得2φ﹣=kπ，k∈z，由此求得φ的最小正值．【解答】解：將函數y=sin（2x﹣）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位，得到的圖象對應的函數為f（x）=sin[2（x+φ）﹣]=sin（2x+2φ﹣），若f（x）為奇函數，則有2φ﹣=kπ，k∈z，即φ=kπ+，∴φ的最小正值為，故答案為：．12.在等比數列中，，，則

.參考答案：或6略13.函數f（x）=的定義域是．參考答案：{x|x=2kπ，k∈z}【考點】函數的定義域及其求法．【分析】根據二次根式的性質得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由題意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案為：{x|x=2kπ，k∈z}．14.等差數列{an}前n項和為Sn，若a7+a9=16，S7=7，則a12=．參考答案：15【考點】等差數列的性質．【分析】根據等差中項的性質分別根據a7+a9=16，S7=7求得a8和a4，最后根據2a8=a4+a12求得a12．【解答】解：∵a7+a9=2a8=16，∴a8=8，∵S7==7，∴a4=1∵2a8=a4+a12，∴a12=15故答案為1515.甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一個方向運動，其路程fi（x）（i=1，2，3，4）關于時間x（x≥0）的函數關系式分別為f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下結論：①當x＞1時，甲走在最前面；②當x＞1時，乙走在最前面；③當0＜x＜1時，丁走在最前面，當x＞1時，丁走在最前面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲．其中，正確結論的序號為（把正確結論的序號都填上，多填或少填均不得分）參考答案：③④⑤【考點】函數解析式的求解及常用方法．【專題】應用題；函數思想；綜合法；函數的性質及應用．【分析】根據指數型函數，冪函數，一次函數以及對數型函數的增長速度便可判斷每個結論的正誤，從而可寫出正確結論的序號．【解答】解：路程fi（x）（i=1，2，3，4）關于時間x（x≥0）的函數關系式分別為：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1）；它們相應的函數模型分別是指數型函數，冪函數，一次函數，和對數型函數模型；①當x=2時，f1（2）=3，f2（2）=8，∴該結論不正確；②∵指數型的增長速度大于冪函數的增長速度，∴x＞1時，甲總會超過乙的，∴該結論不正確；③根據四種函數的變化特點，對數型函數的變化是先快后慢，當x=1時甲、乙、丙、丁四個物體重合，從而可知當0＜x＜1時，丁走在最前面，當x＞1時，丁走在最后面，∴該結論正確；④結合對數型和指數型函數的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴該結論正確；⑤指數函數變化是先慢后快，當運動的時間足夠長，最前面的動物一定是按照指數型函數運動的物體，即一定是甲物體，∴該結論正確；∴正確結論的序號為：③④⑤．故答案為：③④⑤．【點評】考查指數型函數，冪函數y=x3和y=x，以及對數型函數的增長速度的不同，取特值驗證結論不成立的方法．16.函數y=2sinx的最小正周期是

．參考答案：2π【考點】三角函數的周期性及其求法．【分析】根據函數y=2sinωx的最小正周期是，運算可得結果．【解答】解：函數y=2sinx的最小正周期是==2π，故答案為2π．17.已知，則

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分6分）如圖，,,,若,求證：．參考答案：證明：∵，，，∴．同理，，∴，又

∴

19.（本小題滿分12分）在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若的面積的最大值．參考答案：（2）根據余弦定理--------6分（當且僅當時取“=”號）

-------------------10分即的面積-------------------12分21.（本小題滿分12分）已知向量（1）若，求向量的夾角；（2）若，求函數的最值以及相應的的值.參考答案：21．解：(1)

，

……………..1分所以

……………..4分又所以

……………..6分(2)

…..8分由得,

………..9分所以

……..10分所以的最小值為………………..11分

的最大值為

…………..12分略21.有一長為24米的籬笆，一面利用墻（墻最大長度是10米）圍成一個矩形花圃，設該花圃寬AB為x米，面積是y平方米，（1）求出y關于x的函數解析式，并指出x的取值范圍；（2）當花圃一邊AB為多少米時，花圃面積最大？并求出這個最大面積？參考答案：【考點】函數解析式的求解及常用方法．【專題】函數的性質及應用．【分析】（1）表示出長和寬，從而求出函數的表達式，（2）將函數的表達式寫出頂點式，從而解決問題．【解答】解：（1）如圖示：，∵0＜24﹣2x≤10，∴7≤x＜12，∴y=x（24﹣2x）=﹣2x2+24x，（7≤x＜12），（2）由（1）得：y=﹣2x2+24x=﹣2（x﹣6）2+72，∴AB=6m時，y最大為72m2．【點評】本題考查了求函數的解析式問題，函數的定義域問題，考查函數的最值問題，是一道基礎題．22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，Q是AD的中點，，，，（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求直線PC與平面PAD所成角的正切值參考答案：（1）見證明；（2）【分析】（1）先證明四邊形為