第四章動態元件和動態電路

導論山東大學信息科學與工程學院內容提要電容元件電感元件耦合電感元件動態電路的輸入輸出方程初始狀態與初始條件零輸入響應，零狀態響應，全響應單位階躍函數與單位沖激函數4-1電容元件電容元件反應電場儲能現象的元件模型模擬電容器和其它實際部件的電容特性電容元件分類按電容所儲電荷量與電壓關系區分線性電容元件：電容所儲電荷量與電壓呈線性關系非線性電容元件：電容所儲電荷量與電壓呈非線性關系。按電容參數的時變特征區分時不變電容元件時變電容元件線性時不變電容元件是我們分析的重點電容元件的q-u特性(a)線形電容(b)非線性電容(c)時變電容線性電容元件基本約束關系：量綱：電荷量—庫侖（C）；電容—法拉（F）微法(uF)，皮法(pF)傳導電流：電容引線上的電流位移電流：電容元件極板間電介質中的電流

1μF=10-6F，1pF=10-12F。(1nF=1000pF)線性電容元件電容電流（電容VCR）線性電容元件電容的充電與放電充電：電壓逐漸升高，電流為正值，電荷量逐漸增加。放電：電壓逐漸降低，電流為負值，電荷量逐漸減少。電容元件的動態特性

電阻元件其電壓-電流關系通過歐姆定律相聯系，在任意瞬時，我們知道電壓即可決定電流，反之亦然。電容元件的電壓-電流關系通過微分式和積分式相聯系，無法通過電流瞬時值確定電壓瞬時值，也無法通過電壓瞬時值確定電流瞬時值，瞬時電壓和瞬時電流之間呈動態關系。因此，電容元件是一種動態元件。線性電容元件電容的“記憶效應”電容瞬時電壓不僅僅取決于瞬時電流，還與“過去時刻”的電流有關，電容具有“記憶性”。這與電阻元件形成鮮明對比。在有限電流激勵下，電容電壓不可能發生突變。線性電容元件電容元件的儲能電容元件吸收的瞬時功率電容元件在有限時間內吸收的能量電容元件的瞬時能量

線性電容元件的串聯/并聯電容的串聯線性電容元件的串聯/并聯電容的并聯4-2電感元件法拉第電磁感應定律當穿過一個線圈的磁通隨時間而變化時，就會在這個線圈中產生感應電壓楞次定律感應電壓的作用總是企圖利用感應電流所產生的磁通去阻止原磁通的變化。電感元件電感元件電感元件是與電容元件相互對偶的儲能元件模型，其儲能形式為磁場能量。模擬電感線圈和其它實際部件的電感特性。電感元件的分類按磁通鏈與電流關系區分：線性電感元件、非線性電感元件按元件參數的時變特征區分：時不變電感元件、時變電感元件時不變線性電感元件是我們分析的重點電感元件分類(a)線形電感(b)非線性電感(c)時變電感線性電感元件基本約束關系磁通鏈與電流的關系：感應電壓（端電壓）

電感元件的動態特性無法根據電流瞬時值確定電壓瞬時值，也無法根據電壓瞬時值確定電流瞬時值。電感元件的電壓和電流呈動態關系。因此，電感元件與電容元件相似，也是一種動態元件。電感電流不僅僅取決于瞬時電壓，還與過去的電流有關。電感電流不能突變。線性電感元件線性電感元件的儲能瞬時功率有限時間內吸收的能量瞬時能量電感與電容是對偶參數，電感電流與電容電壓是對偶變量，電感元件的磁通鏈與電容元件的電荷量互為對偶。電感的串聯

電感的并聯4-3動態電路的輸入-輸出方程動態電路：含有動態元件(即儲能元件)的電路。輸入：輸入激勵源的簡稱，一般為電流源或電壓源。輸出：在電路分析中，給定輸入激勵源，我們感興趣的電路變量往往是某個電壓或電流變量。簡稱輸出。動態電路的電路方程：由于動態元件的電壓與電流之間呈導數關系或積分關系，根據基爾霍夫定律對動態電路列出的電路方程是微分方程或積分微分方程。動態電路的輸入-輸出方程：根據基爾霍夫定律和元件約束關系建立的僅含激勵源和目標變量的電路方程，稱為輸入-輸出方程。動態電路的輸入-輸出方程輸入-輸出方程一般形式動態電路的階數：即微分方程的階數n，與電路中動態元件個數和連接關系有關。實例分析根據電容的工作屬性：根據基爾霍夫電壓定律：輸入-輸出方程為二階微分方程，該電路為二階動態電路。求得電容電壓，即可求得支路電流、電阻電壓、電感電壓。實例分析采用回路分析法，建立2個獨立回路方程回路1：回路2：實例分析（續）消去i2(t)得關于i1(t)的輸入-輸出方程這是一個三階的常系數線性微分方程，表明電路為三階動態電路。同理，可以得到關于i2(t)的輸入-輸出方程，同樣為三階微分方程。線性動態電路的輸入-輸出方程n階線性動態電路含多個獨立源的線性動態電路根據線性電路的性質，可以利用疊加定理分別讓每個獨立源單獨作用，求得每個獨立源對應的輸出后，取代數和即可。4-4初始狀態與初始條件換路電路與電源的接通、切斷，電路參數的突然改變，電路連接方式的突然改變，電壓源的電壓或電流源的電流的突然改變等。發生換路時，動態電路會由一個工作狀態經過一個過渡過程后轉變到另一個工作狀態。一般規定換路時刻為t=0，且換路在瞬間完成(換路所需時間為0)，把換路前的最終時刻記作0-，把換路后的最初時刻記作0+。動態電路的分析即求解換路后各支路電壓/電流的變化規律。分析過程：利用初始條件求解輸入-輸出方程。4-5初始狀態與初始條件動態電路的原始狀態與初始狀態原始狀態：把各獨立電容電壓(或電荷量)和各獨立電感電流(或磁通鏈)在0-時的數值的集合。零狀態：0-時各電容電壓和電感電流均為零，無原始儲能。初始狀態，簡稱初態：動態電路中各獨立電容電壓(或電荷量)和各獨立電感電流(或磁通鏈)在0+時的數值的集合。動態元件的初始狀態及其各階導數是求解輸入-輸出方程的基礎。4-5初始狀態與初始條件線性微分方程的邊界條件動態電路的n階輸入-輸出方程的邊界條件也就是指該方程中輸出變量的初始值及其1階至n-1階導數的初始值邊界條件：4-5初始狀態與初始條件動態元件原始狀態與初始狀態的關系電容電流取有限值時電感電壓取有限值時若外部激勵取無窮大，則初始值需要根據激勵和電路結構進行計算。4-5初始狀態與初始條件動態元件原始狀態與初始狀態的確定原始狀態的確定：根據換路前電路，利用已學過的電路分析方法可以計算。初始狀態的確定：根據動態元件屬性、外部激勵及換路后電路結構，進行計算。例題開關閉合前，電路已經工作了很長時間。例題

換路前，電路已工作了很長的時間。4-6零輸人響應零輸入響應電路在無輸入激勵情況下，僅由動態元件原始儲能引起的響應（任意支路的電壓或電流）。體現了動態元件通過耗能元件進行電磁能量釋放的物理過程。4-6零輸人響應n階動態電路，無輸入激勵，則其輸入-輸出方程將變為齊次微分方程利用齊次微分方程可求解零輸入響應特征方程設特征方程的n個特征根互不相同，為4-6零輸人響應零輸入響應的一般形式參數由初始條件確定特征根決定了動態電路零輸入響應的性質：如果特征根都是負實根，則響應隨時間的增長而衰減，且特征根的絕對值越大，衰減越快；如果特征根中有復數根，則將出現振蕩情況。在物理上，特征根取決于電路的拓撲結構及電路中元件參數的取值情況。因此，特征根又被稱為電路的固有頻率或自然頻率。例題求解例圖中所給電路的零輸入響應無輸入激勵情況下的積分微分方程和微分方積分別為例題例題例題4-7零狀態響應零狀態響應動態電路中所有儲能元件沒有原始儲能(處于零狀態)，換路后僅由輸入激勵（獨立源）產生的響應。輸入-輸出方程非齊次微分方程4-7零狀態響應零狀態響應求解為齊次微分方程的通解，取決于電路結構為非齊次微分方程的特解，取決于激勵信號形式零狀態響應一般形式取決于電路結構，稱自然響應或自然分量取決于激勵信號，稱強迫響應或強迫分量4-7零狀態響應在具體求解零狀態響應時，一般步驟可歸納如下：例題求的零狀態響應根據基爾霍夫電壓定律，換路后例題兩邊同時求導，得輸入-輸出方程齊次微分方程的特征方程與特征根齊次微分方程的通解為待定常數例題根據輸入-輸出方程右側函數形式，設特解為代入非齊次微分方程，可得電路的零狀態響應為根據電路原始狀態及激勵確定初始條件例題利用初始條件可得故電路的零狀態響應為4-8全響應動態電路的全響應：由動態元件原始儲能和輸入激勵共同作用的結果。動態電路全響應的直接求解采用直接求解非齊次微分方程的方法，具體方法和步驟與零狀態響應相同，區別僅在于初始條件

動態電路全響應的形式4-8全響應疊加定理在線性動態電路分析中的應用將電路中動態元件原始儲能和輸入激勵看作兩組激勵，分別求解響應信號，然后求代數和。全響應=零輸入響應