平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程第一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日1.平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式平面簡(jiǎn)諧行波，在無(wú)吸收的均勻無(wú)限介質(zhì)中沿x

軸的正方向傳播，波速為u

。取任意一條波線為x

軸，取O

作為x軸的原點(diǎn)。O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式為第二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式考察波線上任意點(diǎn)P，P點(diǎn)振動(dòng)的相位將落后于O點(diǎn)。若振動(dòng)從O傳到P所需的時(shí)間為t，在時(shí)刻t，P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的位移就是O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在t–t

時(shí)刻的位移，從相位來(lái)說(shuō)，P點(diǎn)將落后于O點(diǎn)，其相位差為

t

。P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位移為：第三頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日因波線上任一點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)任一瞬時(shí)的位移由上式給出，此即所求的沿x

軸方向前進(jìn)的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。利用關(guān)系式

和，得其中平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式第四頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日波動(dòng)表式的意義：上式代表x1處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率w作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。即x

一定。令x=x1，則質(zhì)點(diǎn)位移y

僅是時(shí)間t

的函數(shù)。t一定。令t=t1，則質(zhì)點(diǎn)位移y

僅是x

的函數(shù)。平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式第五頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日即以y為縱坐標(biāo)、x為橫坐標(biāo)，得到一條余弦曲線，它是t1時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線(波形圖)。平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式第六頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日沿波線方向，任意兩點(diǎn)x1、x2的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相位差為：x、t都變化。實(shí)線：t1時(shí)刻波形；虛線：t2時(shí)刻波形Dx=ut波的傳播平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式第七頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)t=t1時(shí)，當(dāng)t=t1+Δt時(shí)，

在t1和t1+Δt時(shí)刻，對(duì)應(yīng)的位移用x(1)

和x(2)表示，則

平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式第八頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日

令x(2)=x(1)+uΔt，得在Δt時(shí)間內(nèi),整個(gè)波形向波的傳播方向移動(dòng)了Δx=x(2)-x(1)=uΔt，波速u是整個(gè)波形向前傳播的速度。波速u有時(shí)也稱相速度。平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式第九頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日沿x

軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式O點(diǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程：y

xoP點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式第十頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日2.波動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度和加速度對(duì)

求t

的偏導(dǎo)數(shù),得到任何物理量y

，若它與時(shí)間、坐標(biāo)間的關(guān)系滿足上式，則這一物理量就按波的形式傳播。速度加速度第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日例題頻率為=12.5kHz的平面余弦縱波沿細(xì)長(zhǎng)的金屬棒傳播，棒的楊氏模量為Y=1.91011N/m2，棒的密度=7.6103kg/m3。如以棒上某點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為A=0.1mm，試求:(1)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式，(2)波動(dòng)表式，(3)離原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式，(4)離原點(diǎn)20cm和30cm兩點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差，(5)在原點(diǎn)振動(dòng)0.0021s時(shí)的波形。解棒中的波速波長(zhǎng)波動(dòng)方程的推導(dǎo)第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日周期(1)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式y(tǒng)0=Acos

t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103tm

(2)波動(dòng)表式式中x以m計(jì)，t以s計(jì)。(3)離原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式波動(dòng)方程的推導(dǎo)第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日可見此點(diǎn)的振動(dòng)相位比原點(diǎn)落后，相位差為

，或落后，即210-5s。(4)該兩點(diǎn)間的距離，相應(yīng)的相位差為(5)t

=0.0021s時(shí)的波形為式中x以m計(jì)。波動(dòng)方程的推導(dǎo)第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日§5-3波的能量能流彈性波傳播到介質(zhì)中的某處，該處將具有動(dòng)能和勢(shì)能。在波的傳播過(guò)程中，能量從波源向外傳播。1.波的能量考慮棒中的體積V，其質(zhì)量為m(m=V)。當(dāng)波動(dòng)傳播到該體積元時(shí)，將具有動(dòng)能Wk和彈性勢(shì)能Wp。平面簡(jiǎn)諧波可以證明第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日波的能量體積元的總機(jī)械能W對(duì)單個(gè)諧振子在波的傳播過(guò)程中，任一體積元都在不斷地接受和放出能量，其值是時(shí)間的函數(shù)。與振動(dòng)情形相比，波動(dòng)傳播能量，振動(dòng)系統(tǒng)并不傳播能量。波的能量密度：介質(zhì)中單位體積的波動(dòng)能量。通常取能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日2.波動(dòng)能量的推導(dǎo)位于x處的體積元ab

的動(dòng)能為第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日體積元ab

的振速波動(dòng)能量的推導(dǎo)體積元ab

的脅變據(jù)楊氏模量定義和胡克定律,該積元所受彈性力為體積元彈性勢(shì)能第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日由V=Sx

,，結(jié)合波動(dòng)表達(dá)式

最后得：若考慮平面余弦彈性橫波,只要把上述計(jì)算中的和

f分別理解為體積元的切變和切力,用切變模量G代替楊氏模量Y，可得到同樣的結(jié)果。波動(dòng)能量的推導(dǎo)第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日3.波的強(qiáng)度能流在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積S

，在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)S

的能量。平均能流：平均能流密度或波的強(qiáng)度通過(guò)與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用I

來(lái)表示，即第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日波的強(qiáng)度其中介質(zhì)的特性阻抗。I的單位：瓦特/米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不變的意義:若，有

。第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于球面波，

，，介質(zhì)不吸收能量時(shí)，通過(guò)兩個(gè)球面的總能流相等球面波表達(dá)式：式中a為波在離原點(diǎn)單位距離處振幅的數(shù)值。波的強(qiáng)度第二十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，2022年，8月28日例題用聚焦超聲波的方式，可以在