譜估計主要內容引言經典譜估計現代譜估計1引言概述估計質量的評價功率譜估計的應用研究現狀1引言隨機信號的功率譜密度(函數)，是其自相關函數的傅氏變換。

X(n)的自相關函數前提：均值為零令則上式可寫成實際上只有將上式求平均，成為才有意義功率譜的真實值1引言譜分析 用有限的N個樣本數據來估計平穩隨機過程的功率譜密度。其中或功率譜的估計值周期圖1引言估計質量的評價的偏差(Bias)為零

。所謂偏差(用B表示)定義為

無偏估計

θ：某個隨機變量的真值：它的估計值

估計1和估計2都屬于無偏估計；估計2較之估計1方差小；

1引言估計質量的評價最小方差估計

方差θ：某個隨機變量的真值：它的估計值

為最小的估計。1引言估計質量的評價均方誤差

θ：某個隨機變量的真值：它的估計值

不難證明：當N趨向于無窮大時，譜估計趨向于真實的譜密度。1引言估計質量的評價一致估計：正確的估計應該滿足一致估計的條件，此為正確估計的必要條件

反之，若估計方法不滿足一致估計的條件，則它一定是不正確的1引言功率譜估計的應用在信號處理的許多場所，要求預先知道信號的功率譜密度(或自相關函數)。常常利用功率譜估計來得到線性系統的參數估計。

從寬帶噪聲中檢測窄帶信號。

功率譜估計的應用譜估計的分辨率可以粗略地定義為能夠分辨出的二個分立的譜分量間的最小頻率間隙(距)。例如：有一個隨機信號，它包括二個頻率相差1Hz振幅相等的正弦波以及加性白噪聲(白色噪聲的方差是正弦波功率的10％)。用三種不同的譜估計方法檢測這二個正弦分量的效果。(a)經典BTPSD法(b)最大熵譜估計法(c)Pisavcnko諧波分解法1引言研究現狀功率譜估計的方法：教材P489圖10.7.11引言研究現狀經典譜估計：間接法(BTPSD估計法)先通過式對自相關函數進行估計，然后再通過式

作傅氏變換得功率譜估計值。以傅立葉變換為基礎已知數據取樣自相關函數功率譜1引言研究現狀經典譜估計：直接法(周期圖法)將觀察到的有限個樣本數據利用FFT算法作傅氏變換，直接按式進行功率譜估計(不通過自相關函數的估計)計算效率高頻率分辨率低將已知數據序列的傅立葉變換的模的平方除以序列長度作為功率譜的估計1引言研究現狀經典譜估計：固有缺陷：原因：“加窗效應”頻率分辨率低原因：加窗截取，認為窗以外的數據為零。頻譜能量向旁瓣泄漏原因：加窗截取，頻域產生旁瓣和主瓣寬度不是無限窄的現象。周期圖的缺陷：非一致估計當數據量增至無限多時，周期圖的方差并不趨近于零，而是趨近于常數。“加窗效應”矩形序列其傅立葉變換為幅度譜“加窗效應”各種窗函數的頻譜現代譜估計：1引言研究現狀1967Burg最大熵1968Parzen

自回歸AR用參數模型來模擬信號實際遇到的隨機過程x(n)可以用ARMA模型來逼近目前常用的求自回歸模型系數的算法有三種：①Levinson遞推算法；②Burg遞推算法；③正反向線性預測最小二乘算法。以隨機過程的參數模型為基礎2經典譜估計自相關函數的估計

周期圖作為功率譜的估計平滑后的周期圖作為PSD的估計2.1自相關函數的估計

設觀察到N個樣本序列的值{x(n)}

:x(0),x(1)…x(N-1)，現要由此N個數據來估計自相關函數：當時，屬于無偏估計。估計質量2.1自相關函數的估計偏倚自相關函數的真值2.1自相關函數的估計估計質量可推出：方差2.1自相關函數的估計估計質量當時滿足一致估計的條件方差2.1自相關函數的估計當時不能得到有用的估計。此時按下式估計

同時均值等于真值用三角窗函數加權

2.1自相關函數的估計的偏差和方差為但時為一致估計

有偏非零同時可以證明2.1自相關函數的估計今后我們還是用作為自相關函數的估計，并仍用表示

通過將自相關函數的估計進行傅氏變換求得功率譜估計的方法即為BTPSD法。2.2周期圖法進行譜估計求出信號的自相關函數，再求出信號的功率譜密度。

Blackman和Tukey對信號進行加窗處理得x(n)，再進行離散傅立葉變換得X(ejω)，再求模的平方得功率譜密度。周期圖法2.2周期圖法進行譜估計如前所述其中2.2周期圖法進行譜估計——周期性的——周期圖優點：可利用FFT，計算方便，效率高如果我們觀察到x(n)的N個值：可以通過FFT直接求得2.2周期圖法進行譜估計估計質量——討論其偏倚和方差周期圖的期望值令稱為Bartlett窗函數，即其傅氏變換為當時2.2周期圖法進行譜估計估計質量——討論其偏倚和方差自相關函數的真值將上式與式代入式，并求其傅氏變換，得則周期圖的偏倚為：有偏無偏2.2周期圖法進行譜估計估計質量——討論其偏差和方差周期圖的方差：假設序列x(n)是一個實、白色、零均值過程的樣本，具有高斯概率分布函數。經推導可得出：周期圖的方差：當時不滿足一致估計的條件。為了使周期圖作為功率譜估計滿足一致估計的條件，必須將周期圖進行平滑(或平均)處理。2.2周期圖法進行譜估計估計質量——討論其偏差和方差如果以及2.2周期圖法進行譜估計周期圖的協方差：(k和l為整數)則上式成為以的整倍數為頻率間距的周期圖的值是不相關的2.2周期圖法進行譜估計估計質量——偏差和方差雖然本節推導的結果是以假設高斯概率密度為根據的，但其定性結果在一個相當寬廣的范圍內成立。小結2.3平滑后的周期圖作為PSD的估計目的：使方差減小，得到一致的譜估計。方法：窗口處理法：選擇適當的窗口函數作為加權函數進行加權平均來加快收斂速度。

平均周期圖的方法：先將數據分段，再求各段周期圖的平均值。又稱Bartlett方法。

2.3.1Bartlett平均周期圖法為什么周期圖經過某種平均(或平滑)后會使它的方差當時趨于零，達到一致估計的目的?

如果是不相關的隨機變量，每一個具有期望值,方差

。則可以證明它們的數學平均的期望值等于,方差等于當時可達到一致譜估計的目的降低估計量的方差的一種有效方法是將若干個獨立估計值進行平均.2.3.1Bartlett平均周期圖法基本思想

將序列分段求周期圖再平均。

設將x(n)分成L段，每段有M個樣本，因而N=LM第i段樣本序列可寫成第i段的周期圖為 如果很小,則可假定各段的周期圖是互相獨立的。故譜估計可定義為L段周期圖的平均，即

期望值將式和代入上式可得估計質量

2.3.1Bartlett平均周期圖法結論：Bartlett估計的期望值是真實譜與三角窗函數的卷積。故也是有偏估計。但當時，但當時，2.3.1Bartlett平均周期圖法估計質量

方差Bartlett估計是一致估計。Bartlett法使譜估計的方差減小是用增加Bias以及降低譜分辨率的代價換來的。實質

比較兩式差別：后者將前者WB中的N改為M，因而使主瓣的寬度增大周期圖平滑后的周期圖作為功率譜的估計值由于主瓣的寬度愈窄愈接近δ函數，則偏差愈小。故而