課題《歸納推理》的教學設計（人教A版·數學選修2-2第二章第一節）福建省永安一中一、教學設計前思為什么很多命題不要求證明，而代之以直觀感知、操作確認？為什么很多內容不是直抵目標，而是螺旋式上升？這些課堂教學的困惑，需要我們處理好數學的抽象性和學生的理解力之間的矛盾，呼喚我們去認真思考教材的編寫意圖，了解學生的原有知識儲備，確定相應的教學方法和教學策略。筆者根據《歸納推理》的教學設計與反思，談談如何跳出教材看教材，在把握教材底蘊的基礎上，對教材進行再加工。二、教學設計1內容和內容解析（1）內容：人民教育出版社《普通高中課程標準實驗教科書A版·數學選修2-2》第74頁，歸納推理。（2）內容解析：本節課的內容無論在已學過的數學知識，或是在現實生活中都存在大量的素材，而且有歷史背景支撐，如歌德巴赫猜想，費馬猜想等等。許多推理是學生熟悉的，如醫生對病人病情的診斷，氣象學家對天氣的推斷等都與推理有關。因此，需要精選既能反映合情推理數學知識本質，又有助于學生理解的素材。本節課的教學的重點是：從理性上認識歸納推理，即了解歸納推理的概念、了解歸納推理的思維過程、理解歸納推理的特點和作用。2目標和目標解析（1）目標：結合已學過的數學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能進行歸納推理的簡單應用，體會并認識合情推理在數學發現中的作用。（2）目標解析：本節課的素材較多，很容易設計成習題講評課的模式，突顯歸納推理的技巧，沖淡從理性上認識歸納推理的主題。合情推理第一課時的關鍵是通過學生的積極參與，經歷歸納推理概念的形成。讓學生通過欣賞一些偉大猜想產生的過程，體會并認識如何利用歸納推理去猜測和發現一些新的結論，培養學生歸納推理的思維方式。體會歸納推理在日常活動和科學發現的作用，養成認真觀察事物，善于發現問題以及探求新知識的習慣。3教學問題診斷分析數學的抽象性與學生的理解力是一對矛盾。雖然本節課的素材學生比較熟悉，但理性認識不夠，因此，需要通過調動學生有價值的思維活動，突出概念的形成過程，讓學生參與知識的建構，對概念進行抽象和概括。本節課的教學的難點：從理性上認識歸納推理，對概念進行抽象和概括。4教學支持條件分析本節課涉及現實生活中的大量感性素材，因此必須借助信息技術手段提前將需要再現的素材準備好，充分利用有限的課堂教學資源。提前做好移動圓環教具，設計好為本節課服務的學案。5教學過程設計與實踐引言：今天我們所要探索的知識不僅在數學中的作用無可替代，在今后的生產和生活中可以說是無處不在。請看狄仁杰在江西彭澤縣斷案的一個片段。設計意圖：從現實生活中感受推理的含義。創設問題情境，走進現實生活，讓學生產生情感共鳴，激勵學生的求知欲望，吸引學生積極參與知識的再創造和自主建構。問題1先看下面的幾個推理案例，分析它們的異同點。=1\*GB2⑴鐵、銅、鋁等金屬容易導電由此猜想：所有的金屬都容易導電。=2\*GB2⑵吃肥肉、花生、芝麻等高脂肪食品容易發胖。由此猜想：所有吃高脂肪食品的人都容易發胖=3\*GB2⑶1，3，5，7，…，由此猜想出n第個數是2n-1。=4\*GB2⑷地球上有生命，火星具有一些與地球類似的特征，由此猜想：火星上也有生命.=5\*GB2⑸因為所有人都會死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底也會死.設計意圖：學生通過對熟悉的數學實例和生活中的實例進行辨析，能對推理的內容做適當的分類，能初步了解合情推理與演繹推理的特點，著重理解歸納推理的含義和特點。活動方式：學生先獨立思考，之后小組交流，從中隨機選一位學生發表看法。預設結果：學生可以發現案例=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵、=3\*GB2⑶是特殊到一般，案例=4\*GB2⑷是從特殊到特殊，案例=5\*GB2⑸是從一般到特殊。實際情況：學生1：案例=5\*GB2⑸一定是正確的學生2：前3個案例是個別到整體，案例=4\*GB2⑷是一對一的，案例=5\*GB2⑸是從一般到個別。緊接著通過與教科書概念的對比，學生能正確把握歸納推理的概念及特點。問題2歸納推理的模式（即歸納推理的一個算法）設計意圖：注重知識的前后聯系，將具體的不同的對象進行抽象、概括，統一用字母表示。培養學生抽象、概括的能力。活動方式：師生共同建構，預設結果：學生對題意理解有一定的困難。實際情況：學生不理解題意，教師舉例一元二次方程求根公式的本質是“符號化”后，學生才理解題意，教師提出：鐵表示成事物S1，容易導電即具有性質P，之后學生很快完成相應的步驟。鐵容易導電；銅容易導電；鐵容易導電；銅容易導電；鋁容易導電。……鐵、銅、鋁都是金屬由此猜想：金屬容易導電。事物S2具有性質P,事物S3具有性質P,……S1、S2、S3都是S類事物的對象結論：S類事物具有性質P。問題3（1）根據所探索的歸納推理知識完成練習1和練習2。練習1、請同學們生活中或數學中舉出歸納推理的例子。練習2、已知不等式，試歸納出一般性的結論（2）根據練習2所得到的結論思考上述的歸納推理是怎樣進行的？(即總結出歸納推理的步驟)設計意圖：通過完成練習1幫助學生體會數學知識與現實生活息息相關，引導學生關注身邊的數學問題。通過完成練習2，鞏固所探究的知識，加深對知識的理解，為后繼知識的學習埋下伏筆。活動方式：學生先獨立思考，之后小組討論，接著教師從中選出有代表性（正確的和錯誤的）的解答，利用展臺展示，講評糾錯。預設結果：學生能夠舉出歸納推理的例子,生活中:如一葉落而知天下秋;瑞雪兆豐年等。數學中：2，4，6，8，…，由此猜想出第n個數是2n。學生能夠得出多種一般性結論：或學生能通過發現一般性結論的過程中概括出歸納推理的步驟：實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論檢驗猜想。實際情況：學生1：綠豆中含有淀粉，黃豆中含有淀粉，紅豆中含有淀粉，由此猜想所有豆類都含有淀粉。學生2：我站在站臺上發現：第一輛7路車15分鐘后到；第二輛7路車15分鐘后到；第一三輛7路車15分鐘后到；由此猜想7路車每15分鐘發車一趟。學生3：2，4，6，8，…，由此猜想出n第個數是2n。學生4：一般性結論：學生4認為歸納推理的步驟是：觀察----找規律---概括一般性結論。問題4偶然發現3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24改寫為:10＝3＋7，16＝5＋11，24＝11＋13由此，你能發現到什么一般性結論。設計意圖：根據總結出歸納推理的步驟，感受哥德巴赫猜想的形成過程，激發學生的求知欲。不盲從權威，只要用心學習，數學家就在我們當中。活動方式：學生先獨立思考，完成猜想，教師點評。預設結果：學生不一定想到質數之和，或許是奇數之和，但都是一種猜想實際情況：學生1：偶數=奇數+奇數學生2：偶數=質數+質數學生3：偶數=奇質數+奇質數有學生說這就是哥德巴赫猜想，不難想到。接著教師展示200年來，數學家對哥德巴赫猜想所研究的成果，極大提高了學生的探索欲望。問題5歸納推理的可靠性如何？設計意圖：培養學生學會用批判的角度看問題，不盲從權威。通過學生熟悉的例子，感受歸納推理的第二個特點：具有或然性（即不能作為猜測的依據）。活動方式：老師通過生活中的例子和費馬猜想，讓學生感受歸納推理的特點。預設結果：學生能夠體會猜測的一般性結論不一定成立。實際情況：學生1、吃肥肉、花生不一定就會發胖。學生2、火星上不一定有生命。教師再與學生一起探討費馬猜想，達到對知識的建構。問題6歸納推理所得到的結論并不可靠，為什么還要學習歸納推理呢？設計意圖：預見并幫助學生解決心理困惑：即推理所得到的結論并不可靠，為什么還要學習歸納推理呢？通過學生熟悉的例子，感受歸納推理的作用活動方式：通過課件展示萬有引力定律、元素周期律的發現感受歸納推理的作用。預設結果：學生能夠體會到歸納推理可以發現新的事實。實際情況：學生1：歸納推理可以發現新的事實。問題7例1已知數列的首項，且有，試歸納出這個數列的通項公式。設計意圖：學會應用歸納推理解題，進一步理解歸納推理得到的結論不一定正確。活動方式：學生先獨立思考，之后利用展臺展示交流。預設結果：大多數學生能夠用歸納推理得到結論，個別學生會利用數列的知識得到結論。實際情況：學生1、，，，，由此猜想：。學生2、兩邊倒數，可以構造成等差數列。教師再次強調，歸納推理得到的結論不一定正確，并闡述歸納推理得到的結論運用的是不完全歸納法，結論的正確性有待與我們后續知識的進一步研究（完全歸納法），但它的作用是為我們提供了一個新的研究方向。問題8傳說在古老的印度有一座神廟，神廟中有三根針和套在一根針上的64個圓環.古印度的天神指示他的僧侶們按下列規則,把圓環從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過渡”的作用.1.每次只能移動1個圓環；2.較大的圓環不能放在較小的圓環上面.如果有一天，僧侶們將這64個圓環全部移到另一根針上，那么世界末日就來臨了.請你試著推測：把1個圓環從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?圓環個數最少需要移動次數n=1n=2n=3n=4…n=64設計意圖：培養學生合作意識，共同探究的能力。活動方式：4個同學組成一個小組，利用圓環教具完成預設結果：當n=4時學生會有不同的結果，但最少的只有15次。通過小組間的合作與交流，學生能夠發現結論。實際情況：學生積極參與，當n=4時得到15次的小組不多。有學生提出世界末日是不是很快就來了。教師給出解答見以下內容反思2六、目標檢測設計作業：P83習題A組1，2，3。到圖書館借閱《數學與猜想第一卷》看1-3章。設計意圖：鞏固所學知識的同時體現課堂教學的延伸。二、教學實踐心得《歸納推理》的的教學價值的挖掘與思考一、關注學生原有的知識儲備與所教學內容的聯系。通過本節課的教學實踐，筆者體會到教材簡單不等于教學簡單，要關注學生原有的知識儲備，因為學生是根據自己已有的知識經驗來建構新的知識體系。在概念的探究中，筆者選用的是學生熟悉的素材，如鐵、銅、鋁等金屬容易導電由此猜想：所有的金屬都容易導電。以及課前導入環節的狄仁杰斷案也是學生非常興趣的歷史知識。二、對學生可能存在的困惑要有預見性。數學的抽象性與學生的理解力是一對矛盾，當學生的理解力還不能在老師的引導下去發現數學時，就要發揮傳統的教學方法優勢，啟示學生進行模仿和再創造。例如在探索歸納推理的模式時，筆者估計學生對“模式”的理解存在困惑，這時教師通過例舉一元二次方程的求根公式，引導學生理解歸納推理的模式就是將推理進行“符號化”。再如學生舉不出諺語中歸納推理的例子時，三、要時刻根據課堂情況進行機智性調整。要時刻關注學生的學習行為，關注學生的認識過程，隨時修改自己的教學設計，調整教學內容和教學要求，改變教學策略，選擇恰當的教學方法實施教學，例如探索哥德巴赫猜想時學生困惑于為什么要對式子“3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24””改寫。教師例舉，學生通過練習領悟到，適當的改寫有助于找規律。再比如通過圓環實驗得到的結論，學生充滿困惑，感覺世界末日不久就來到，教師通過演算與學生分析，假如一位熟練的僧侶每秒可以移動一片金屬片，日以繼夜不眠不休地工作，那么大概要花上584,942,417,355年，即約5850億年的時間，學生的困惑立刻消除。四、要把握教材底蘊，對教材進行再加工。將課本的引例“歌德巴赫”猜想做了兩個變化。（1）把數據3＋7=10，7＋13=20，11＋19=30，改為3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24。原數據容易把學生引到整十整百數中，甚至探索個位為數之間的關系，浪費了寶貴的課堂資源—時間。因為歌德巴赫是數論的專家，他很自然的會從素數的角度中去考慮問題。（2）把“歌德巴赫”猜想引例的位置放到歸納推理思維過程的探索中，這樣既可對之前探索的知識作簡單的應用，又可讓學生體會成功的喜悅，感覺數學家就在我們身邊，進而為滲透數學文化作了鋪墊。將課本河內塔游戲做了三個變化。（1）制作圓環教具，讓學生小組探究。這樣既降低了教學難度，又能提高學生的積極性。做到“寓教育于樂”（2）題目中增加一個表格，學生在數學課中就象做物理實驗報告一樣。（3）放置第一課時。這樣滲透化歸思想，又為下節課的類比推理埋下伏筆。五、遵循學生的認知規律，注重設計與生成的結合。本節課內容層次分明，通過“問題鏈”引發學生探究。把握概念的內涵和外延，處理好學生的認知沖突，既關注知識又關注學生。合理利用寶貴的課堂資源（指時間）讓學生獨立思考，合作探究。在活動中使學生從接受知識到理解知識。筆者認為，教學設計的作用正如牧羊人一般，牧羊人只要將羊領到草地上，接著讓羊自己跑，它們知道哪兒草肥，哪兒草嫰，自己會吃飽、吃足。關鍵是要把它們帶到草地上，要是將它們帶到沙漠中，它們就會餓死、干死。三、專家點評（點評教師：唐為民省學科帶頭人）一、聯系實際，滲透文化。首先，創設導入情境，走進現實生活。一開始播放央視熱播的《神探狄仁杰》激發學生的求知欲。其次，聯系生活實際，搜索現實素材。展示5個推理案例，學生從非常熟悉的推理案例中對合情推理和演繹推理有一個整體的把握。再次，追溯歷史背景，突出人文氣息。《普通高中數學課程標準（實驗）》提出：“體現數學的文化價值”是高中數學新課程的一個基本理