廣東省汕頭市潮陽區第四中學2022年高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若關于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞a2+2a有實數解，則實數a的取值范圍為（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）參考答案：B【考點】絕對值三角不等式．【分析】根據絕對值不等式，求出|x+1|﹣|x﹣2|的最大值等于3，從而有a2+2a小于|x+1|﹣|x﹣2|的最大值3，列出不等關系解出實數a的取值范圍即得．【解答】解：∵|x+1|﹣|x﹣2|≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，由不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞a2+2a有實數解，知3＞a2+2a，解得﹣1＜a＜3．故選B．2.若點P(3，－1)為圓(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為（A）x＋y－2＝0

（B）2x－y－7＝0（C）2x＋y－5＝0

（D）x－y－4＝0參考答案：D3.設a≠0，a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點坐標為（）A．（a，0） B．（0，a） C．（0，） D．隨a符號而定參考答案：C【考點】拋物線的簡單性質．【分析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的性質求得答案．【解答】解：∵y=4ax2，∴x2=y，∴p=∴拋物線焦點坐標為（0，）故選C4.若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則可能使l∥α的是（）A．=（1，0，0），=（﹣2，0，0） B．=（1，3，5），=（1，0，1）C．=（0，2，1），=（﹣1，0，﹣1） D．=（1，﹣1，3），=（0，3，1）參考答案：D【考點】平面的法向量．【分析】根據l∥α時，?=0，分別判斷A、B、C、D是否滿足條件即可．【解答】解：若l∥α，則?=0，而A中?=﹣2，不滿足條件；B中?=1+5=6，不滿足條件；C中?=﹣1，不滿足條件；D中?=﹣3+3=0，滿足條件．故選：D．【點評】本題考查了向量語言表述線面的垂直和平行關系的應用問題，是基礎題．5.設m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；③若α∩β=n，m∥n，則m∥α，且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，則α∥β其中正確的命題是（）A．① B．② C．③④ D．②④參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】本題中四個選項涉及的命題是在線面關系的背景下研究線線、線面位置關系．①②兩個選項是在線面平行、面面垂直的背景下研究線線平行與垂直，③④兩個選項是在面面相交、平行的背景下研究線線平行與垂直，分別由線面平行、面面垂直的性質進行判斷得出正確選項．【解答】解：①選項中的命題是不正確的，因為直線m，n可能不在同一個平面內，故不是正確命題；②選項中的命題是正確的，因為m⊥α，n⊥β，m⊥n成立時，α，β兩平面的關系一定是相互垂直，故是正確選項；③選項中的命題是不正確的，因為α∩β=n，m∥n時，可能m在α內，或m在β內，故不是正確選項；④選項中的命題是正確的，因為m⊥α，m⊥β，根據垂直于同一條直線的兩個平面一定平行，可得α∥β，是正確選項．故選D．6.已知O是所在平面內一點，D為BC邊中點，且，那么（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知i是虛數單位，則等于(

) A．+i B．+i C．+i D．+i參考答案：A考點：復數代數形式的乘除運算．專題：數系的擴充和復數．分析：根據復數的基本運算法則進行計算即可．解答： 解：===+i，故選：A點評：本題主要考查復數的基本運算，比較基礎．8.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的應用；數列的應用．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】先設長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，由題意可知：a+c=2b，由此可以導出該橢圓的離心率．【解答】解：設長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，則2a+2c=2×2b，即a+c=2b?（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故選B．【點評】本題考查等差數列和橢圓的離心率，難度不大，只需細心運算就行．9.若，則的大小關系為A.

B.

C.

D..參考答案：A10.已知命題，則為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據特稱命題的否定的寫法寫出答案即可.【詳解】命題p：?x0∈R，x02＋2x0＋1≤0，則為?x∈R，x2＋2x＋1＞0。故答案為：D.【點睛】這個題目考查了特稱命題的否定的寫法，特稱命題的否定是全稱命題，寫命題的否定的原則是：換量詞，否結論，不變條件.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在棱長為1的正方體ABCD-ABCD的底面ABCD內取一點E,使AE與AB、AD所成的角都是60°,則線段AE的長為

.參考答案：12.已知橢圓，長軸在軸上.若焦距為，則等于

.參考答案：8略13.已知命題p：?x∈[0，3]，a≥2x﹣2，命題q：?x∈R，x2+4x+a=0，若命題“p∧q”是真命題，則實數a的值為

．參考答案：4【考點】復合命題的真假．【專題】函數思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】結合一次函數、二次函數的性質分別求出關于命題p，q的a的范圍，從而求出a的范圍．【解答】解：設f（x）=2x﹣2，（0≤x≤3），∴當x=3時，f（x）max=f（3）=4，由已知得：命題P：a≥4，由命題q：△=16﹣4a≥0，即a≤4，又命題“p∧q”是真命題，∴a≥4且a≤4成立，即a=4，故答案為：4．【點評】本題考查了復合命題的判斷，考查二次函數的性質，是一道基礎題．14.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率e的最大值為________．參考答案：15.如果實數x、y滿足等式，那么的最大值是____▲____.參考答案：略16.函數

參考答案：略17.已知下表所示數據的回歸直線方程為=﹣1.3x+a，則實數a=．X23456Y1113141616參考答案：19.2【考點】線性回歸方程．【專題】函數思想；綜合法；概率與統計．【分析】求出代入回歸方程即可求出a．【解答】解：==4，==14．∴14=﹣1.3×4+a，解得a=19.2故答案為19.2．【點評】本題考查了線性回歸方程的性質，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，是雙曲線的兩個焦點，O為坐標原點，圓是以為直徑的圓，直線：與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點．(Ⅰ)根據條件求出b和k的關系式;（Ⅱ）當時，求直線的方程；（Ⅲ）當，且滿足時，求面積的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）

…………3分

(Ⅲ)由（Ⅱ）知：

于是

……10分

又到的距離

…………12分19.解方程參考答案：解析：得

20.（本小題滿分12分）已知不等式的解集為，求的解集參考答案：，不等式的解集.21.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，，，，點E，F分別為CA1與AB的中點.（1）證明：EF∥平面BCC1B1.（2）求B1F與平面AEF所成角的正弦值.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）先連接，，根據線面平行的判定定理，即可得出結論；（2）先以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線的的方向向量與平面的法向量，由向量夾角公式求出向量夾角余弦值，即可得出結果.【詳解】（1）證明：如圖，連接，.在三棱柱中，為的中點.又因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設平面的法向量為，則，令，得.記與平面所成角為，則.【點睛】本題主要考查線面平行的判定、以及線面角的向量求法，熟記線面平行的判定定理以及空間向量的方法即可，屬于常考題型.

22.已知直線l1：（2a﹣1）x+y﹣4=0，l2：2x+（a+1）y+2=0，a∈R，l1∥l2．（1）求a的值；（2）若圓C與l1、l2均相切，且與l1相切的切點為P（2a，2a），求圓C的方程．參考答案：（1）∵∥，∴……2分

解得或……3分

當時，直線的方程為，直線的方程為，

滿足∥……4分