經濟數學基礎第一部分微分學一、單項選擇題1．函數的定義域是( 且）2．若函數的定義域是［0，１]，則函數的定義域是( )．３.下列各函數對中，(，）中的兩個函數相等.4．設,則=(??).５．下列函數中為奇函數的是（?? ）.6.下列函數中,(不是基本初等函數.7.下列結論中，（奇函數的圖形關于坐標原點對稱）是對的的．8.當時，下列變量中()是無窮大量．９.已知,當（）時，為無窮小量.10．函數在x=0處連續，則k=(?１).11.函數在x=0處(右連續）.12．曲線在點（0，1）處的切線斜率為（）.13．曲線在點(０,0）處的切線方程為(y＝ｘ）.１4.若函數，則=()．15.若,則（）．１６．下列函數在指定區間上單調增長的是(ｅｘ）．1７．下列結論對的的有(x０是ｆ（x)的極值點?)．１8．設需求量q對價格p的函數為，則需求彈性為Ep=(）．二、填空題1．函數的定義域是?[-5，2]2．函數的定義域是(-５,2)3．若函數，則4．設函數，，則５．設，則函數的圖形關于y軸對稱.６.已知生產某種產品的成本函數為C（ｑ)＝8０+2q,則當產量q=５０時,該產品的平均成本為3.67．已知某商品的需求函數為q=180–4p，其中ｐ為該商品的價格，則該商品的收入函數R（q)=4５q–0.25q28.1．9．已知，當時，為無窮小量.1０.已知，若在內連續,則2．１１．函數的間斷點是12.函數的連續區間是 ,,1３.曲線在點處的切線斜率是?14．函數y=x2+1的單調增長區間為(0，+)１5.已知,則＝016．函數的駐點是１7.需求量q對價格的函數為，則需求彈性為1８.已知需求函數為，其中p為價格，則需求彈性Ｅp=三、極限與微分計算題1．解===2．解:==3.解===2２=44．解===25．解6．解=＝7．解：(x)＝==8．解９．解由于所以10．解由于所以1１．解由于所以12.解由于所以１3．解14.解：1５．解在方程等號兩邊對x求導，得故16．解對方程兩邊同時求導，得＝.１7.解:方程兩邊對x求導,得當時，所以，18.解在方程等號兩邊對x求導,得故四、應用題１.設生產某種產品個單位時的成本函數為：(萬元）,求：（１)當時的總成本、平均成本和邊際成本；（2)當產量為多少時,平均成本最小?１.解(1)由于總成本、平均成本和邊際成本分別為:，所以,，(２）令，得(舍去）由于是其在定義域內唯一駐點,且該問題的確存在最小值，所以當2０時，平均成本最小．2．某廠生產一批產品，其固定成本為2023元，每生產一噸產品的成本為60元,對這種產品的市場需求規律為（為需求量，為價格）２．解（1）成本函數=60+２0２3．由于,即，所以收入函數＝=()＝.(2)由于利潤函數=－=－(60+2023）＝４0--2023且＝(４０-－20２3＝４0-0．２令=0,即4０－0．2=0，得＝20０，它是在其定義域內的唯一駐點．所以,=２０0是利潤函數的最大值點,即當產量為２00噸時利潤最大.3．設某工廠生產某產品的固定成本為50000元，每生產一個單位產品,成本增長100元．又已知需求函數，其中為價格,為產量，這種產品在市場上是暢銷的,試求:（1)價格為多少時利潤最大?(2)最大利潤是多少？3.解(1）C(p)=50000+100q=5000０+１00（2023-４ｐ)=250000-400pR（p)＝ｐq=p（20２3-４ｐ）=20２3ｐ-4ｐ2利潤函數Ｌ（ｐ)=R（p)-C(p)=2400ｐ-4ｐ2-250000,且令=２400–８p＝0得p=３0０，該問題的確存在最大值.所以,當價格為ｐ=3０0元時，利潤最大.(2）最大利潤(元）．４.某廠生產某種產品q件時的總成本函數為C(q)=20＋4q+0.01ｑ2（元），單位銷售價格為p=14-0.０1q（元/件)，試求:（1)產量為多少時可使利潤達成最大？（2)最大利潤是多少？4．解(1）由已知利潤函數則，令,解出唯一駐點．由于利潤函數存在著最大值，所以當產量為２5０件時可使利潤達成最大，（2)最大利潤為（元）5.某廠天天生產某種產品件的成本函數為（元).為使平均成本最低,天天產量應為多少？此時，每件產品平均成本為多少？5．解由于==(）＝=令＝0,即=0,得=140，=-１40(舍去）．=140是在其定義域內的唯一駐點,且該問題的確存在最小值.所以＝１40是平均成本函數的最小值點,即為使平均成本最低，天天產量應為140件.此時的平均成本為=＝１７6（元/件)6.已知某廠生產件產品的成本為（萬元）．問:要使平均成本最少,應生產多少件產品?6.解(1)由于==＝=令=０,即,得=５0,=-５0(舍去)，=50是在其定義域內的唯一駐點．所以,＝50是的最小值點,即要使平均成本最少,應生產50件產品．第二部分積分學一、單項選擇題１.在切線斜率為2x的積分曲線族中,通過點（1,4）的曲線為(y=x2＋3）.2.若=2，則ｋ=（1）.３．下列等式不成立的是().４.若,則=（).5.（).6．若,則f(x）=（)．7.若是的一個原函數，則下列等式成立的是（)．8．下列定積分中積分值為0的是（）9．下列無窮積分中收斂的是()．10.設（q)=1００-4q，若銷售量由10單位減少到5單位,則收入R的改變量是(３5０）．11.下列微分方程中，（?）是線性微分方程．12.微分方程的階是(１）.二、填空題1.2.函數的原函數是-cos2ｘ＋ｃ（c是任意常數)3．若,則4.若，則=5.06.07．無窮積分是收斂的(判別其斂散性)8.設邊際收入函數為(q)=2+3q,且R(0)＝0，則平均收入函數為2+.9.是2階微分方程．１0.微分方程的通解是三、計算題⒈解2．解3．解４．解==5.解==＝6.解7．解===8．解=-＝=9.解法一=＝＝＝1解法二令，則=10．解由于，?用公式由，得所以，特解為11.解將方程分離變量:等式兩端積分得將初始條件代入，得,c=所以，特解為:12．解：方程兩端乘以，得即兩邊求積分,得通解為:由,得所以，滿足初始條件的特解為：13．解將原方程分離變量 兩端積分得lnlny=lnCsinx通解為y=ｅCsiｎｘ1４．解將原方程化為:，它是一階線性微分方程，,用公式１５．解在微分方程中,由通解公式16.解:由于,，由通解公式得=＝=四、應用題1．投產某產品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=２x+40(萬元/百臺)．試求產量由4百臺增至６百臺時總成本的增量，及產量為多少時,可使平均成本達成最低.1．解當產量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為==1００（萬元)又=＝令,解得．x=６是惟一的駐點，而該問題的確存在使平均成本達成最小的值.所以產量為6百臺時可使平均成本達成最小.2．已知某產品的邊際成本（x)＝2（元/件)，固定成本為0，邊際收益(x）=12-0.02x,問產量為多少時利潤最大？在最大利潤產量的基礎上再生產5０件，利潤將會發生什么變化？2.解由于邊際利潤＝12-0．0２x–2＝10-0.０2ｘ令=0，得x＝500ｘ=5０0是惟一駐點，而該問題的確存在最大值．所以，當產量為５00件時,利潤最大.當產量由500件增長至550件時,利潤改變量為=500-５2５=－25（元)即利潤將減少25元.3．生產某產品的邊際成本為(ｘ）＝８x（萬元/百臺),邊際收入為(x)=1００-2x（萬元/百臺）,其中x為產量,問產量為多少時,利潤最大?從利潤最大時的產量再生產２百臺，利潤有什么變化？3.解(x)=(x)-（ｘ)=(100–2x）–8x=10０–10x ??令(ｘ）=0,得x=１０(百臺)又x=10是L（x)的唯一駐點,該問題的確存在最大值,故x＝10是Ｌ(x)的最大值點，即當產量為1０(百臺）時，利潤最大.又??即從利潤最大時的產量再生產2百臺,利潤將減少20萬元.4．已知某產品的邊際成本為(萬元/百臺），x為產量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本.4．解：由于總成本函數為=當ｘ＝０時，C(0)＝18,得c＝１8即C（ｘ)＝又平均成本函數為令,解得x＝3(百臺)該題的確存在使平均成本最低的產量.所以當x=3時,平均成本最低.最底平均成本為(萬元/百臺）5．設生產某產品的總成本函數為（萬元),其中x為產量，單位：百噸．銷售x百噸時的邊際收入為(萬元/百噸），求:(1)利潤最大時的產量;（2)在利潤最大時的產量的基礎上再生產1百噸,利潤會發生什么變化？5．解:(1)由于邊際成本為,邊際利潤=14–2ｘ令，得x=7由該題實際意義可知，x=7為利潤函數L(x)的極大值點,也是最大值點．因此，當產量為７百噸時利潤最大.(２)當產量由７百噸增長至8百噸時,利潤改變量為=１１2–64–98+４9=-1(萬元）即利潤將減少1萬元.第三部分線性代數一、單項選擇題1．設A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（AB)可以進行.2.設為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（３.設為同階可逆方陣,則下列說法對的的是(秩秩秩）.4．設均為n階方陣,在下列情況下能推出Ａ是單位矩陣的是(）５.設是可逆矩陣,且，則(）.6．設，,是單位矩陣，則=（)7．設下面矩陣Ａ,B,C能進行乘法運算,那么（AB=ＡC，A可逆，則Ｂ＝C)成立．8．設是階可逆矩陣，是不為0的常數,則（)．9.設,則r(A)=（2)．１0.設線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為,則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數為(1)．1１.線性方程組解的情況是（無解).12.若線性方程組的增廣矩陣為,則當＝(）時線性方程組無解．13．線性方程組只有零解，則（也許無解)．14.設線性方程組AX=b中，若r(A,b）=4,r(A）=3,則該線性方程組（無解）.1５．設線性方程組有唯一解，則相應的齊次方程組(只有零解）.二、填空題1．兩個矩陣既可相加又可相乘的充足必要條件是與是同階矩陣2．計算矩陣乘積=[４]３．若矩陣A=，Ｂ=，則ATB=4.設為矩陣，為矩陣,若AB與BA都可進行運算,則有關系式5．設，當0時，是對稱矩陣．6．當時，矩陣可逆7．設為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解8.設為階可逆矩陣,則(A）＝９．若矩陣A=，則r(A)=210．若r(A,b)=４，r（Ａ)=3,則線性方程組ＡX=b無解1１．若線性方程組有非零解,則-112．設齊次線性方程組，且秩（A)=ｒ<n,則其一般解中的自由未知量的個數等于n–r13．齊次線性方程組的系數矩陣為則此方程組的一般解為(其中是自由未知量)14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當時,方程組有無窮多解．1５．若線性方程組有唯一解,則只有０解三、計算題１．設矩陣，,求.2.設矩陣,，，計算.3.設矩陣A=,求．４．設矩陣A=,求逆矩陣．5.設矩陣A=,Ｂ=,計算(AB)-1.6．設矩陣A=,B=，計算(BA)-1.7.解矩陣方程.8.解矩陣方程.9．設線性方程組討論當a，b為什么值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解.１0．設線性方程組,求其系數矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況．11.求下列線性方程組的一般解:1２.求下列線性方程組的一般解：13．設齊次線性方程組問取何值時方程組有非零解，并求一般解.14．當取何值時,線性方程組有解？并求一般解.１5.已知線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為問取何值時,方程組有解?當方程組有解時，求方程組的一般解.三、計算題1.解由于＝＝＝所以==2．解：＝==3.解由于(AＩ)=所以A－1=4.解由于(AI）＝所以Ａ-１=5．解由于AB＝=(ＡＢI)=所以(AＢ)－1＝6.解由于BＡ==(BAI）=所以(BA)-１=7．解由于即所以，X==８．解：由于即所以，X===9.解由于所以當且時，方程組無解;當時，方程組有唯一解；當且時,方程組有無