平穩時間序列預測法第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日目錄基本概念ARMA模型建模流程第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日平穩時間序列：設時間序列來自一個隨機過程，如果此隨機過程的隨機特征不隨時間變化，則我們稱過程是平穩的。實際應用中一般要求平穩性為“寬平穩”。基本概念第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日寬平穩：基本概念第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日如果時間序列式平穩的，我們就可以用具有確定參數方程將時間序列模型化。并且利用以往的序列對模型的參數進行估計。ARMA模型是一個研究平穩時間序列的模型基本概念第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日白噪聲序列：序列由獨立同分布的隨機變量構成。對所有都有基本概念第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日白噪聲序列式最簡單的平穩序列，在不同點上的協方差為0。該特性稱之為“無記憶性”，意味著人們無法根據其過去的特點推斷其未來的特點，其變化沒有規律可循。在時間序列的分析中，當模型的殘差序列為白噪聲序列時，可認為模型達到了較好的效果，剩余的殘差中已沒有可提取的信息。基本概念第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日自相關函數與偏自相關函數①自相關函數過程的第j階自相關系數即，自相關函數記為ACF(j)。基本概念第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日②偏自相關函數偏自相關系數度量了消除中間滯后項影響后兩滯后變量之間的相關關系。偏自相關函數記為PACF(j)基本概念第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日③自相關函數和偏自相關函數的聯系2階以上的偏自相關函數計算公式較為復雜，這里不再給出。可自行查閱相關書籍。基本概念第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日ARMA模型自回歸移動平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,簡記為ARMA模型），由因變量對它的滯后值以及隨機誤差項的現值和滯后值回歸得到。包括移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）。ARMA模型第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日AR（p）模型自回歸（AR）模型表示為：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日MA（q）模型移動平均（MA）模型表示為：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日ARMA（p,q）模型將AR模型與MA模型連起來：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日AR、MA模型的相互轉化結論一：平穩的AR(p)過程可以轉化為一個MA(∞)過程，可采用遞歸迭代法完成轉化結論二：特征方程根都落在單位圓外的MA(q)過程具有可逆性平穩性和可逆性的概念在數學語言上是完全等價的，所不同的是，前者是對AR過程而言的，而后者是對MA過程而言的。ARMA模型第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日以上三個模型都要滿足一下條件：第一，平穩性。序列時平穩的。第二，殘差符合白噪聲。第三，AR的平穩與MA的可逆ARMA模型第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日ARIMA模型將ARMA模型推廣到非平穩的序列，就是ARIMA模型。非平穩的序列通過若干次處理，如：取對數，差分等可化為平穩的序列。經過d階差分后得到平穩序列的ARMA(p,q)模型就是原序列的ARIMA(p,d,q)模型ARMA模型第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日ARIMA的建模流程圖：建模流程原始序列周期帶周期成分不帶周期成分平穩差分白噪聲結束ARMA模型第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日周期性檢驗：譜分析譜分析方法把時間序列看成是由多種不同頻率的規則波（正弦波或余弦波）迭加而成。在頻率域上比較不同頻率波的方差大小，從而找出波動的主要周期。對某一時間序列的譜分析，有兩種方法：

一是功率譜分析，

二是最大熵譜分析。建模流程第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日功率譜分析在時域中,如果假設標準化時間函數自相關系數為

則功率譜與自相關系數

通過傅里葉變換可建立如下關系：建模流程第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日功率譜估計法第一步，計算樣本自相關系數：建模流程第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日功率譜估計法第二步，計算功率譜：建模流程第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日的最大值即為主要周期。功率譜在分析時間序列的周期時存在如下問題：(1)功率譜不能兼顧高頻和低頻段的需要;(2)某些短周期振動易在一些周期長度為它們整數倍的長周期中表現出來,又混在長周期中;(3)所取樣本較短時,不利于譜的分辯,可能得出的周期與實際有偏離。建模流程第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日SPSS中的功率譜分析：觀察譜周期圖；做Fisher峰值檢驗；有效的峰值處就是周期；建模流程第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日平穩性檢驗一般地，以時間序列數據為依據的實證研究工作都必須假定有關的時間序列時平穩的，否則回導致謬誤回歸問題的出現。先給出兩種非平穩序列現象：d階單整和協整，這兩類非平穩序列經過變換可以達到平穩。建模流程第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日d階單整：是指非平穩序列經過d階差分后可以達到平穩。協整：若兩個或多個非平穩的變量序列，其線性組合后的序列呈平穩，則稱這些序列見有協整關系。建模流程第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日先來看一個隨機游動過程：

為白噪聲序列可以看出：期望是常數，方差卻隨時間變化，是非平穩過程。建模流程第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日單位根過程：其中，是一個平穩過程，且

，可見，隨機游動過程是單位根過程的一個特例。建模流程第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日單位根檢驗：目前使用比較廣泛的是Dickey-FullerTest（DF檢驗）是Dickey和Fuller在20世紀70年代到20世紀80年代的一系列文章中建立起來的。他是基于參數的最小二乘估計，在單位根過程中，有給定樣本構造統計量，易操作，可應用于多種不同形式。建模流程第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日單位根檢驗：1987年Engle提出了ADF(AugmentedDickey-Fuller)檢驗以修正DF檢驗中自相關問題，并指出具有高階自相關的序列應用ADF檢驗。ADF檢驗方法加入了漂移項與實踐趨勢項，更具科學性。建模流程第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日DF檢驗的假設：假設模型·樣本觀測值來自模型因此，在原假設成立時，服從一個隨機游動過程；在備擇假設成立時，服從一個平穩的一階自回歸模型。建模流程第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日在原假設成立的條件下，參數

的最小二乘估計為：T為樣本容量。建模流程第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日接下來構造統計量：和其中建模流程第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日對于上述兩種檢驗Dickey和Fuller分別給出了檢驗的臨界值，對于給定的樣本容量T和顯著性水平α，將樣本觀察值帶入兩個統計量中，和臨界值對比，如果統計量大于臨界值，則拒絕原假設即認為服從平穩的一階自回歸模型。建模流程第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日利用Eviews做單位根檢驗：建模流程第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日前面通過周期性檢驗確定周期，通過單位根檢驗判斷序列是否平穩。對平穩的序列畫出ACF和PACF圖，判斷是不是白噪聲。如果不是白噪聲序列，則根據ACF和PACF圖嘗試給ARMA模型進行初步定階。建模流程第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日自相關圖與偏自相關圖：根據自相關系數和偏自相關系數畫成的圖，可以簡單直觀的從圖中讀出粗略信息。下面介紹幾種序列的大致圖形。建模流程第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程平穩的時間序列其自相關圖和偏自相關圖應該很快的落入95%的置信區間。第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程拖尾與結尾：首先拖尾與結尾都是針對平穩的時間序列。拖尾：是一種衰減的趨勢，很快落入區間內，通常呈衰減的正弦波或指數形式。截尾：在某一階后突然變得很小。第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程模型理論上的ACF理論上的PACF白噪聲序列全為0全為0AR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾（不截尾）拖尾（不截尾）第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程截尾性檢驗：對于自相關系數對每一個時，計算，取

或，考察滿足或第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程如果時都明顯不為0，而

均近似于0，并滿足上述不等式相應的比例，則可近似的判定是階截尾，平穩的時間序列為MA(q)模型。第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程截尾性檢驗：對于偏自相關系數類似地，可考察可近似判定為階截尾，平穩的時間序列為AR(p)模型。第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程以上給出了兩種定階的方法，一種簡便但偏主觀，一種復雜但較客觀。無論哪種定階方法都不是一蹴而就的，都需要反復的分析與嘗試。如：每做完一次模型的建立，都需要進行殘差分析，看看殘差是否是白噪聲序列。如果不是，說明模型沒有提取完所有的序列信息。第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程利用信息準則定階：信息準則法在模型的選擇中起到很重要的作用，可以用于ARMA(p,q)模型的定階，實際上就是ARMA(p,q)模型的篩選。這里給出兩種準則：AIC準則和BIC準則。第五十頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程

第五十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程

第五十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日建模流程利用準則的決策矩陣：從中選出AIC(p,q)最小的最為最終ARMA(p,q)模型MA(0)MA(1)……MA(q)AR(0)AIC(0,0)AIC(0,1)