山西省陽泉市古城中學2022-2023學年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖過拋物線焦點的直線依次交拋物線與圓于A、B、C、D，則A.4 B.2 C.1 D.參考答案：C【分析】根據拋物線的幾何意義轉化，，再通過直線過焦點可知，即可得到答案.【詳解】拋物線焦點為，,,，于是，故選C.【點睛】本題主要考查拋物線的幾何意義，直線與拋物線的關系，意在考查學生的轉化能力，計算能力及分析能力.2.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上信息，則()A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績參考答案：D【分析】根據四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，繼而可以推出正確答案【詳解】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績→乙丙必有一優一良，（若為兩優，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知道自己的成績）→乙看到了丙的成績，知自己的成績→丁看到甲、丁也為一優一良，丁知自己的成績，給甲看乙丙成績，甲不知道自已的成績，說明乙丙一優一良，假定乙丙都是優，則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優，那么甲就知道自已的成績了．給乙看丙成績，乙沒有說不知道自已的成績，假定丙是優，則乙是良，乙就知道自己成績．給丁看甲成績，因為甲不知道自己成績，乙丙是一優一良，則甲丁也是一優一良，丁看到甲成績，假定甲是優，則丁是良，丁肯定知道自已的成績了故選：D．【點睛】本題考查了合情推理的問題，關鍵掌握四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，屬于中檔題．3.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）參考答案：C【考點】橢圓的應用．【分析】由?=0知M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓．又M點總在橢圓內部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能夠推導出橢圓離心率的取值范圍．【解答】解：設橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a，b，c，∵?=0，∴M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓．又M點總在橢圓內部，∴該圓內含于橢圓，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故選：C．4.一個橢圓的半焦距為2，離心率e=，則它的短軸長是（）A．3 B． C．2 D．6參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由橢圓的半焦距為2，離心率e=，可得c=2，a=3，求出b，從而求出答案．【解答】解：∵橢圓的半焦距為2，離心率e=，∴c=2，a=3，∴b=∴2b=2．故選：C．5.下列命題中的真命題是

()

A命題”若a、b都是偶數，則a＋b是偶數”的逆命題

B命題”奇數的平方不是偶數”的否定C命題”空集是任何集合的真子集”的逆否命題

D命題”至少有一個內角為60°的三角形是正三角形”的否命題參考答案：D略6.對任意復數，為虛數單位，則下列結論正確的是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略7.函數f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，將f（x）的圖象向右平移個長度單位，所得圖象對應的函數解析式為（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=﹣sin2x C．f（x）=sin（2x﹣） D．f（x）=sin（2x+）參考答案：C考點： 函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．

專題： 計算題；三角函數的圖像與性質．分析： 依題意，知A=1，T=π，從而可求ω=2；再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|＜可求得φ，從而可得y=f（x）的解析式，最后利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得將f（x）的圖象向右平移個長度單位，所得圖象對應的函數解析式．解答： 解：依題意，知A=1，T=﹣=，∴T==π，ω=2；又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴將f（x）的圖象向右平移個長度單位，得y=f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故選：C．點評： 本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象的解析式的確定及圖象變換，考查分析運算能力，屬于中檔題．8.已知函數若在(－∞,+∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是A．[2,4]

B．[2,4)

C．(2,+∞)

D．[2,+∞)參考答案：A9.設函數（，為自然對數的底數）．若存在使成立，則的取值范圍是（B）A．B．C．D．參考答案：略10.曲線與兩坐標軸所圍成圖形的面積為（

）A．4

B．3

C．

D．2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線的焦點到準線的距離為。參考答案：解析：拋物線方程為∴當a>0時，焦點到準線的距離；

當a<0時，焦點到準線的距離；當a≠0時，焦點到準線的距離.12.

.參考答案：略13.過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________．參考答案：14.（坐標系與參數方程選做題）設點的極坐標為，直線過點且與極軸所成的角為，則直線的極坐標方程為

．

參考答案：或或或略15.在等差數列{an}中，公差=____．參考答案：略16.若拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，則該拋物線的方程為_______參考答案：17.若正數m，n滿足，則的最小值是______________．參考答案：【分析】條件等式化為，利用基本不等式可得關于的不等式，解不等式可得.【詳解】因m,n為正數，所以，即.因為，所以即，即，所以，化簡得，又m,n為正數，所以（當且僅當時取等號），所以.故答案為.【點睛】本題考查運用基本不等式求最值，對已知式恰當變形利用基本不等式建立所求式的不等式關系是解題關鍵，考查運算能力，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（Ⅰ）求證：+＜2（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：，中至少有一個小于2．參考答案：【考點】不等式的證明．【分析】（Ⅰ）利用了分析法，和兩邊平方法，（Ⅱ）利用了反證法，假設：，都不小于2，則≥2，≥2，推得即a+b≤2，這與已知a+b＞2矛盾，故假設不成立，從而原結論成立．【解答】（Ⅰ）證明：因為和都是正數，所以為了證明+＜2，只要證（+）2＜（2）2只需證：10＜20，即證：2＜10，即證：＜5，即證：21＜25，因為21＜25顯然成立，所以原不等式成立．（Ⅱ）證明：假設：，都不小于2，則≥2，≥2，∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，∴1+b+1+a≥2（a+b）即a+b≤2這與已知a+b＞2矛盾，故假設不成立，從而原結論成立．19.（12分）已知在直線上移動，求的最小值，并指出取最小值時的與的值。參考答案：20.（本小題滿分12分）如圖，已知直線：交拋物線于、兩點，試在拋物線這段曲線上求一點，使的面積最大，并求這個最大面積．參考答案：得：、．故． …………………4分設點，則到直線的距離為：，所以．故當，即點時，的面積最大為．………………12分（亦可利用平行于直線的拋物線的切線求出點）21.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求證：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）先利用正方形得到線線垂直，再利用面面垂直的性質定理進行證明；（Ⅱ）利用勾股定理證明線線垂直，合理建立空間直角坐標系，寫出出相關點的坐標，求出相關平面的法向量，再通過空間向量的夾角公式進行求解.試題解析：（I）證明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．設平面A1BC1的法向量為，平面B1BC1的法向量為=．則，令，解得，∴．，令，解得，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為．22.（10分）（2015秋?洛陽期中）（1）已知正數a，b滿足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函數f（k）=的最大值．參考答案：【考點】基本不等式在最值問題中的應用；函數的最值及其幾何意義．

【專題】不等式的解法及應用．【分析】（1）運用乘1法，可得+=（a+4b）（+）=（5++），再由基本不等式即可得到最小值；（2）令t=（t≥